math_for_econ_p1

x′= x − y, 5. y′= −4x + 4 y.

x′= 6x − y, 7. y′=3x + 2 y.

x′= y,

9.y′= x.

11.x′= −2x,y′= y.

x′=8x −3y,

13.y′= 2x + y.

15.x′= 2x +3y,y′=5x + 4 y.

17.x′=5x + 4 y,y′= 4x + 5 y.

x′= x + 4 y,

19.y′= x + y.

x′= x + 4 y,

21.y′= 2x +3y.

23.x′= 4x − y,y′= −x + 4 y.

25.x′=5x +8y,y′=3x +3y.

x′= x −5 y,

27.y′= −x −3y.

29.x′= 6x + 3y,y′= −8x −5 y.

x′= −2x + y, 6. y′= −3x + 2 y.

x′= 2x + y, 8. y′= −6x −3y.

10.x′= −x − 2 y,

y′=3x + 4 y.

12.x′= 4x + 2 y,

y′= 4x + 6 y.

x′=3x + y,

14.y′= x +3y.

16.x′= x + 2 y,

y′=3x + 6 y.

18.x′= x + 2 y,

y′= 4x + 3y.

20.x′=3x − 2 y,

y′= 2x +8 y.

x′=7x +3y,

22.y′= x +5y.

24.x′= 2x +8y,

y′= x + 4 y.

x′=3x + y,

26.y′=8x + y.

x′= −5x + 2 y,

28.y′= x −6 y.

30.x′= 4x −8 y,

y′= −8x + 4 y.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

81

10. ЧИСЛОВІ ТА ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ

10.1. ЧИСЛОВІ РЯДИ

Література: [1, розділ 9, п. 9.1]; [3, розділ 8, п. 8.1-8.3]; [6, глава 3,

§1]; [9, розділ 4, п. 4.1-4.3]; [12, розділ 4, п. 4.1-4.3]; [13, розділ 5,

§14]; [4, розділ 5, глава 13, п. 13.1-13.5]; [15, розділ 9, § 1-3]; [18, розділ 12, п. 12.1].

Індивідуальне завдання 10.1

10.1.1. Ряди з невід’ємними членами

Задача 1

Дослідити збіжність ряду двома способами:

1)за інтегральною ознакою Коші;

2)за ознакою порівняння.

∞

2n

3

∞

n

2

1.

∑

.

2.

∑

.

4

n=1 5n4 −

3

n=1 3 (n3

+ 2)

∞

n

2

∞

n

2

3.

∑

.

4.

∑

.

(n3 +

1)2

n=2 n3

−1

n=1

∞

n

∞

n

3

5.

∑

.

6.

∑

.

(n2 +1)3

n=1

n=1 4 (n4 +3)5

∞

n

4

∞

n

2

7.

∑

.

8.

∑

.

(n5 +1)6

(n3 +

1)3

n=1 5

n =1

∞

n4

∞

2n3

9.

∑

.

10.

∑

.

4n4 −

5

n=2 n5 −1

n=2

∞

n

4

∞

n

11. ∑

.

12.

∑

.

(n5 + 2)7

n=1 5

n=2

(n2 +3)3

∞

n2

∞

n6

13.

∑

.

14.

∑

.

2)3

(n7 +

6)2

n=1 (n3 +

n=1

∞

n

∞

n

3

15.

∑

.

16. ∑

.

