Matematicheskaya_statistika_v_meditsine

2.Рядом с каждой эмпирической частотой записать теоретическую частоту (третий столбец).

3.Подсчитать разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и записать их в четвертый столбец.

4.Возвести в квадрат полученные разности, разделить их на теоретическую частоту и записать результаты в пятый столбец.

5.Просуммировать значения пятого столбца. Полученную сумму обозначить как 2 эмп

6.Определить число степеней свободы по формуле: f k 1,

где k – количество разрядов признака.

Если f =1, внести поправку на "непрерывность".

7. Определить по таблице 19 критические значения для данного числа степеней свободы f. Отметить их на оси значимости.

Отметить на оси значимости также эмпирическое значение критерия и сделать вывод.

10.3. λ-критерий Колмогорова-Смирнова

Назначение критерия: Критерий

предназначен для сопоставления двух распределе-

ний:

●эмпирического с теоретическим, например, равномерным или нормальным;

●одного эмпирического распределения с другим эмпирическим распределением. Критерий позволяет найти точку, в которой сумма накопленных расхождений между

двумя распределениями является наибольшей, и оценить достоверность этого расхождения.

Если в методе

	2

мы сопоставляли частоты двух распределений отдельно по каждому раз-

ряду, то здесь мы сопоставляем сначала частоты по первому разряду, потом по сумме первого и второго разрядов, потом по сумме первого, второго и третьего разрядов и т. д. Таким образом, мы сопоставляем всякий раз накопленные к данному разряду частоты.

Если различия между двумя распределениями существенны, то в какой-то момент разность накопленных частот достигнет критического значения, и мы сможем признать различия статистически достоверными. В формулу критерия включается эта разность. Чем больше эмпирическое значение , тем более существенны различия.

Мы не можем накапливать частоты по разрядам, которые отличаются лишь качественно и не представляют собой шкалы порядка. Во всех тех случаях, когда разряды представляют собой не упорядоченные по возрастанию или убыванию какого-либо признака категории,

нам следует применять метод		2	.

Условия применения критерия:

● Критерий требует, чтобы выборка была достаточно большой:

○ При сопоставлении двух эмпирических распределений необходимо, чтобы

n1,2 50 .

○ Сопоставление эмпирического распределения с теоретическим иногда допускается при n≥5.

● Разряды должны быть упорядочены по нарастанию или убыванию какого-либо признака. Они обязательно должны отражать какое-то однонаправленное его изменение. Например, мы можем за разряды принять дни недели, 1-й, 2-й, 3-й месяцы после прохождения курса терапии, повышение температуры тела, усиление чувства недостаточности и т. д. Если взять разряды, которые случайно оказались выстроены в данную последовательность, то и накопление частот будет отражать лишь этот элемент случайного соседства разрядов. Мы не можем говорить об однонаправленном изменении признака при сопоставлении категорий "очередность рождения", "национальность", и т.п. Эти данные представляют собой номинативные шкалы: в них нет никакого однозначного однонаправленного изменения признака.

81

Гипотезы:

Н0: Различия между двумя распределениями недостоверны. Н1: Различия между двумя распределениями достоверны.

Расчет абсолютной величины разности d между эмпирическим и равномерным распределениями:

1.Занести в таблицу наименования разрядов и соответствующие им эмпирические частоты (первый столбец).

2.Подсчитать относительные эмпирические частоты (частости) для каждого разряда по формуле:

f			/ n
	эмп f	эмп

где fэмп – эмпирическая частота по данному разряду; п – общее количество наблюдений.

Занести результаты во второй столбец.

3. Подсчитать накопленные эмпирические частости					f		по формуле:
						j
f
	j f		j 1 f	j
где	f		– частость, накопленная на предыдущих разрядах;
		j 1

j – порядковый номер разряда;

f*j – эмпирическая частость данного j-го разряда. Занести результаты в третий столбец таблицы.

Подсчитать накопленные теоретические частости для каждого разряда. Занести результаты в четвертый столбец таблицы.

4.Вычислить разности между эмпирическими и теоретическими накопленными частостями по каждому разряду (между значениями 3-го и 4-го столбцов).

5.Записать в пятый столбец абсолютные величины полученных разностей. Обозначить их как d.

6.Определить по пятому столбцу наибольшую абсолютную величину разности – dmax.

