Высшая математика. Ряды. Уч-метод. пособие

								1
lim a		lim	n 1		lim	1 n			1 0 , значит, ряд расходится на основании
n	n	n 2n 1			n			1	2
						2
								n
следствия из необходимого признака.
										n2
	Пример 7.								n 1		.
										n3 5

Решение. Найдем предел общего члена ряда:

[ ]

Так как lim an 0, то на основании необходимого признака сходимости

n

(расходимости) этого ряда ничего нельзя сказать. Далее будет показано, что данный ряд расходится.

Пример 8. Исследовать сходимость ряда:

		5		n
1		n
n 1

Решение. Найдем предел общего члена ряда:

				n				n 5
lim a								5	e5	0, значит ряд расходится.
	lim 1 5				(1 ) lim 1 5
n n	n	n			n	n

ЗАДАЧИ

Исследовать сходимость рядов, применяя необходимый признак сходимости:

2n 1 n 15n 4 .

			2n			n
					.
			2n 1
	n 1
				1
	n2 sin						.
	n 1			n2

		1				10 n2
cos			.							.
n 1		2n			n 1 2n 5n2
	n						3n 5			n
	3 .									.
							3n 1
n 1	n
					n 1
				2	1.
arctg n
n 1		n 3

11

ОТВЕТЫ

22		.			.
							.
						.
				.
	2
									.

§3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости рядов с положительными членами

Ряд	называется положительным, если все его
члены положительны, то есть	, и неотрицательным, если	.

Интегральный признак Маклорена-Коши:

Рассмотрим положительный ряд an a1 a2 a3 ... an ... .

n 1

Если существует функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1)задана на промежутке

2)непрерывная;

3)монотонно-убывающая;

4)

то ряд an и несобственный интеграл ∫ сходятся или расходятся

n 1

одновременно.

Пример 9.

Рассмотрим обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле) и исследуем его на сходимость.

∑

Решение. Применим интегральный признак сходимости. При

функция		удовлетворяет всем условиям интегрального признака
Маклорена-Коши.

12

Рассмотрим три случая:

∑

∫		∫		|
т.е. несобственный			интеграл расходится, следовательно, расходится и

гармонический ряд 1 .

n 1 n

∫

∫

|

(

)

т.е. несобственный интеграл расходится. Следовательно, обобщенный

1

гармонический ряд

расходится при

.

np

n 1

3. Если

, то

dx lim b dx lim

|

lim(

1

1)

1

p 1

x p

b x p

b

b b p 1

1

1

, т.е. несобственный интеграл сходится.

∑

Замечание1. Интегральный признак Маклорена-Коши был высказан в геометрической форме еще в 1742г Маклореном, но остался незамеченным и вновь был открыт в 1827г Коши. В литературе этот признак часто встречается под названием просто интегральный признак.

1

Пример 10.

.

n ln n

n 2

Решение. Функция

удовлетворяет условиям

интегрального признака сходимости. Рассмотрим несобственный интеграл

dx

lim b

dx

lim b d ln x lim ln ln x |b

lim(ln ln b ln ln 2)

xln x

b xln x

b

ln x

b

2

b

2

2

2

Несобственный интеграл расходится, следовательно, и ряд расходится.

13

ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ

Рассмотрим два положительных ряда

∑

∑

Если, начиная с некоторого номера

bn сходится,

n 1

то

ряд

an

также

сходится.

Если

ряд

an

расходится, то

и ряд

bn

n 1

n 1

n 1

расходится.

ВТОРОЙ ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ

Если существует конечный и отличный от нуля lim an

l

,

n b

n

то ряды an

и

bn

сходятся или расходятся одновременно.

n 1

n 1

Замечание 2.

Сходимость многих рядов

может

быть

исследована

1

сравнением с обобщенным гармоническим рядом

n p

или с геометрическим

n 1

рядом aqn .

n 0

Пример 11. Исследовать сходимость ряда

1

1

1

1

1

...

... .

1 2

2 5

3 10

n 1

n n2 1

n n2

1

Решение.

Сравним

данный

ряд

с

обобщенным

гармоническим

рядом

∑

1

Так как

то из сходимости ряда

следует

√

3

n 1 n2

14

∑ √

Пример 12. Исследовать сходимость ряда

1

1

1

1

...

n 1 cos2 na

2 cos2 a

3 cos2 2a

4 cos2 3a

n 1

1

...

n 1 cos2

na

1

1

1 1

1

Решение. Сравним данный ряд с рядом

...

... .

n

1

n

1

n 1

2

3

4

Этот ряд является гармоническим, у которого отброшен первый член.

Известно,

что гармонический ряд расходится, но тогда в силу следствия из

1

теоремы

1 и

ряд

расходится. Так

как в

данном

случае

n 1

n 1

т.е.

1

то из расходимости ряда

следует расходимость данного ряда

n 1

n 1

1

n 1

n 1 (cos na)2

3n

4

Пример 13. Исследовать сходимость ряда n 1

.