(n2

2

4n4

n=2 3

−1)

n=1

−

1

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

82

	∞			n												∞			7n					4
17.	∑											.			18.	∑												.
	n=1			(n2 +5)3												n=1 5 (3n5 + 2)7
	∞			n		2										∞					n
19.	∑									.					20.	∑											.
				(n3 +1)4
	n=1 3															n=2 3 (n2 −3)2
	∞			n	2											∞	n		4
21.	∑							.							22.	∑								.
																	2n5			+
	n =1 (n3 + 2)2															n=1								5
	∞				4n											∞	4
23.	∑													.
															24.	∑							.
				(2n2 −					2
	n=2 3						1)									n=1	3n2 −							5
	∞			n		3										∞		n			2
25.	∑										.				26.	∑										.
				(n4 +1)5
																	(n3 +3)2
	n=1 4															n=1
	∞			n		4										∞	n	5
27.	∑										.				28.	∑							.
							7
																					5
	n=1 5			(n5 +1)												n=1 n6 −
	∞				9											∞	n			2
29.	∑												.		30.	∑									.
									6
	n=1 n2 +5n +															n=2	3 1 −n3

Задача 2

Дослідити на збіжність ряди.

∞

n(n +1)

∞

1

∞

n +1

n

1.

a) ∑

;

б) ∑

;

в)

.

3n

∑

=

n=1 n(ln n)2

n 1

n=1 2n −1

∞

n!

∞

n

∞

3n

n

2.

a) ∑

;

б) ∑

;

в) ∑

.

n

+n

2

n=110

n=11

n=1 n +

2

п

∞

n

3

∞

е

−

п

∞

3п

3.

a) ∑

;

б) ∑

;

в) ∑

.

п

n=1

(n +1)!

п=1

п=1 4п−6

∞

п!

∞

1

∞

п−1

п(п−1)

4.

а) ∑

;

б) ∑

;

в) ∑

.

3

п

п=1

n=2 n ln n

п=1

п+1

3п−1

∞

п

3

∞

1

∞

п+1

5.

а)

;

б) ∑

;

в)

.

п∑=1

(п+

1)3

2п−3

п∑=1 (3п)!

п=1

∞

(п+2)!

∞

1

∞

1

6.

а) ∑

;

б) ∑

;

в) ∑

.

п=1

4п

п=1

3 (2п−3)2

п=1 пп(п+1)п

∞

5п−1

∞

n

∞

п

п2

7.

а) ∑

;

б) ∑

;

в) ∑

.

n

2

−1

п=1

(п+1)!

n=2

п=1

п+1

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

83

8.а) ∑∞ п ;

п=1 (2п)!

9.а) ∑∞ 3п ;

п=1 2п!

10.а) ∑∞ п2 ;

п=1 (3п)!3

		∞	п(п+2)
	11.	а) ∑									;
					2п
		п=1
		∞	п!
	12.	а) ∑			;
		п=1	9п
		∞		п			4
	13.	а) ∑								;
			(п+
		п=1						2)!
		∞	(п+3)!
	14.	а) ∑							;
		п=1		4п
		∞	п	2
	15.	а) ∑				;
		п=1	4п

∞

16.а) ∑ 2п

п=1

∞4n−1

17.a) n∑=1 (n + 2)!;−1)!;(п

18.а) ∑∞ п4 ;

п=1 (п+2)!

∞2п−1

19.а) п∑=1 2п! ;

20.а) ∑∞ (п+п1)3п ;

п=1

21.а) ∑∞ п ;

п=1 2п+1

22.а) ∑∞ пп(п1+1)п ;

п=1 п

∞

3

б) ∑

;

п=11+2п

∞

п

2

б) ∑

;

2 +п3

п=1

∞

1

б) ∑

;

п=1

1+п

∞

1

б) ∑

;

n=2 n(ln n)3

∞

е

п

б) ∑

;

п=1

п

∞

1

б) ∑

;

п =11+2п

∞

(ln n)

2

б) ∑

;

п

п=1

∞

3

б) ∑

;

п =1

(п+1)2

∞

5

б) ∑

;

4 (2п−

п=1

3)п

∞

3n

б) ∑

;

n2 +1

n=1

∞

5п2

б) ∑

;

п=11+п3

∞

2

б) ∑

;

1 +5п

п=1

∞

6

б) ∑

;

3

п=1

2 + п

∞

п+1

б) ∑

;

п=1

п2 +2п

∞

п4

б) ∑

;

п =13 +п5

∞

1

в) ∑

.

