Часть1

Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Составное (сложное) движение точки».

Обратите внимание на основные положения теории:

1.B каком случае движение точки называется составным движением (относительно данной системы отсчета)? Чем кинематически отличаются выбранные системы координат.

2.Приведите самостоятельно примеры, в которых движение точки можно рассматривать как составное.

3.Дайте определения движений точки: абсолютного, относительного, переносного.

4.Дайте определения скоростей (ускорений) точки: абсолютной скорости V

(абсолютного	ускорения	a ),	относительной	скорости
					Vr		=Vотн
(относительного ускорения		ar = aотн ), переносной скорости
					Ve =Vпер
(переносного	ускорения	ae = aпер ). Обратите		особое внимание на

определение переносной скорости и переносного ускорения точки.

5.Сформулируйте теорему сложения скоростей. Запишите соответствующее уравнение в векторной форме.

6.Сформулируйте теорему сложения ускорений в общем случае (теорема Кориолиса) и в частном случае. Запишите уравнения в векторной форме в обоих случаях.

7.Определение величины и направления ускорения Кориолиса aкор .

Перечислите случаи, в которых ускорение Кориолиса равно нулю. Поясните.

51

Составное (сложное) движение точки (краткие сведения из теории).

52

Движение точки называется составным, если точка участвует в двух или более движениях относительно выбранной системы отсчета. Чаще всего составным является движение точки относительно неподвижной (условно) системы отсчета. Это движение точки называется абсолютным движением, и скорость (ускорение) точки в неподвижной системе отсчета называется абсолютной скоростью V (ускорением a ) точки.

Дополнительно выбирается подвижная система отсчета (в каждой задаче есть конкретное движущееся тело, с которым ее связывают). Движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы называется переносным движением точки. Абсолютная скорость (ускорение) той точки подвижного тела (с ним связана подвижная система отсчета), с которой в данный момент совпадает движущаяся по телу точка (мысленно остановили точку на

теле), называется переносной скоростью V e (ускорением ae ) точки.

Скорость (ускорение) точки в движении относительно подвижной системы отсчета называется относительной скоростью V r (ускорением ar ) точки (мысленно останавливаем движение тела).

Пример.

Капля воды стекает по лопатке рабочего колеса вращающейся турбины. Неподвижную систему отсчета свяжем со стенами машинного зала. Подвижную - с лопаткой турбины. Движение турбины (вращательное) - переносное движение капли. Движение капли по лопатке - относительное движение капли. Движение капли относительно стен - абсолютное, оно и является составным.

При вычислениях, связанных с относительным движением точки, применяется теория кинематики точки (см. задачу К1). Вычисления, связанные с переносным движением, зависят от вида движения тела, с которым перемещается подвижная система отсчета. Если движение тела поступательное или вращательное, то применяется рассмотренная выше теория (см. задачу К2). Если тело совершает составное движение, то используется теория, относящаяся к соответствующему движению тела. После выполнения упомянутых вычислений, применяется теория сложения скоростей и ускорений точки при ее сложном движении.

53

Теорема сложения скоростей при составном движении точки.

Формулировка теоремы

Графическое нахождение

V

Аналитическое нахождение

V

и векторное уравнение

Из векторного уравнения

из векторного уравнения

Находим

e ,

r

и в соответствии с

Находим

e ,

r ; выбираем оси координат и

V

V

V

V

уравнением

(1)

строим

векторный

уравнение (1) проектируем на эти оси:

параллелограмм (или треугольник).

Vx

= Vex

+ Vrx ,

Vy

= Vey

+ Vry ,

Абсолютная скорость

Vz

= Vez

+ Vrz .

V

точки

равна векторной

сумме

переносной

ско-

Далее находим модуль

рости

e

точки и отно-

V

сительной

скорости

V

r

или

2

2

2

точки:

V =

Vx + Vy + Vz

и направление вектора

=

e +

r .

(1)

V

V

V

V

Vx

cos(V , i) =

,

V

Vy

cos(V , j) =

,

Если построение выполнено в масштабе, то из

V

Vz

чертежа находим модуль V. Можно также

cos(

V

,

k

) =

.

