VM3

		стоимости		которых		100 и		500 ден.	ед.		Найти		2)	100;
		математическое ожидание выигрыша и увеличить его в											3)	50;
		100 раз.											4)	60;
													5)	0.
		Функция распределения дискретной случайной величины											1)	0,4
							0 при x ≤ 2						2)	0,5
6		Х имеет вид				F(x) =	0,4 при 2 < x ≤5			.			3)	0,6
								при 5 < x ≤8					4)	0,9
							0,9
							1 при x >8						5)	1
		Найти	P(3 < X <9) .
				Биномиальное распределение
	№					Задания						Варианты ответов
		От аэровокзала отправились три автобуса										- 1)		m = 2,7
		экспресса к трапам самолета. Вероятность										2)		m = 0,09
	1	своевременного прибытия автобусов в аэропорт										3)		m =3
		одинакова и равна			0,9. Случайная величина					Х	-	4)		m = 0,9
		число своевременно прибывших автобусов.										5)		m = 0,19
		Найти математическое ожидание m величины Х.
		Экзаменационный билет содержит три вопроса.										1)	p =3,2
		Вероятность того, что студент ответит на каждый										2)	p =0,16
													p =0,8
		из этих вопросов равна 0,8. Случайная величина									Х
	2	- число вопросов, на которые ответил студент.										3)	p = 0,48
		Найти вероятность			того, что она примет значение							4)	p = 0,384
												5)
		равное 2.
												1)	p =		91		216
		Игральную кость подбрасывают три раза подряд.										2)	p =125					216
		Случайная		величина		Х - количество выпадений							p =		25
																	216
	3	цифры	6. Найти		вероятность		р	того, что она				3)
													p =		1
		примет значение, не равное 0.										4)				216
												5)	p =		215			216

21

	Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того,							1)	D = 2,1
								2)	D =1,1
	что в течение смены каждый станок потребует
4	внимания рабочего, равна 0,7. Случайная величина							3)	D =3,1
	Х - число станков, потребовавших внимания							4)	D = 0,63
	рабочего в течение смены. Найти ее дисперсию D.							5)	D = 0,343
	Математическое			ожидание		и	дисперсия	1)	D = 2
								2)	D =3
	независимых случайных величин Х и Y
								3)	D = 4
	соответственно			равны	M (X ) =5 ,		D(X ) = 2 ,
5								4)	D =5
	M (Y ) = 4 ,		D(Y ) =1.		Найти		дисперсию	5)	D =6
	D(Z ) случайной величины Z = X + 2Y −3.
	Математическое			ожидание		и	дисперсия	1)	m =7
								2)	m =9
	независимых		случайных величин				Х и Y
								3)	m =11
6	соответственно			равны	M (X ) =5 ,		D(X ) = 2 ,
								4)	m =13
	M (Y ) = 4 ,	D(Y ) =1.			Найти	математическое		5)	m =15
	ожидание m случайной величины Z = X + 2Y −3.

Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины

№

Формулировка вопроса

Варианты ответов

1

Плотностью вероятности некоторой непрерывной случайной величины

является функция::

x [0; π]

1)

cos x,

x [0; π]

2)

sin x,

p(x)=

x [0; π]

p(x)=

x [0; π]

0,

0,

1

cos x,

x [0; π]

1

sin x,

x [0; π]

3)

2

4) p(x)

2

p(x)=

x [0; π]

=

x [0; π]

0,

0,

5)

x

, x ≥ 0

p(x)= e

0,

x < 0

22

2Плотностью вероятности некоторой непрерывной случайной величины является функция:

						cos x,								x			−π			; π						sin x,			x	−π			; π
1) p		x																	2 2				p2)x									2 2
	(		)	=																				)	=
																−π				; π			(							−π			; π
						0,								x												0,			x
																		2		2												2		2
						1					cos x,				x				−	π	;	π				1		sin x,	x			−	π	;	π
								2												2		2					2						2		2
3) p(x)=																							4)p(x)		=
																−π				; π										−π			; π
						0,								x												0,			x
																		2		2												2		2
5) p(x)=									x		, x ≥ 0
						e
						0,						x < 0
3
			0,																x ≤ 0
					1										1
F (x)							(x			2		+1)	3	−			, 0 < x ≤1
		=			7										7
																			x >1
			1,

