Оулы 1-3

	2		q		2		2		h2
y		2qz		h		y
			p					2q z			(6.39)
						немесе			2p
x h						x h

болатын парабола бойымен қиятын болады. Бұл (6.39) теңдеуінен параболалардың параметрлері тек біреу болатынын, олардың симметрия өстері xOz жазықтығында болатынын және Oz өсіне параллель екенін, оған қоса параболалардың тармақтары Oz өсінің теріс бағытына бағыттас

екендіктерін көреміз. Параболалардың төбесінің координаты z			h2
				болады.
			2p
Параболаның (6.38) теңдеуінде x h болғанда z	h2
		екендігінен (6.39)
	2p

теңдеулерімен анықталған параболалардың төбелері де (6.38) параболада болатынын көруге болады.

Гиперболалық (6.37) параболоидты z h жазықтығымен қиятын болсақ, онда оның қимасында

x2			y2
				2h
	p		q

z h

теңдеулерімен анықталатын гипербола пайда болады.

Егер h 0 болса, бұл гиперболаның нақты симметрия осі Ox өсіне параллель, ал h 0 болса, оның нақты симметрия осі Oy өсіне параллель болады.

(6.37) теңдеуімен берілген гиперболалық параболоидтың z 0 жазықтығымен қимасында

x2			y2
				0
	p		q

z 0

теңдеуімен анықталатын сызықты аламыз. Ал ол сызық

x

y

0

x

y

0

p

q

p

q

және

z 0

z 0

теңдеулерімен өрнектелетін екі пар түзулерге ыдырайды. Олай болса, бұл қима екі қиылысатын түзулердің жиынтығы болады екен.

Гиперболалық параболоидтың (6.37) теңдеуі (айнымалылар x және y тек екінші дәрежеде ғана болғандықтан) xOz және yOz жазықтықтары бет үшін симметрия жазықтықтары болып саналады.

Сонымен осы келтірілген негізгі жағдайлардан екінші ретті беттер туралы жалпы мағлұмат бердік деп есептейміз.

Жасаушылары түзулерден тұратын беттер сызықтық бет деп аталады.

116

6.11 №7 өздiк жұмыс тапсырмалары

№1

Беттерді тұрғызыңыз және олардың түрлерін анықтаңыз.

1.1	а) 4x2 y2 16z2 16 0;				б) x2 4z 0.
1.2	а) 3x2 y2 9z2 9 0;				б) x2 2y2 2z 0.
1.3	а) 5x2 10y2 z2 20 0;				б)	y2 4z2 5x2.
1.4	а) 4x2 8y2 z2 24 0;				б) x2 y 9z2.
1.5	а) x2 6y2 z2 0;				б) 7x2 3y2		z2 21.
1.6	а) z 8 x2 4y2;				б) 4x2 9y2		36z2 72.
1.7	а) 4x2 6y2		24z2	96;	б)	y2 8z2 20x2.
1.8	а) 4x2 5y2 5z2 40 0;				б)	y 5x2 3z2.
1.9	а) x2 8 y2 z2 ;				б) 2x2 3y2		z2 18.
1.10	а) 5z2 2y2		10x;		б) 4z2 3y2		5x2 60 0.
1.11	а) x2 7y2 14z2 21 0;				б) 2y x2 4z2.
1.12	а) 6x2 y2 3z2 12 0;				б) 8y2 2z2 x.
1.13	а) 16x2 y2 4z2 32 0;				б) 6x2 y2 3z2 0.
1.14	а) 5x2 y2 15z2 15 0;				б) x2 3z 0.
1.15	а) 6x2 y2 6z2 18 0;				б) 3x2 y2		3z 0.
1.16	а) 7x2	14y2 z2 21 0;			б) y2 2z2 6x2.
1.17	а) 3x2	6y2 z2		18 0;	б) x2 2y z2.
1.18	а) 4x2 6y2		3z2	0;	б) 4x2 y2 3z2 12.
1.19	а) z 4 x2 y2;				б) 3x2 12y2 4z2 48.
1.20	а) 4x2 5y2		10z2 60;		б) 7y2 z2		14x2.
1.21	а) 9x2 6y2		6z2 1 0;		б) 15y 10x2				6y2.
1.22	а) x2 5 y2		z2 ;		б) 2x2 3y2			z2 36.
1.23	а) 4x2 3y2		12x;		б) 3x2 4y2			2z2 12 0.
1.24	а) 8x2 y2 2z2 32 0;				б) y 4z2		3x2.
1.25	а) x2 6y2 z2 12 0;				б) x 3z2 9y2.
1.26	а) 2x2 3y2		5z2 30 0;		б) 2x2 3z 0.
1.27	а) 7x2 2y2 6z2 42 0;				б) 2x2 4y2				5z 0.
1.28	а) 4x2	12y2 3z2 24 0;				б) 2y2 6z2			3x.
					117

1.29 а) 3x2 9y2 z2 27 0;	б) z2 2y 4x2.
1.30 а) 27x2 63y2 21z2 0;	б) 3x2 7y2 2z2 42.