вычислить V, используя известные стороны и

V

углы построенных треугольников и формулы

тригонометрии (например, теорему косинусов).

54

Теорема сложения ускорений при составном движении точки (теорема Кориолиса).

Формулировка

Графическое

Аналитическое

теоремы и вектор-

нахождение

из

нахождение a из

Ускорение Кориолиса

a

ное уравнение

векторного урав-

векторного уравнения

нения

Абсолютное

Находим

e ,

r ,

Находим

ae ,

ar ,

aK .

a

= 2ω V sin α ,

a

a

;

модуль

a

где

K

= 2ω ×V

K

ускорение a

точки

aK . Выбираем мас-

Выбираем

оси

ко-

e

r

e r

в

случае,

когда

штаб и в соответ-

ординат

и

проекти-

α = (ωe ,V r ) ,

ω e – модуль

переносной

угловой

переносное

движе-

ствии с уравнением

руем уравнение (1) на

скорости, Vr – модуль относительной скорости

ние точки не по-

(1) строим

век-

эти оси:

+ a

+ a

,

точки. Определить направление

aK

можно двумя

ступательное, равно

торный многоуголь-

a

x

= a

ex

rx

Kx

способами. 1) Правило векторного произведения:

векторной

сумме

ник. Вектор, прове-

a

= a

+ a

+ a

,

y

ey

ry

Ky

вектор aK

направлен перпендикулярно плоскости

переносного

уско-

денный

из

начала

= aez

+ arz

+ aKz .

перемножаемых векторов

ω e

и V r , в ту сторону,

рения

a

e

точки,

первого

в

конец

az

относительного

последнего вектора,

Далее находим

откуда

кратчайший по-

ускорения

r точки

дает

абсолютное

модуль

ворот

от

вектора

ω

e к

a

и ускорения Корио-

ускорение

точки.

вектору

V

r

выглядит

a

a =

ax2 + a2y

+ az2

лиса aK :

и направление вектора

происходящим

против

a = ae + ar + aK . (1)

хода часовой стрелки.

a

В

случае,

когда

ax

2) Правило Жуковского:

составляющую

вектора

переносное

движе-

cos(a , i) =

,

a

V r ,

которая перпенди-

ние точки – посту-

ay

пательное,

aK = 0,

кулярна

вектору

ω e ,

cos(a , j) =

,

и

a = ae + ar .

a

надо повернуть на 90o в

=

az

сторону

переносного

cos(a , k)

.

вращения

–

получим

a

вектор aK .

Рассмотрим два типовых примера (в примере К3а ось переносного вращения перпендикулярна пластине, в примере К3б – лежит в ее плоскости).

Пример K3a. Пластина OEAB1D (ОЕ = OD, рис. К3а) вращается вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, по закону ϕ = f1(t) (положительное направление отсчета угла ϕ показано на рис. К3а дуговой стрелкой). По дуге окружности радиуса R движется точка В по

закону s = AB = f2 (t) (положительное направление отсчета координаты s на траектории – от A к В).

Дано: R = 0,5 м, ϕ = t2- 0,5t3,

s = πRcos(πt/3) (ϕ – в радианах, s – в метрах, t – в секундах).

Определить: абсолютную скорость Vабс и абсолютное ускорение аабс в момент времени t1 = 2 с.

Рис. К3а.

Решение. Рассмотрим абсолютное движение точки В как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины – переносным движением (подвижные оси B1xy связаны с пластиной). Тогда

абсолютная скорость Vабс и абсолютное ускорение aабс точки найдутся по формулам:

, a

= a n

+ a τ

+ a n

+ a τ

+ a

,

(1)

V

абс

= V

отн

+V

абс

кор

пер

отн

отн

пер

пер

где учтено, что

aотн = aотнτ

aпер = aперτ

+ aотнn ,

+ aперn .

Определим все, входящие в равенства (1) величины.

1. Относительное движение (мысленно остановим пластину). Это движение задано естественным способом (см. задачу К1б). Закон движения точки по траектории:

	(2)
s = AB = pR cos(pt / 3).