– функция распределения некоторой непрерывной случайной величины. Тогдаплотностьювероятностиэтойслучайнойвеличиныявляетсяфункция:

	0,									x ≤ 0		0,						x ≤0, x >1
		6
1)			x(x		2	+1)			2	, 0 < x	≤1		2
	p(x)=	7										2)p(x)=		(x		2	+1)	2	, 0 < x ≤1
										x >1			7
	1,
	0,									x ≤0, x >1		0,							x ≤ 0
3)		6										12			x	2	, 0 < x ≤1
	p(x)=		x(x		2	+1)			2	, 0 < x	≤1	4)p(x)=	7
		7																	x >1
												1,
	0,									x ≤ 0
		2
5)			(x	2	+1)		2	, 0 < x ≤1
	p(x)=	7
										x >1
	1,

23

4 Непрерывная случайная величина						X задана функцией
распределения
0,				x ≤ 0
	1
		x	2	, 0 < x ≤	2
F (x)=	4
				x > 2
1,
Найти вероятность (в процентах) события X < 2 .

5Если плотность вероятности непрерывной случайной величины Х

p(x) =C sin3x на интервале (π /6; π /3)

и p(x) = 0 вне этого интервала,

то неизвестный постоянный параметр С равен…

6При каком значении параметра C функция

	2	, 0 ≤ x ≤1
p(x)= C x
0,		x <0, x >1
являетсяплотностьюраспределениянепрерывнойслучайнойвеличины?
7 Если плотность вероятности непрерывной случайной величины			Х
p(x) = 0,5x		на интервале (0; 2) и p(x) =0 вне этого интервала,	то
математическоеожиданиеМ(Х) равно … Вответезапишите6·М(Х).

8Если функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х

	0,	х≤0,
		0 < x ≤ 4,
F(x) = 0,25x,
	1,	x > 4.	,	то её дисперсия равна …

Равномерный закон распределения

№		Задания
	Плотность вероятности р(х) равномерно распределенной случайной
1.	величины Х сохраняет в интервале (1; 3) постоянное значение, равное
	с; вне этого интервала плотность вероятности равна нулю. Найти			с. В
	ответ записать 10 с.
	Случайная величина Х	распределена равномерно на интервале (2; 6).
2.	Найти вероятность Р	попадания случайной величины	Х в интервал
	(3; 5). В ответ записать 40 Р .
3.	Случайнаявеличина Х	распределенаравномернонаинтервале(2; 6)
	ир(х) - ееплотностьвероятности. Найти р(5). Вответзаписать 40 р(3).
4.	Найти математическое	ожидание М(Х) случайной	величины	Х,
	распределеннойравномерновинтервале(4; 8). Вответзаписать4 М(Х).
5.	Если непрерывная случайная величина (СВ) Х		распределена
	равномерно на интервале (2; 8), то дисперсия этой СВ равна …
		24

Случайная величина Х распределена равномерно на интервале (0; 10)

F(20)

6и F(х) - ее функция распределения. Найти частное F(5) .

Показательный закон распределения. Закон Пуассона.

№

Задания

Варианты ответов

1)

p(x) =

−x

, x ≥0

;

e

0,

x < 0

2)

p(x) =

−x

, x ≥

0 ;

2e

Какая из функций p(x) задаёт

0,

x < 0

−x

,

x ≥1

1.

показательный закон распределения?

3)

p(x) =

;

e

0,

x < 0

−2x

4)

p(x) =

3e

, x ≥

0

;

5)

0,

x <1

ни одна;

6)

все.

1)

x

, x ≥ 0

;

p(x) = 1−e

1,

x < 0

−

x

,

x ≥0

2)

4e

2

;

p(x) =

0,

x <0

−100x

Если случайная величина имеет

3)

p(x) = 100e

, x

≥ 0

;

2.

показательный закон распределения,

0,

x < 0

−x

,

x ≥1;

то её плотность вероятности …

4)

p(x) = 3e

5)

0,

x < 0

ни одна;

6)

все.