1)

п=1 lnn (п+

∞

2п+1

4п

в) ∑

3п−

.

п=1

1

∞

п

2

+

4п−1

2−п

в) ∑

.

п =1

2п

2 +5

∞

2 −п

2

п

в) ∑

2

3 +п−2п

.

п=1

∞

22п

в) ∑

.

3п(ln10)п

п=1

∞

п

п

п2

в) ∑2

.

п =1

п+1

∞

3

п

п

п2

в) ∑

.

2

п =1(п+1)п

∞

п+2 п2

в) ∑

.

п =1

п+3

∞

п

2п−1

в) ∑

.

3п−

п=1

1

∞

2п(п+1)2п

в) ∑

.

(п2 +

4п+ 4)п

п=1

∞

п

2

+ п+1

п−3

в) ∑

.

п=1 3п2 −п+ 4

∞

(п+ 2)2п 4п

в) ∑

.

(п2 +

2п+1)п

п=1

∞

2п+1

п3

в) ∑

.

2п+

п=1

3

∞

п!

в) ∑

.

п =132п−1

∞

2п−1

в) ∑

.

п =1(

2)п

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

84

∞

1

∞

п5

23.

а) ∑

;

б) ∑

;

−п6

п=1 lnп(п+1)

п =13

∞

(2п−1)!

∞

n2

24.

а) ∑

;

б) ∑

;

7 п

п =1

n=1

1 + n3

∞

5п

п

∞

3п

3

25.

а) ∑

;

б) ∑

;

п=1 1+п

п =13 (2 −п4 )2

∞

2п+1

∞

2п

2

26.

а) ∑

;

б) ∑

;

6п

−

1)2

п =1

п =13 (3п3

∞

3п

п

∞

n

27.

а) ∑

;

б) ∑

;

п=1 2 +п

n=1

1 + n3

∞

2п

∞

п2

28.

а) ∑

;

б) ∑

;

+п6

п =1(п+3)!

п =11

∞

2п+2

∞

4

29.

а) ∑

;

б)

∑

;

4

п =1(2п+1)!

п = 3п2 −

∞

п!

∞

3

30.

а) ∑

;

б)

∑

;

п =132п−1

п = 4 п2 −9

Задача 3

Дослідити на збіжність ряд.

∞

п2

.

в) ∑

3п

п=1

∞

п−4

п2

в) ∑

.

п=1

п+2

∞

(п!)

2

в) ∑

2п

2 .

п =1

∞

2п

п2

в) ∑

.

п =1

п+4

∞

2пп!

в) ∑

.

пп

п =1

∞

(п+ 2)п

в) ∑

3пп2п

.

п =1

∞

(п

2

+4)

п

в) ∑2п

.

п =1

(п+1)2п

∞

п+1

п2

в) ∑

.

п =1

п+3

	∞		(2n!)2
1.	∑					.
	n =1	(2n −1)!
3.	∞		(3n)!
	∑			.
	n =1(n!)3
5.	∞		n!(n	−1)!
	∑						.
	n =1 (2n)!
7.	∑∞		(3n −1)!						.
	n =1(n!)2 (n +1)!
	∞		(n!)		2
9.	∑					.
	n =1(2n −1)!
11.	∑∞		(3n −1)!					.
	n =1((n +1)!)3
13.	∞	n!(n		+1)!
	∑		(2n + 4)!				.
	n=1

	∞				6n n!(n		+1)!
2.	∑										.
						(2n)!
	n =1
	∞
4.	∑				n!	.
	n =1nn
	∞				(2n −1)!
6.	∑									.
	n =1(n +1)!n!3n
8.	∞				(n +1)n		.
	∑				(n +1)!
	n =1
10.	∞				(3n −4)!
	∑				(n!)2		.
	n =1
	∞				(n + 2)!
12.	∑							.
	n =1(n + 2)n
	∞				(2n +3)!
14.	∑								.
	n=1 (n +1)!n!5n