Сначала установим, где будет находиться точка В на дуге окружности в момент времени t1. Полагая в уравнении (2) t1 = 2 с, получим

s1 = πR cos(π 2 / 3) = −0,5πR.

Тогда ÐACB = sR1 = -0,5p.

55

Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t1 = 2 с находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. К3а в этом положении (точка B1).

Теперь находим числовые значения Vотн , aотнτ и aотнn :

Vотн

= s = -

p2 R

τ

&

p3R

cos(pt / 3),

sin(pt / 3), aотн = Vотн = -

&

3

9

aотнn

V 2

V 2

=

отн

=

отн

,

rотн

R

где ρотн - радиус кривизны

относительной

траектории, равный радиусу

окружности R. Для момента времени t1 = 2с, учитывая, что R = 0,5 м, получим

V	= -	p2 R	sin(2p/3) = -		p2			3	= -1,42 м/с,
отн		3			12					(3)
	= - p3 R cos(2p/3) = p3						= 0,86 м/с2 , aотнn = p4
aотнτ										= 4,06 м/с2 .
		9	36						24
Знаки показывают, что вектор aотнτ направлен в сторону положительного
							в противоположную сторону; вектор a n
отсчета координаты s, а вектор V					отн
										отн

направлен к центру С окружности. Изображаем все эти векторы на рис. КЗа.

2. Переносное движение (мысленно остановим точку на пластине). Это

движение (вращение) происходит по	законуϕ = t2 - 0,5t3 (см. задачу					К2).
Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение e переносного вращения:
ω = ϕ = 2t -1,5t		2	,	ε =ω = 2	- 3t
&				&
и при t1 =2 с
ω = -2 с-1,	ε = -4 c-2.					(4)

Знаки указывают, что в момент t1 =2 с направления ω и ε противоположны направлению положительного отсчета угла ϕ; отметим это на рис. К3а соответствующими стрелками.

Для определения Vпер и aпер найдем сначала расстояние h1 = ОВ1 точки В1

от оси вращения О. Из рисунка видно, что h1 = 2R

2

=1,41м. Тогда в момент

времени t1 = 2 с, учитывая равенства (4) , получим

aτ

Vпер

=

w

h1 = 2,82 м/с,

=

ε

×h

= 5,64 м/с2 , an

= ω

2h

= 5,64 м/с2 .

(5)

пер

1

пер

1

пер и aперτ

с учетом направления ω и ε

Изображаем на рис. КЗа векторы V

ивектор aперn (направлен к оси вращения).

3.Ускорение Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса определяем по

формуле aкор = 2 Vотн × w ×sin a, где α – угол между вектором Vотн и осью вращения (вектором ω ). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось

56

вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор Vотн . В момент времени t1 = 2 с, учитывая, что в этот момент Vотн = 1,42 м/с и

	ω				= 2 с-1, получим
							aкор = 5,68 м/с2 .	(6)
					Направление aкор найдем по правилу Н.Е.Жуковского: так как вектор
			отн лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на
V
90° в направлении							, т.е. по ходу часовой стрелки. Изображаем aкор	на рис.
						ω

К3а. (Иначе направление aкор можно найти, учитывая, что aкор = 2(ω ×Vотн ).) Изображаем вектор aкор на рис. К3а.

Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (1) векторов найдены и для определения Vабс и аабс остается только сложить эти

векторы. Произведем это сложение аналитически.

4. Определение Vабс . Проведем координатные оси В1ху (см. рис. К3а) и спроектируем почленно обе части равенства Vабс = Vотн +Vпер на эти оси.

Получим для момента времени t1 = 2 с:

Vабсх = Vотн х + Vперх = 0 −Vперсos45° = −1,99 м/с; Vабсy = Vотн y + Vперy = Vотн + Vпер cos 45° = 3,41 м/с.

После этого находим

Vабс = Vабс2 х +Vабс2 у = 3,95 м/с.

Учитывая, что в данном случае угол между Vотн и Vпер равен 45°, значение Vабс

можно еще определить по формуле

V

=

V

2

+V 2

+ 2V

×V ×cos45° = 3,95 м/с.

абс

отн

пер

отн

пер

5. Определение aабс . По теореме о сложении ускорений

aабс = aотнτ

+ aотнn

+ aперτ

+ aперn + aкор .