7.По таблице 20 определить или рассчитать критические значения dmaxкр для данного количества наблюдений n. Сделать выводы: если dmax равно критическому значению dmaxкр или превышает его, различия между распределениями достоверны.

Расчет критерия λ при сопоставлении двух эмпирических распределений:

1.Занести в таблицу наименования разрядов (первый столбец) и соответствующие им эмпирические частоты, полученные в распределении 1 (второй столбец) и в распределении 2 (третий столбец).

2.Подсчитать эмпирические относительные частоты (частости) по каждому разряду для распределения 1 по формуле:

fэi1 nэi1 / n1

где nэi1 – эмпирическая частота в разряде i; n1 – количество наблюдений в выборке 1.

Занести эмпирические частости распределения 1 в четвертый столбец.

3.Аналогично подсчитать эмпирические относительные частоты (частости) по каждому разряду для распределения 2. Занести эмпирические частости распределения 2 в пятый столбец таблицы.

4.Подсчитать накопленные относительные частоты для распределения 1. Полученные результаты записать в шестой столбец.

82

5.Подсчитать накопленные относительные частоты для распределения 2 и записать результаты в седьмой столбец.

6.Подсчитать разности между накопленными относительными частотами по каждому разряду. Записать в восьмой столбец абсолютные величины разностей. Обозначить их как d.

7.Определить по восьмому столбцу наибольшую абсолютную величину разности dmax.

8. Подсчитать значение критерия

эмп

по формуле:

		d			n n
						1	2
	эмп		max		n	n
					1		2

где n1 – количество наблюдений в первой выборке n2 – количество наблюдений во второй выборке

9. По таблице 21 определить критические значения и отметить их на оси значимости. Отметить также на оси значимости эмпирическое значение критерия и сделать вывод.

По таблице 21 можно определить, какому уровню статистической значимости соответствует полученное значение .

Примеры решения задач

Пример 29. При изучении популярности теорий личности был проведен опрос, в котором каждому из 60 студентов медико-психологов было предложено выбрать три самые интересные теории. Результаты выборов распределились следующим образом:

З.Фрейд	Э.Фромм	Г.Айзенк	А.Бандура	Дж.Келли	А.Маслоу
56	39	23	11	19	32

Существуют ли явно предпочитаемые студентами теории личности? (Сравните с равномерным распределением).

Решение:

Так как в данной задаче требуется сопоставить распределения, и признак «Автор теории личности» задан в шкале наименований, а объем выборки больше 30, и объем каждой ячейки превосходит 5, то будем использовать χ2-критерий Пирсона для решения.

Гипотезы:

Н0: Полученное эмпирическое распределение признака не отличается от теоретического (равномерного) распределения.

H1: Полученное эмпирическое распределение признака отличается от теоретического распределения.

1. Занесем в первый столбец таблицы наименования разрядов, во второй – соответствующие им эмпирические частоты nэ.

83

Разряды

З.Фрейд

Э.Фромм

Г.Айзенк

А.Бандура

Дж.Келли

А.Маслоу

nэ

56

39

23

11

19

32

180

nт

30

30

30

30

30

30

180

n	n
э	т

26

9

-7

-19

-11

2

0

(n	э	n	т	)	2
		n
		т

22.5333

2.7000

1.6333

12.0333

4.0333

0.1333

20706,000

2. Если бы количество выборов распределялось равномерно между всеми теориями, то

частота каждого разряда была бы

дого	разряда	nт 30 .
столбец.

	180	30	, таким образом, теоретическая частота для каж-
	6
	Запишем			теоретические	частоты	в	третий

3.Подсчитаем разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и запишем их в четвертый столбец.

4.Возведем в квадрат полученные разности и разделим их на теоретическую частоту и запишем результаты в пятый столбец.

5.Просуммируем значения пятого столбца.

		k	(n	n		)	2
	2
		эмп	эi	тi			22.5333	2.7000	1.6333 12.0333
				n
		1
				тi
4.0333 0.1333					43,067.

где k – количество разрядов признака.

6. Определим число степеней свободы по формуле:

f

k

1

6 1

5

.