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

85

	∞			n	n
15.	∑					.
	n=1 n!5n
17.	∞			(n −1)n				.
	∑			(n −1)!
	n=2
19.	∞			n!(n		−1)!
	∑			(2n +3)!					.
	n=1
	∞			(2n −1)!
21.	∑										.
	n=1			(n +1)!n!3n
	∞				n!
23.	∑						.
				(2ne)n
	n=1								3
25.	∞			((n +1)!)						.
	∑
	n=1			(3n −1)!
27.	∞			n!(2n)!
	∑			(3n)!			.
	n=1
29.	∞			n!(2n +1)!
	∑			((n +1)!)2						.
	n=1

∞

(2n)!

16.

∑

(n +1)!(n −1)!

n=2

18.

∞

(n + 2)n.

∑

n=1

3n

∞

(2n −1)!

20.

∑

.

(n −1)!n!2n

n=2

∞

(n!)

3

22.

∑

.

(3n)!

n=1

3

∞

(3n + 2)n

24.

∑

.

3n

n=1

∞

(2n)n

26.

∑

.

n=1

(3e)n n!

3

28.

∞

∑n!(n −1)!n

.

n=1

(2n)!

∞

nn

30.

∑

.

(2n)!4n

n=1

10.1.2. Знакопочережні ряди

Задача 4

Дослідити на збіжність знакопочережний ряд. У випадку збіжності ряду вказати тип збіжності (абсолютна чи умовна).

∞

n

1

∞

(−1)n +1

2n

1. ∑(−1)

.

2.

∑

.

n ln n

3n

n=2

n=1

n

3.

∑∞ (−1)n

n2

.

4.

∑∞ (−1)n

.

n=2

n3 −

1

n=2

n2

−

1

5.

∑∞ (−1)n

n

.

6.

∑∞ (−1)n

n3

.

2n +

=

1

n=2

n

4 −

1

n 1

7.

∑∞ (−1)n .

8.

∑∞ (−1)n

n

.

n=1

n =2

n3 −

4

9.

∑∞ (−2)−n .

10. ∑∞ (−1)n

1

.

n=1

n−1

n=2

3n −

1

∞

1

∞

n

n

2

11. ∑

−

.

12.

∑

(−1)

.

3

n

3

−

n=1

n=2

1

13. ∑∞ (−1)n 1

+ 1 .

14. ∑∞ (−1)n+1

n2 +1

.

n=1

n

n=2

n5 −7

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

86

15.	∑∞ (−1)n					n2				.
	n=2			3n2 +				2
17.	∞	n		8n		.
	∑	(−1)
	n=2			9n
	∞
19.	∑cosπn.
	n=1
21.	∑∞ (−3)−n .
	n=1
23.	∑∞ (−1)n n2 +3.
	n=2			n3 −2
25.	∑∞ (−1)n			n +1			.
	n=1			3n +1
	∞	n				n2
27.	∑	(−1)							.
				5n2 −
	n =2							1
29.	∑∞ (−1)n				n +1			n .
	n =1		n +3

16.	∑∞ (−1)n					n		.
	n=1				n +1
18.	∑∞ (−1)n				1					.
			(2n −1)3
	n=1
20.	∑∞ (−1)n				n +1		.
	n=1		3n + 2
22.	∑∞ (−1)n			n		.
	n=2			2n
24.	∑∞ (−1)n (n + 2)2 .
	n=2					3n
26.	∑∞ (−1)n				n2				.
	n=1		2n3 −1
28.	∑∞ (−1)n 1 − 1 n .
	n=2					n
30.	∑∞ (−1)n				2n +3 n .
	n=1	2n +1

10.2. СТЕПЕНЕВІ РЯДИ

Література: [1, розділ 9, п. 9.2-9.4]; [3, розділ 8, п. 8.4-8.7]; [6, глава 3, § 2-6]; [9, розділ 4, п. 4.4, 4.5]; [12, розділ 4, п. 4.4, 4.5]; [13, розділ 5, § 15]; [4, розділ 5, глава 14]; [15, розділ 9, § 4-7]; [18, розділ 12, п. 12.2-12.4].