(7)

Для определения aабс спроектируем обе части равенства (7) на

проведенные оси В1xy. Получим

aперτ

aабс x

= aотнn

+ aкор + аперn сos45° −

сos45°,

аабс y

= аперn

сos45° +

aперτ

сos45° −

aотнτ

.

Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент

времени t1 = 2 с, найдем, что в этот момент aабс x = 9,74 м/с2 ; aабс у = 7,15

м/с2 .

=12,08 м/с2 .

Тогда aабс =

aабс2

x + aабс2

y

Ответ: Vабс

= 3,95 м/с, aабс

= 12,08 м/с2.

57

	Пример К3б. Треугольная пластина ADE
	вращается вокруг оси z, совпадающей со
	стороной АЕ, по закону	ϕ	= f1(t)
	(положительное направление отсчета угла
	ϕ показано на рис. К3б дуговой стрелкой).
	По гипотенузе AD движется точка В по
	закону s = АВ = f2(t); положительное
	направление отсчета s – от A к D.
	Дано: ϕ = 0,1t3 - 2,2t;
	s = АВ = 2 + 15t – 3t2; (ϕ – в радианах, s –
	в сантиметрах, t – в секундах).
	Определить: абсолютную скорость Vабс и
Рис. К3б.	абсолютное ускорение aабс	в	момент
	времени t1 = 2 с.

Решение. Рассмотрим абсолютное движение точки В как сложное, считая ее движение по прямой AD относительным, а вращение пластины – переносным

(подвижные оси B1xyz связаны с пластиной). Тогда абсолютная скорость Vабс и абсолютное ускорение aабс найдутся по формулам:

,

a

= a n

+ a τ

+ a n

+ a τ

+ a

,

(1)

V

абс

= V

отн

+ V

абс

кор

пер

отн

отн

пер

пер

где учтено, что aотн = aотнτ

+ aотнn ,

aпер = aперτ

+ aперn .

Определим все входящие в равенство (1) величины.

1. Относительное движение (мысленно остановим пластину). Это движение задано естественным способом (см. задачу К1б). Закон движения точки по прямолинейной траектории:

s = AB = 2 + 15t – 3t2,

(2)

поэтому Vотн = s = 15 − 6t,

τ

&

n

2

ρ = 0 , так

как

для

aотн

= Vотн = −6,

aотн

= Vотн

&

прямой линии ρ = ∞ .

В момент времени t1 = 2 с имеем

= - 6 см/с2.

s1 = AB1 = 20 см,

Vотн = 3 см/с, аотн

(3)

отн направлен

в

сторону положительного

Знаки показывают, что вектор V

отсчета координаты s, а вектор

aотн = aотнτ

– в

противоположную

сторону.

Изображаем эти векторы на рис. К3б.

2. Переносное движение (мысленно остановим движение точки по

пластине). Это движение (вращение) происходит по закону ϕ = 0,1t3 - 2,2t.

Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение ε переносного вращения

&

2

- 2,2;

&

(см. задачу К2): ω = ϕ = 0,3t

ε = ω = 0,6t и при t1 = 2 с,

ω = -1 с-1 , ε = 1,2 с-2.

(4)

Знаки указывают, что в момент t1= 2 с направление ε совпадает с

направлением положительного

отсчета угла

ϕ,

а

направление

ω

ему

58

противоположно; отметим это на рис. К3б соответствующими дуговыми стрелками.

Из рисунка находим расстояние h1 от точки B1 до оси вращения z:

h1 = АВ1 sin 30° = 10 см. Тогда в момент t1 = 2 с, учитывая равенства (4),

получим

V

=

w

× h =10 см/с,

aτ

=

e

× h

= 12 см/с2 , an

= w2h = 10 см/с2 .

(5)

пер

1

пер

1

пер

1

пер

и аперτ (с учетом знаков ω и ε) и

аперn ;

Изобразим на рис. К3б векторы V

пер и аперτ

перпендикулярно плоскости ADE, а вектор

направлены векторы V

аперn

– по линии В1С к оси вращения.