	7.	Найдем по таблице 19 критические значения для	f 5	,
	2
	кр (0,01) 15,086 . Нанесем на оси значимости полученные значения.
	8.	Отметим на оси значимости и эмпирическое значение критерия:

	2
	кр (0,05)

11,070

,

Как видно,		2	попадает в «зону значимости», следовательно, H0 отклоняется, H1
		эмп

принимается на уровне значимости p 0.01. Эмпирическое распределение признака отлича-

ется от равномерного распределения. Существуют явно предпочитаемые студентами теории личности.

Пример 30. Пользуясь критерием Пирсона, установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки объема n=200:

84

xi	5	7	9	11	13	15	17	19	21
ni	15	26	25	30	26	21	24	20	13

Решение:

Так как в данной задаче требуется сравнить эмпирическое распределение с нормальным, и объем выборки превосходит 50, то для решения задачи можно использовать χ2- критерий Пирсона или λ-критерий Колмогорова – Смирнова. Для учебных целей рассмотрим решение задачи с помощью χ2-критерия Пирсона.

Гипотезы:

Н0: Полученное эмпирическое распределение признака не отличается от теоретического (нормального) распределения.

H1: Полученное эмпирическое распределение признака отличается от теоретического распределения.

1. Для расчета теоретических частот сначала необходимо найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение:

x

12.63

;

	2

22.043

;

4.695

2. Подсчитаем значения функции плотности распределения вероятностей по формуле нормального закона:

					( x	x )		2
		1			i
f (x )							2
			e		2
i		2

xi		5	7	9	11		13		15	17	19	21
f (x )		0.023	0.041	0.063	0.080		0.085		0.075	0.055	0.034	0.017
	i
nm	i	9.077	16.565	25.214	32.009		33.892		29.930	22.045	13.543	6.939
3. Подсчитаем значения теоретических частот:
					nm	i	nhf (xi ) ,

где n – объем выборки, h – разность между двумя соседними вариантами.

4. Построим следующую таблицу, куда занесем разряды, эмпирические и теоретические частоты. Подсчитаем разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и запишем их в четвертый столбец.

xi	nэ	nm
5	15	9.077
7	26	16.565
9	25	25.214
11	30	32.009
13	26	33.892
15	21	29.930
17	24	22.045
19	20	13.543
21	13	6.939

n	n
э	т

5.923

9.435

-0.214

-2.009

-7.892

-8.930

1.955

6.457

6.061

(n	э	n	т	)	2
		n
		т

3.865

5.374

0.002

0.126

1.838

2.665

0.173

3.078

5.294

5.Возведем в квадрат полученные разности, разделим их на теоретическую частоту и запишем результаты в пятый столбец.

6.Просуммируем значения пятого столбца:

85

		k	(n		n		)	2
	2			эi		тi
		эмп						3.865	5.374	0.002 0.126
					n
		1
					тi
1.838 2.665 0.137 3.078 5.294 22.414.

где k – количество разрядов признака.

7. Определим число степеней свободы по формуле: Найдем по таблице 19 критические значения

f	k 3 9 3 6.
	для f 6 :	2кр (0.05) 12.592 ,

	2
	кр (0.01)

16.812

. Нанесем на оси значимости полученные значения.

Отметим		на	оси	значимости	эмпирическое	значение
критерия.
8. Как видно,		2	попадает в «зону значимости», следовательно, H0 отклоняется, H1
		эмп
принимается на уровне значимости				p 0,01. Эмпирическое распределение признака отлича-

ется от нормального распределения.

Пример 31. С целью повышения надежности результатов исследования данные тестирования двух групп были объединены в одну выборку. До объединения данные по группам выглядели следующим образом:

Баллы	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1 группа	2	2	5	7	10	15	18	25	30	22	13	7	3	1
2 группа	4	7	13	19	30	27	21	18	12	7	4	2	0	0

Проверьте, правильно ли поступил исследователь, объединив данные двух групп, если известно, что такая операция требует, чтобы данные обеих групп принадлежали одной генеральной совокупности.

Решение:

Для сопоставления двух эмпирических распределений можно использовать как критерий Пирсона, так и λ-критерий Колмогорова – Смирнова. В первом случае требуется находить теоретические частоты объединенного распределения, поэтому отдадим предпочтение второму критерию, тем более объемы выборок позволяют это сделать (n1, n2≥50).