5n4 3n2 5

Решение. В числителе стоит многочлен первой

степени

, а в

знаменателе многочлен четвертой степени

.

Сравниваем данный ряд с обобщенным гармоническим рядом, у которого

1

,т.е. n 1 n3 . Этот ряд сходится, т.к.

Применим второй признак сравнения.

(				)

Следовательно, второй признак сравнения выполняется и данный ряд сходится.

15

ЗАДАЧИ

Исследовать сходимость рядов, применяя интегральный признак Маклорена-Коши:

∑

∑ √

∑

∑
∑
∑
∑	√
					√
∑
∑

√

∑ √

∑

∑

∑

∑

∑ √

∑

∑

∑

∑ √

∑

∑

∑

∑√

∑√ √

∑√

ОТВЕТЫ

30. Сходится. 31. Расходится. 32. Сходится. 33. Сходится. 34. Сходится. 35. Сходится. 36. Расходится. 37. Расходится. 38. Сходится. 39. Расходится.

		1		1			1
	40.Расходится (указание:				). 41.Сходится (указание: сравнить с			).
							n
		n		ln n		n 1	5

16

3

42. Сходится (указание: сравнить с

n

1

). 43. Сходится (указание:

n 1

n

7

n6

1

сравнить с

). 44.

Сходится (указание:

сравнить с

1

). 45.

Сходится

n

2

n 1

5

n 1 n

1 ).

(указание:

сравнить с

). 46. Расходится (указание: сравнить

с

n

n 1

2

n 1

n

47. Расходится (указание: сравнить с 1 ). 48. Сходится (указание: ).

n 1 n sin 3n 1

1

49. Сходится (указание: сравнить с

). 50. Сходится (указание: сравнить с

n

n 1

7

1

). 51. Сходится

(указание: сравнить с

1

). 52. Расходится (указание:

5

2

n 1 n

n 1 n

сравнить с

1 ).

53. Сходится (указание: сравнить

с

1

). 54.

Сходится

3

n 1

n

n 1 n2

1

1

1

(указание:

ln 1

,

сравнить с

). 55.

Расходится

(указание:

n

4

n

n 1

3

n

1 ).

2 sin n 1, сравнить с

n 1

n

ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА

Пусть для положительного ряда an существует конечный предел

n 1

	Тогда, если	, то ряд сходится;
	если	то ряд расходится;
	если	, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, в
	этом случае следует применить другие признаки сходимости.
			1
	Пример 14. Исследовать сходимость ряда			.
			2n 1 52n 1
		n 1

Решение. Применим признак Даламбера.

17

lim	an1	lim	2n 1 52n1	lim	2n 1		1		1, следовательно, данный ряд
n an		n 2n 1 52n1		n 2n 1 52			25

сходится по признаку Даламбера.

2n !

Пример 15. Исследовать сходимость ряда .

n 1 n! 2

Решение. Применим признак Даламбера:

( )

( )

, следовательно,

данный ряд расходится по признаку Даламбера.

Пример 16. Исследовать сходимость ряда nn .

n 1 n!

Решение. Применим признак Даламбера.

( )

(		)	(		)

(использовали второй замечательный предел), значит, данный ряд расходится.

ПРИЗНАК КОШИ

Пусть для положительного ряда an существует конечный предел

n1

√

18

Тогда, если	, то ряд сходится;
если	то ряд расходится;

если , то признак Коши ответа на вопрос о сходимости ряда не дает, в этом случае следует исследовать ряд с помощью других признаков сходимости.

																														n 1 n
			Пример 17. Исследовать сходимость ряда																												.
																													2n 1
																										n 1
			Решение. Применим признак Коши.
						lim n				n 1 n				lim		n 1				1	1,
	lim n a																							следовательно, ряд сходится.
	n			n			n								n 2n 1 2
										2n 1
			Пример 18. Исследовать сходимость ряда																									n 1				n n 1		.
																										n 2
																										n 1
			Решение. Применим признак Коши.
										√(					)					(					)							(				)
		√
																					(					)(			)
		(									)					(							)

(применили второй замечательный предел), следовательно,

ряд сходится.

ЗАДАЧИ

Исследовать сходимость рядов, применяя признак Даламбера:

∑		∑		∑ √

∑		∑		∑

∑		∑		∑
			19

∑

∑

∑

√

ОТВЕТЫ

56.

Сходится

57.

Сходится

58.

Сходится

.

59.

Расходится

60. Сходится (

) 61. Расходится (

).

62.

Сходится (

). 63. Сходится

64. Сходится

65.

Сходится

. 66.

Сходится

. 67.

Сходится

ЗАДАЧИ

Исследовать сходимость рядов, применяя признак Коши:

∑		(		)	∑

∑ (								)								∑
∑ (											)					(										)
																∑ (								) (						)
					√
∑ (						)										∑
∑			(							)			ОТВЕТЫ
68. Сходится													69. Сходится									.		70.			Расходится				.
71. Расходится												72. Сходится				73. Сходится
74. Расходится													75. Расходится						76. Сходится
								20