	Найти математическое ожидание случайной
	величины
3.			−	x
					, x ≥0
	F(x) = 1−e		5
		0,			x < 0
					25

	Найти дисперсию случайной величины
		−	x
4.		3		, x ≥0
	F(x) = 1−e
				x < 0
	0,
	Если вероятность наступления события A в каждом					1)	0,085
						2)	0,02
	испытании равна 0,002,				λme−λ	3)	0,1563
5.	значение функции Пуассона Pm (λ) =					4)	0,88
					m! при	5)	1,1723
	λ = 4, m =	5		равно 0,1563, то вероятность того, что
	событие A наступит 5 раз в 2000 испытаниях, равна:

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

№				Задания				Варианты ответов
	Среди выражений:						1)	а),	г);
	а) центр распределения;
							2)	все, кроме а);
	б) среднее значение;
1							3)	все, кроме в);
	в) плотность вероятности;
							4)	б),	г);
	г) математическое ожидание
							5)	в),	г).
	– синонимами являются:
	Формулой вычисления математического						1)	все, кроме д);
	ожидания непрерывной случайной
	величины является:						2)	только г);
	а)	∞			∞		3)	б),	г);
		∫ (x +1) p(x)dx ; б)			∫ M (x)dx ;		4) б), в), г);
2		−3			−∞		5)	а),	д).
	в)	0		∞
		∫ p(x)dx ; г)		∫ xp(x)dx ;
		−∞		−∞
	д) 2∫x2 p(x)dx .
		0
	Точки		графика		функции	плотности	1)	а);
	распределения				вероятностей	могут
	располагаться:						2)	б);
3	а) в любой части плоскости;						3)	а), б), в), г), д);
	б) в первом квадранте;						4)	б),	в);
	в) в верхней полуплоскости;						5)	все, кроме д).
	г) только в первом квадранте;
	д) в первом и четвертом квадрантах.

26

	Какое из заданных значений может служить						1)	все кроме д);
	математическим ожиданием непрерывной						2)	а), в);
4	случайной величины X:						3)	а), б);
	а) x2 +c ; б) c −2x ; в) π2 ; г)			2	; д) – 4.		4)	в), г);
				π			5)	в), г), д).
	Дисперсию		непрерывной			случайной	1)	все, кроме а);
	величины можно вычислить по формуле:						2)	все, кроме д);
	а)	D(x) = S 2 ;
							3)	по любой формуле;
		∞
							4)	б), в);
	б) D(x) = ∫(x −MX )2 p(x)dx ;
5							5)	б), в), г).
		−∞
		∞
	в) D(x) = ∫ x2 p(x)dx −(MX )2 ;
		−∞
		D(x) = δ2 ; д)	∞
	г)		D(x) = ∫ xp(x)dx .
			−∞

27

Примерные варианты тестов

Ниже приведено несколько примеров компьютерных тестов с указанием правильных ответов.

Тест № 1

№

Задания

Варианты ответов

Отв

п/п

ет

Как называется число m0

(наступления

1) наибольшее

события

в

n

независимых

испытаниях,

в

2) оптимальное

1.

каждом

из

которых вероятность появления

3) наивероятнейшее

3

события

равна

p ),

определяемое

из

4) невозможное

неравенства:

np −q ≤ m0 ≤ np + p ?

5) минимальное

Потребитель

может

увидеть

рекламу

5)

а);

определенного

товара

по

телевидению

6)

д);

(событие А), на рекламном стенде (событие

7)

б);

В)

и прочесть

в газете (событие С). Что

8)

г);

2.

означает событие А + В + С :

5)

в).

5

а) потребитель увидел все три вида рекламы;

б) потребительнеувиделниодноговидарекламы;

в) потребительувиделхотябыодинвидрекламы;

г) потребительувиделровноодинвидрекламы;

д) потребительувиделрекламупотелевидению.

На пяти одинаковых карточках написаны

буквы И, Л, О, С, Ч. Если перемешать их, и

3.

разложить наудачу в ряд две карточки, то

20

вероятность р получить слово ИЛ равна ….

В ответе запишите число 1/р.

Если A и B – независимые события, то

1) б);

вероятность наступления хотя бы одного из

2)

д);

двух событий A и B вычисляется по формуле

3) а);

4.

а) P(A B) = P(A) P(B) ; б) P(A + B) = P(A) + P(B) ;

4) г);

1

в) P(A + B) = P(A) + P(B) + P(AB) ;

5) в).

г) P(A B) = P(A) P(B / A) ;

д) P(A / B) =

P(A B)

P(B)

Из10 коммерческихбанков4 находятсязачертой

1) б);

города. Налоговыйинспекторвыбираетнаугаддля

2)

в);

проверки3 банка. Каковавероятностьтого, что

3)

а);

5.