Гипотезы:

Н0: Эмпирические распределения частот по баллам в группе 1 и в группе 2 не различа-

ются.

Н1: Эмпирические распределения частот по баллам в группе 1 и в группе 2 отличаются друг от друга.

1.Занесем в таблицу наименования разрядов – баллы (первый столбец) и соответствующие им эмпирические частоты, полученные в распределении 1 (второй столбец) и в распределении 2 (третий столбец).

2.Подсчитаем эмпирические относительные частоты (частости) по каждому разряду для распределения 1, например, для первого разряда:

86

f	э11	n	/ n 2 /160 0.0125
		э11	1

Занесем эмпирические частости распределения 1 в четвертый столбец.

3.Анологично подсчитаем эмпирические относительные частоты (частости) по каждому разряду для распределения 2. Занесем эмпирические частости распределения 2 в пятый столбец таблицы.

4.Подсчитаем накопленные относительные частоты для распределения 1, например:

f	нак11

fэ11

0.0125

;

f	нак21

f	нак11	f	э21	0.0125 0.0125 0,025

и т.д.

	Эмпирич. часто-			Эмпирич.		Накопл.
Баллы		ты		частости		частости
	nэi1		nэi2	fэi1	fэi2	fнакi1	fнакi2
3	2		4	0.0125	0.02439	0.0125	0.02439
4	2		7	0.0125	0.042683	0.025	0.067073
5	5		13	0.03125	0.079268	0.05625	0.146341
6	7		19	0.04325	0.115854	0.1	0.262195
7	10		30	0.0625	0.182927	0.1625	0.445122
8	15		27	0.09375	0.164634	0.25625	0.609756
9	18		21	0.1125	0.128049	0.36875	0.737805
10	25		18	0.15625	0.109756	0.525	0.847561
11	30		12	0.1875	0.073171	0.7125	0.920732
12	22		7	0.1375	0.042683	0.85	0.963415
13	13		4	0.08125	0.02439	0.93125	0.987805
14	7		2	0.04375	0.012195	0.975	1
15	3		0	0.01875	0	0.99875	1
16	1		0	0.00625	0	1	1
Σ	160		164	1	1

d	f	накi1	f	накi2

0.01189

0.042073

0.090091

0.162195

0.282622

0.353506

0.369055

0.322561

0.208232

0.113415

0.056555

0.025

0.00625

0

Полученные результаты запишем в шестой столбец.

5.Подсчитаем накопленные относительные частоты для распределения 2 и запишем результаты в седьмой столбец.

6.Подсчитаем разности между накопленными относительными частотами по каждому разряду. Запишем в восьмой столбец абсолютные величины разностей. Обозначим их как d.

7.Определим по восьмому столбцу наибольшую абсолютную величину разности dmax=0.369055.

8. Подсчитать значение критерия

эмп

по формуле:

		d				n n		0,369055		160 164	3,32
	эмп			max			1 2
						n	n			160 164
						1		2
9. По			таблице 21					определим	критические		значения: кр (0.05) 1,36	,

Отметим их на оси значимости, а также эмпирическое значение критерия.

	(0.01)
кр

1,63

.

87

эмп

попадает в зону значимости – принимаем Н1. Эмпирические распределения частот

по баллам в группе 1 и в группе 2 отличаются друг от друга, значит, исследователь поступил неправильно, данные две группы принадлежат разным генеральным совокупностям.

88

ГЛАВА 11. МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ

Многофункциональный статистический критерий φ*

Многофункциональные статистические критерии – это критерии, которые могут использоваться по отношению к самым разнообразным данным, выборкам и задачам.

Данные могут быть представлены в любой шкале, начиная от номинативной. Выборки могут быть как независимыми, так и «связанными», то есть мы можем с помощью многофункциональных критериев сравнивать и разные выборки испытуемых, и показатели одной и той же выборки, измеренные в разных условиях.

Многофункциональные критерии позволяют решать задачи сопоставления уровней исследуемого признака, сдвигов в значениях исследуемого признака и сравнения распределений.

К числу многофункциональных критериев в полной мере относится критерий *-

Фишера (угловое преобразование Фишера).

Многофункциональные критерии построены на сопоставлении долей, выраженных в долях единицы или в процентах. Суть критериев состоит в определении того, какая доля наблюдений (реакций, выборов, испытуемых) в данной выборке характеризуется интересующим исследователя эффектом и какая доля этим эффектом не характеризуется.