отн и осью

3. Ускорение Кориолиса. Так как угол между вектором V

вращения (вектором

) равен 30°, то в момент времени t1 = 2 с

ω

aкор

= 2 ×

Vотн

×

w

×sin 30° = 3 см/с2 .

(6)

Направление aкор найдем по правилу Н.Е. Жуковского. Для этого вектор

V

отн

спроектируем на плоскость,

перпендикулярную оси вращения (проекция

направлена противоположно вектору аперn ) и затем эту проекцию повернем на

90° в сторону ω , т. е. по ходу часовой стрелки; получим направление вектора aкор . Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как вектор

пер (см. рис. К3б).

V

4. Определение Vабс . Так как V

абс

= Vотн +Vпер , а векторы

Vотн и Vпер

взаимно перпендикулярны,

то V

=

V 2

+V 2

; в момент времени t1 = 2 с

абс

отн

пер

Vабс = 10,44 см/с.

5. Определение аабс. По теореме о сложении ускорений

aабс = aотнτ

+ aотнn

+ aперτ + aперn + aкор .

(7)

Для определения aабс проведем координатные оси В1xyz1 и вычислим

проекции aабс

на эти оси. Учтем при этом, что векторы aперτ и aкор

лежат на оси

х, а векторы

aотн и aперn расположены в

плоскости В1yz1, т.е.

в плоскости

пластины. Тогда, проектируя обе части равенства (7) на координатные оси В1хyz1 и учитывая одновременно равенства (3), (5), (6), получим для момента времени t1 = 2с:

aабсx =

aперτ

- акор = 9 см/с2 ,

aабс y = aперn

+

aотн

sin 30° =13 см/с2 ,

aабсz1 =

aотн

cos30° = 5,20 см/с2 .

Отсюда находим значение aабс : aабс =

aабс2

x + aабс2

y + aабс2

z

= 16,64 см/с2 .

Ответ: Vабс = 10,44 см/с, аабс = 16,64 см/с2.

1

59

Задача К4 (тема: “Многозвенный механизм. Плоское движение тела”)

Плоский механизм состоит из стержней 1-4 и ползуна В или E (рис. K4.0- K4.7) или из стержней 1-3 и ползунов B или E (рис. K4.8, K4.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2, шарнирами; точка D находится в середине стержня AB. Длины стержней: l1 =0,4 м, l2 =1,2 м, l3 =1,4м, l4 = 0,6 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, ϕ, θ. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К4а (для рис. 0-4) или в табл. К4б (для рис. 5-9); при этом в табл. К4а ω1 и ω2 – величины постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах "Найти". Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа

механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол γ на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9 – против хода часовой стрелки и т. д.).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом α; ползун c направляющими для большей наглядности изобразить, как в примере К4 (см. рис. К4б). Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против часовой стрелки, а заданные скорость VB и ускорение aB – от точки В к b (на рис. 5-9).

Указания. Задача К4 – на исследование многозвенного механизма. В отличие от задачи К2, в механизм входят звенья 2 и 3, совершающие сложное движение – плоскопараллельное. При решении задачи для определения

скоростей точек этих звеньев и угловых скоростей этих звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к

каждому звену 2 и 3 в отдельности.

При определении ускорения точки звена AB исходить из векторного равенства aB = aA + aBAτ + aBAn , где A – точка, ускорение aA которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если точка A движется по дуге окружности, то aA = aAτ + aAn ); B – точка, ускорение aB которой нужно

определить (о случае, когда точка B тоже движется по дуге окружности, см. примечание в конце рассмотренного ниже примера К4).

Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Плоское (плоскопараллельное) движение твердого тела». Обратите внимание на основные положения теории:

1.Признак (определение) плоскопараллельного движения тела.

2.Уравнения плоскопараллельного движения.

3.На какие простые движения раскладывается это движение; назовите вид переносного и относительного движений тела.

4.Определение абсолютной скорости точки тела:

a) метод полюса (теорема сложения скоростей);

б) теорема о проекциях скоростей точек на прямую, соединяющую точки; в) метод мгновенного центра скоростей (МЦС) тела; частные случаи нахождения МЦС тела.

60