Індивідуальне завдання 10.2

У задачах 1, 2 знайти інтервал збіжності степеневого ряду та дослідити його збіжність на кінцях інтервалу збіжності.

							Задача 1
	∞					n	2.	∞	n	n
1. ∑n(x −3)						.		∑	(−1) x	.
	n=1		2n+1					n=0	n +1
3.	∞	3n xn			.		4.	∞	(−1)n xn
	∑	n2						∑	n	.
	n=1							n=1
	∞	nxn						∞	(−1)n xn
5.	∑			.			6.	∑		.
		2	n+1						n n
	n=1							n=1

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

87

7.

∞

2

n

x

n

.

∑

n=1

n3

∞

2

n

x

n

9.

∑

.

n +

n=1

2

∞

(−1)n xn

11.

∑

.

(n +1)

n=1

n +1

13.

∞

3

n

x

n

.

∑

n=1 n3

n

15.

∞

(−1)n xn

∑

n

.

n=1

17.

∞

2n xn

.

∑

n=1 n +1

19.

∞

(x −2)

n

∑

.

n=1

5n n

21.

∞

2n xn

.

∑

n3n

n=1

23.

∞

3n xn

.

∑

n2n

n=1

25.

∞

4

n

x

n

.

∑

n=1

3

n

27.

∞

2

n

x

n

.

∑

n=1

n2

∞

(x + 4)n

29.

∑

.

2n

(n +

5)(n +

3)

n=1

8.

∞

2

n

x

n

.

∑

n=1 n + 2

∞

(x + 2)n

10.

∑

.

2n

(n +

3)

n=1

12.

∞

3

n

x

n

.

∑

1

n=1 n +

∞

(−1)n +1 xn

14.

∑

.

(n +1)

n=1

n +1

16.

∞

4n+1 xn

.

∑

n +3

n=1

18.

∞

(x

−1)n+1

∑

n6n

.

n=1

20.

∑∞ (−

1)n

n +1

.

n=1

3n + 2

∞

xn

22.

∑

.

2n

n=1 n3

∞

(x + 2)n

24.

∑

.

5n

(n +

5)

n =1

26.

∑∞ (−1)n xn .

n=2

n −1

28.

∞

3

n

x

n

.

∑

n=1

n

∞

2

n

(x

+ 4)

n

30.

∑

.

(2n +1)(n + 4)

n=1

1. а) ∑∞ xn ;

n=1 2n

2. a) ∑∞ xn− ;

n =12n 1

∞	1		1	n
3. a) ∑		+		xn ;
n=1			n

Задача 2

∞	(x −			2)	n
б) ∑						.
=		5	n 3	n
n 1						n
∞		(x +2)
б) ∑						.
n =1		3n		n
∞		(x −3)					n
б) ∑								.

n =1(n +1) 2n−1

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

88

(x +2)n

4.	∞				n	x	n	;
	a) ∑5
	n =1					n
5.	∞			nxn			;
	a) ∑			n!
	n =	1
6.	∞			2n xn				;
	a) ∑				n!
	n =1
	∞					xn
7.	a) ∑										;
									1)
	n =	1n(n +
8.	∞			3n xn				;
	a) ∑
	n =	12n n2
	∞			6n xn
9.	a) ∑									;
							n
	n =15n

∑2n xn

10.a) n =13n 3 n ;∞

11.	∞			2n +1 xn				;
	a) ∑			3 n +	1
	n =1
12.	∞			3n + 2 xn +1
	a) ∑			2n (n +				;
	n =1						1)
13.	∞			(n +1)xn +1						;
	a) ∑			(n +1)!
	n =1
	∞			2n −1 xn
14.	a) ∑							;
					1)
	n =	1n(n +
15.	∞			3n −1 xn			;
	a) ∑
	n =	12n +1 n3
	∞			6n xn
16.	a) ∑								;
	n =17n +1					n
17.	∞			5n +1 xn			;
	a) ∑			6n 3 n
	n =1
18.	∞			2n + 2 xn + 2
	a) ∑			n!		n		;
	n =1
	∞			3n xn
19.	a) ∑					;
	n =	17n 4 n