№2

Берілген сызықтардың көрсетілген өстерді айналуынан шығатын беттердің түрлерін анықтаңыз және теңдеуін жазыңыз.

2.1	а)	y2 2z, Oz;			б) 9y2 4z2 36, Oy.
2.2	а) 4x2 3y2			12, Ox;	б) x 1, y 2, Oz.
2.3	а) x2		3z, Oz;		б) 3x2 5z2 15, Ox.
2.4	а) 3y2 4z2			12, Oz;	б)	y 4,	z 2 Ox.
2.5	а) x2		3y, Oy;		б) 3x2 4z2 24, Oz.
2.6	а) 2x2 6y2			12, Ox;	б)	y2 4z, Oz.
2.7	а)	x2	3z2 9, Oz;		б) x 4,		z 6, Oy.
2.8	а) 3x2 5z2			15, Oz;	б) z 1, y 3,			Ox.
2.9	а)	y2 3z, Oz;			б) 2x2 3z2 6,			Ox.
2.10	а)	y2 5x2 5, Oy;			б)	y 3,	z 1, Ox.
2.11	а) x2		4z, Oz;		б)	y2 4z2 4, Oy.
2.12	а) 5x2 6z2			30, Ox;	б) x 3,		z 2, Oy.
2.13	а) z2 2y, Oy;				б) 2x2 3z2 6, Oz.
2.14	а)	y2 4z,		Oz;	б) 3y2 z2 6, Oy.
2.15	а) 7x2 5y2			35, Ox;	б) x 1, y 3, Oz.
2.16	а) 2x2 z, Oz;				б) x2 4z2 4,			Ox.
2.17	а) 2y2 5z 10, Oz;				б)	y 2,	z 6, Ox.
2.18	а) x2		5y, Oy;		б) 2x2 3z 6, Oz.
2.19	а) x2		9y2 9, Ox;		б) 3y2 z, Oz.
2.20	а) x2		2z 4, Oz;		б) x 3,		z 1, Oy.
2.21	а) 15x2 3y2 1, Ox;				б) x 3,		y 4, Oz.
2.22	а)	y2 5z, Oz;			б) 3x2 7y2 21, Ox.
2.23	а) 15y2 x2			6, Oy;	б)	y 5,	z 2, Oy.
2.24	а) 5z x2, Oz;				б) 3y2 18z2 1, Oy.
2.25	а) 3x2 8y2			288, Ox;	б) x 5,		z 3, Oy.
2.26	а) 2y2 72, Oz;				б) 6y2 5z2 30, Oy.
					118

2.27	а) 5x2	7y2 35, Ox;	б) x 2, y 4, Oz.
2.28	а) 3x2	2z, Oz;	б) 8x2 11z2 88, Ox.
2.29	а) 5y2 8z2 40, Oz;		б) y 3, z 1, Ox.
2.30	а) 3x2	4y, Oz;	б) 4x2 3z2 12, Oz.

6.12 Өздік жұмыс тапсырмаларын шығару үлгілері

№1

Берілген беттерді тұрғызыңыз және олардың түрлерін анықтаңыз.

а)	x2	4y	2		1	z	2	2 0;	б) 3x	2		y2		z	2	0.
	6				2							2		4
	Шешуі. а)				Теңдеуді канондық түрге келтіреміз:

x2 y2 z2 1. 12 1 4

2

47-сурет 48-сурет Бұл бізге 47-суретте көрсетілгендей орналасқан гиперболоидтың

теңдеуін береді, ал оның «өңеш» эллипсінің жарты өстері

OB 2/2, OC 2

болады.

б) Берілген теңдеуді канондық түрге келтіреміз

x2 y2 z2 0. 1 6 12

Бұл 48-суретте көрсетілгендей, екінші ретті конустың теңдеуі болады. Оның z const жазықтықтарымен қимасы эллипстер болып табылады.

119

№2

Айналудан шыққан беттердің теңдеулерін жазыңыз:

1)	z		1		y		2	параболасы:	а) Oy өсін айналады;	б) Oz өсін айналады;
			2
	y2		z2				1 эллипсі:		а) Oz өсін айналады;	б) Oy өсін айналады.
2)
	64		4

Шешуі. 1. Айналу беттерінің теңдеуін алуға арналған жалпы ережеге сәйкес келесі теңдеулерді аламыз:

																49-сурет																		50-сурет
																1					2				2					4			2
а)	x				2		z	2											y			,	4x			y					4z			0 (төртінші ретті алгебралық бет
															2
(49-сурет));
																				2
				1																			z				1		x2 y2 (айналу параболоиды ( 50-сурет)).
б)	z										x2 y2											,
	2																									2
	2. Берілген эллипстің Oz және Oy өстерін айналуынан келесі
теңдеулерді аламыз:
									2					z2									x2			y2					z2
		x2 y2
а)																			1,													1.
	64														4								64			64					4

Бұл Oz өсі бойымен қысылынқы айналу эллипсоидын береді, оның негізгі қимасындағы жарты өстері OA OB 8, OC 2 болады (51сурет);

51-сурет

120