хотябы2 изних– вчертегорода?

4) д);

3

а)

C62 4 +C63

; б) 1−

C62 C41

;

в) 1−

C63

;

5) г).

C3

C3

C3

10

10

10

г)

C2 4 +C3

C2

4

1−

6

6

;

д)

6

.

C3

C

3

10

10

28

Тест № 2

№

Задания

Ответ с

клавиа

п/п

туры

1.

Сколькими способами можно составить список из пяти

120

студентов? В ответ записать полученное число.

Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность Р того,

2.

что сумма

выпавших очков равна четырем. В ответ записать

2

число 24 Р.

Партия из 10 телевизоров содержит 3 неисправных телевизора. Из

3.

этой партии выбираются наугад 2 телевизора. Найти вероятность

3

Р того, что оба они будут неисправными. В ответ записать число

45 Р.

Данное предприятие в

среднем

выпускает 20 % продукции

высшего

сорта

и

70

% продукции

первого

сорта.

Найти

4.

вероятность

Р

того,

что

случайно

взятое

изделие

этого

27

предприятия будет высшего или первого сорта. В ответ записать

число 30 Р.

Случайная

величина

Х

задана функцией

распределения

0

при x ≤ 0,

при 0 < x ≤1,

F(x) = x 2

5.

при x >1.

7

1

Найти вероятность Р того, что в результате испытания случайная

величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,1; 0,6).

В ответ записать число 20 Р.

Случайная величина Х распределена равномерно на интервале (2;

6.

6) и р (х) – ее плотность вероятности.

10

Найти р (3). В ответ записать число 40 р (3).

Задан статистический ряд распределения

7.

Варианта xi

1

2

5

7

17

Частота ni

10

50

25

15

Найти выборочную среднюю

. В ответ записать число 5

.

X

X

Тест № 3

№

Задания

Ответ c

п/п

клавиатуры

1.

Студентам нужно сдать

4 экзамена за 6 дней. Сколькими

360

способами можно составить расписание сдачи экзаменов?

Вероятность того, что случайно выбранный водитель

2.

застрахует

свой

автомобиль,

равна

0,6. Найдите

60

наивероятнейшее

число водителей,

застраховавших

автомобиль, среди 100.

29

Вероятность

появления

события

А

в

каждом из

100

независимых

испытаний

равна

0,4. Найдите

3.

математическое ожидание и дисперсию случайной

64

величины

Х

– числа

появлений

события

А. В ответ

запишите их сумму.

В группе из

20 студентов

4 отличника и

16 хорошистов.

Вероятности

успешной

сдачи

сессии

для

них

4.

соответственно равны 0,9 и 0,65. Найдите вероятность того,

7

что наугад выбранный студент успешно сдаст сессию. В

ответ запишите 10 р.

Время ожидания автобуса есть равномерно распределенная

5.

в интервале (0; 6) случайная величина

Х. Найдите среднее

3

время ожидания очередного автобуса.

Время ремонта автомобиля есть случайная величина Х,

6.

имеющая показательное распределение с параметром

λ =

10

0,1. Найдите среднее время ремонта автомобиля.

Средний расход электроэнергии в некотором регионе

7.

составляет 40000 квт/ч. Пользуясь неравенством Маркова,

2

оценить вероятность того,

что расход электроэнергии не

превысит 50000 квт/ч. В ответ запишите 10 р.

Тест № 4

№

Задания

Варианты ответов

Прав.

п/п

ответ

На плоскости

нарисованы

две

1)

0,5;

концентрические

окружности,

2)

0,65;

радиусы

которых

6 и

12 см

3) 0,12;

1.

соответственно.

Какова

вероятность

4)

0,75;

4

того, что точка брошенная наудачу в

5)

0,60.

большой круг, попадет в кольцо,

образованное

указанными

окружностями?

Опыт состоит в том, что стрелок

1) A 1;

производит

3 выстрела

по

мишени.

2) A

;

1

A

A

Событие A k −«попадание в мишень при

2

3

2.

3) A1A2 A3 +A1A2 A3 +A1 A2 A3;

5

k-ом выстреле

(k = 1,

2,

3). Выберите

4) 1− A 1 A2 A3 ;

правильное

выражение

для

обозначения

события«хотябыоднопопаданиевцель».

5) A 1+ A2 + A3

.

30