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

∞		(x −1)				2n
∑							.
n =1(n +2)4n
∞		(x +	1)	n
∑				.
n =1		2n 5	n
∞		(x −	3)		n
∑						.
n =1		4n	n
∞		(x +1)n
∑								.
			1)3n−1
n =1(n +

∞

n∑=13n (n +1)(n + 2).

∞

(x

−3)n

∑

.

n =1 n5n

∞

(x +3)n

∑

n2

.

n =1

∞

(x −3)n

∑

.

n =1(n +1)2 2n

∞

(x

−1)n +1

.

∑

n6n

n =1

∞

(x

−1)n

∑

.

n =13n +1

n

∞

(x +1)n +1

.

∑

n +1

n =1 2n

∞

(x −2)n

∑

.

2)

n =13n +1 (n +

∞

(x +1)n +1

∑

.

n=2

6n−1 (n −1)

∞

(x +

5)n

∑

.

1)

n =15n (n +

∞

(x −3)n n

∑

.

(n +

2)

n =13n −1

∞

(x −

4)n (n +

1)

.

∑

5n (n +

2)

n =1

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

89

	∞			5n xn
20.	a) ∑					;
	n =12n				n
	∞			7n xn
21.	a) ∑						;
	n =16n +				1 n!
	∞			5n −1 xn
22.	a) ∑										;
	n =16n +				1(n +1)!
	∞			8n xn
23.	a) ∑									;
	n =15n (n + 2)!
	∞			5n xn
24.	a) ∑								;
	n =1(n +1)!

∑4n xn

25.a) n =15n 3 n ;

26.a) ∑∞ (n +1)xn ; (n +2)!∞n =1

27.	∞		(n +	2)xn +1						;
	a) ∑				n!
	n =1
	∞		nx		n
28.	a) ∑							;
		(n +1)!
	n=1
29.	∞		(2n +			1)xn
	a) ∑		3n +	1				n	;
	n =1
	∞		n +1xn +1
30.	a) ∑									;
				(n +					2)
	n =12n −1

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

	∞		(x +4)n 3n					.
	∑			5n +1 n!
	n =1
	∞		(x +		3)n +1 n				.
	∑			3n (n +1)
	n =1
	∞			(x −5)n
	∑						.
	n =1` 5n				n +1
	∞		(x −1)2n (n +1)							.
	∑			n	n +			2
	n =1		3
	∞		(x −		1)2n
	∑					.
	n =13n (n +2)
	∞		(x −6)n (n					+1)		.
	∑				5n n!
	n =1
	∞				n
			(x +n5) 2n +1.
	∑
	n =1			3 (n +1)n
	∞		(x −		7)n		n
	∑								.
					(n +	2)
	n =13n − 2
	∞ (x +7)n n!
	∑		(n + 2)!			.
	n=1
	∞		(x −1)3n −1					.
	∑		2n (n +3)
	n =1
	∞		(x −2)3n −1
	∑		3n 2n +					.
	n =1					2

Задача 3

Обчислити визначений інтеграл з точністю до 0,0001.

	2	xe−xdx.
1.	∫
	0
3.	0,5 sin 2x				dx.
	∫	x
	0
	0,4
5.	∫x ln(1 + x3 )dx.
	0
	0,5	dx
7.	∫			.
		1 + x	4
	0

2.	0,5 sin x2		dx.
	∫	x
	0
4.	0,5 arctgx		dx.
	∫	x
	0
	1	x sin 2 xdx.
6.	∫
	0

2 e−x

8.∫1 x dx.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

90