Таким эффектом может быть:

●определенное значение качественно определяемого признака – например, выражение согласия с каким-либо предложением; отнесенность к определенному полу и др.;

●определенный уровень количественно измеряемого признака, например, получение оценки, превосходящей проходной балл; решение задачи менее чем за 20 с; выбор дистанции

вразговоре, превышающей 50 см, и др.;

●определенное соотношение значений или уровней исследуемого признака, например, более частый выбор альтернатив А и Б по сравнению с альтернативами В и Г; преимущественное проявление крайних значений признака, как самых высоких, так и самых низких; преобладание положительных сдвигов над отрицательными и др.

Итак, путем сведения любых данных к альтернативной шкале «Есть эффект – нет эффекта» многофункциональные критерии позволяют решать все три задачи сопоставлений – сравнения «уровней», оценки «сдвигов» и сравнения распределений.

Назначение критерия: Критерий Фишера предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта. Критерий оценивает достоверность различий между долями двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий эффект. Суть углового преобразования Фишера состоит в переводе долей в величины

центрального угла, который измеряется в радианах. Большей доле будет соответствовать больший угол , а меньшей доле – меньший угол, но соотношения здесь не линейные:

2 arcsin(

)

где – доля, выраженная в долях единицы.

Критерий	*	позволяет определить, действительно ли один из углов статистически до-

стоверно превосходит другой при данных объемах выборок. При увеличении расхождения между углами 1 и 2 и увеличении численности выборок значение критерия возрастает. Чем больше величина *, тем более вероятно, что различия достоверны.

Условия применения:

● Ни одна из сопоставляемых долей не должна быть равной 0.

● Верхний предел в критерии		*	отсутствует – выборки могут быть сколь угодно

большими.

● Нижний предел – 2 наблюдения в одной из выборок, но должны соблюдаться следующие соотношения:

89

○Если в одной выборке 2 наблюдения, то во второй должно быть не менее 30.

○Если в одной из выборок 3 наблюдения, то во второй должно быть не менее 7.

○Если в одной из выборок 4 наблюдения, то во второй должно быть не менее 5.

○При n1,n2≥5 возможны любые сопоставления.

Гипотезы:

Н0: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 не больше, чем в выборке 2.

Н1: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 больше, чем в

выборке 2.

Подсчет критерия φ*:

1. Определить те значения признака, которые будут критерием для разделения испытуемых на тех, у кого «есть эффект», и тех, у кого «нет эффекта». Если признак измерен количественно, использовать критерий для поиска оптимальной точки разделения.

2.Подсчитать количество испытуемых в первой группе и во второй группе, у которых «есть эффект», m1 и m2, соответственно.

3.Определить доли испытуемых, у которых «есть эффект», в каждой группе отдельно, путем отнесения их количества к общему количеству испытуемых в данной группе (выборке):

m n

,

где m – количество испытуемых в выборке, у которых «есть эффект», n – количество наблюдений в выборке.

Если одна из сопоставляемых долей равна нулю, попробовать изменить эту ситуацию, сдвинув точку разделения групп в ту или иную сторону. Если это невозможно или нежела-

тельно, отказаться от критерия * и использовать критерий		2	.
4. Подсчитать величины углов	, выразив их в радианах, для каждой из сопоставляе-
мых долей по формуле:
2 arcsin( )

5. Подсчитать эмпирическое значение

*эмп

по формуле:

эмп				n	n
		2		1	2
1				n	n
				1	2
где: 1 – угол, соответствующий 1-й выборке;
2 – угол, соответствующий 2-й выборке;
n1 – количество наблюдений в выборке 1;
n2 – количество наблюдений в выборке 2.
6. Сопоставить				полученное значение		*эмп	с критическими значения-
ми: кр (0.05) 1.64			и кр (0.01) 2.31 и сделать вывод.

Примеры решения задач

Пример 32. По данным об исходах лечения острых гнойных деструкций легких в виде гнойных и гангренозных абсцессов необходимо оценить значимость различий групп по летальности.

Номер	Форма		Число	Число летальных
группы	заболевания		больных	исходов
1	Гнойный абсцесс		140	4
		90