Оулы 1-2
.pdfтүзулерiнiң |
сәйкес |
бағыттаушы |
векторлары |
s1 m1i n1 j p1k |
және |
||||||||||||||||||||
s2 m2i n2 |
j p2k |
болатынын ескерiп екi |
түзудiң арасындағы бұрышты |
||||||||||||||||||||||
мына түрде жазамыз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
s1 |
|
s2 |
|
|
|
|
|
m1 |
m2 n1 |
n2 p1 p2 |
|
|
. |
(4.44) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
s1 |
|
s2 |
|
|
|
|
|
m2 n2 p2 |
m2 |
n2 p2 |
|
||||||||||||
Егер |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
n1 |
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.45) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
m2 n2 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
шарты орындалса, онда кеңiстiктегi |
l1 және l2 түзулерi |
өзара параллель, ал |
|||||||||||||||||||||||
егер |
|
m1 m2 |
n1 n2 p1 |
p2 0 |
|
|
|
|
(4.46) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
шарты орындалса, онда кеңiстiктегi l1 және l2 түзулерi өзара перпендикуляр болады.
7) Кеңiстiктегi түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш.
Кеңiстiкте l түзуi канондық теңдеуiмен
l : |
|
x a |
|
y b |
|
z c |
|
(4.47) |
|
|
n |
p |
|||||
|
|
m |
|
|
||||
және P жазықтығы жалпы теңдеуiмен |
|
|
|
|
||||
P: |
Ax By Cz D 0 |
(4.48) |
берiлсiн.
1-анықтама. Кеңiстiктегi l түзу мен осы түзудiң P жазықтығындағы проекциясының арасындағы сыбайлас екi бұрыштың сүйiр бұрышы l түзуi мен P жазықтығының арасындағы бұрыш деп аталады.
Осы бұрышты түзу мен жазықтықтың нормаль векторының арасындағы
|
|
|
|
|
|
|
|||
бұрыш арқылы өрнектеймiз. Яғни |
|
|
|
|
болатынын ескерсек, онда |
||||
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
sin теңдігінен |
|
|
|
|
|
||||
cos cos |
|
|
сыбайлас |
бұрыштардың синустары |
|||||
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
өзара тең болатындығын ескерiп, sin 0 деп алуымызға болады. Сондықтан l түзуi мен P жазықтығының арасындағы бұрыш
sin |
|
cos |
|
|
|
N s |
|
|
|
|
|
A m B n C p |
|
|
|
(4.49) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
s |
|
|
|
A2 B2 C2 |
m2 n2 p2 |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
формуласымен есептелiнедi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Егер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
A m B n C p 0 |
(4.50) |
шарты орындалса, берiлген l түзуi мен P жазықтығы параллель, ал егер
A |
|
B |
|
C |
(4.51) |
|
|
|
|||
m |
n p |
|
шарты орындалса, берiлген l түзуi мен P жазықтығы перпендикуляр.
63
Мысалы, төрт нүкте берiлген A1(4;7;8), A2( 1;13;0), A3(2;4;9) және A4(1;8;9). Есептеңіз:
1)A1A2 A3 жазықтығының теңдеуiн;
2)A1A2 түзуiнiң теңдеуiн;
3)A1A2 A3 жазықтығына перпендикуляр болатын A4M түзуiнiң теңдеуiн;
4) |
A1A2 түзуiне параллель болатын A4N түзуiнiң теңдеуiн; |
5) |
A1A2 A3 жазықтығы мен A1A4 түзуiнiң арасындағы бұрыштың синусын |
|
есептеңiз; |
6) |
Oxy координаттық жазықтығы мен A1A2 A3 жазықтығы арасындағы |
бұрыштың косинусын есептеңiз. Шешуi:
1)A1A2 A3 жазықтығының теңдеуiн жазу үшiн (4.29) формуласын
пайдаланамыз, сонда
|
x 4 |
y 7 |
|
z 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5 |
|
6 |
|
|
8 |
|
|
0 18(x 4) 21(y 7) 27(z 8) 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6x 7y 9z 97 0 болады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Сонымен A1A2 A3 жазықтығының теңдеуi: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
6x 7y 9z 97 0 түрінде жазылады; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2) A1A2 |
түзуiнiң теңдеуiн жазу үшiн екi нүкте арқылы өтетiн түзудiң (4.39) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
теңдеуiн пайдаланамыз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x 4 |
|
y 7 |
|
z 8 |
|
x 4 |
|
y 7 |
|
|
z 8 |
|
|
x 4 |
|
y 7 |
|
z 8 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 8 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 4 |
13 7 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
6 |
8 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Сонымен A A |
түзуiнiң теңдеуi: |
|
x 4 |
|
y 7 |
|
z 8 |
болады; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3) A4M |
түзуi A1A2A3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
жазықтығына перпендикуляр болғандықтан, |
түзудiң |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
бағыттаушы |
|
векторы |
ретiнде A1A2A3 жазықтығының |
нормаль |
векторы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
s N 6; 7; 9 аламыз, |
сонда (4.38) теңдеуiн пайдаланып, A4M түзуiнiң |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
теңдеуiн былай жазамыз: |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
y 8 |
|
|
|
|
|
z 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A M : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4) A4N түзуi A1A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
түзуiне параллель болатындықтан олардың бағыттаушы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторлары |
s1 және s2 |
беттеседi деп есептеуге болады |
|
s1 s2 5; 6;8 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сондықтан |
A4N |
түзуiнiң теңдеуiн (4.38) |
формуласын пайдаланып былай |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
жазамыз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
y 8 |
|
|
|
|
z 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A N : |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64
5) A1A4 |
түзуiнiң бағыттаушы векторы s A1A4 |
3;1;1 векторы болады, ал |
|||||||||||||||||
A1A2 A3 |
жазықтығының теңдеуi |
6x 7y 9z 97 0 тең, яғни оның нормаль |
|||||||||||||||||
векторы N 6; 7; 9 . Онда (4.49) формуласы бойынша |
|||||||||||||||||||
sin |
|
|
6 ( 3) ( 7) 1 ( 9) 1 |
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
0,8 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
62 ( 7)2 ( 9)2 |
( 3)2 12 12 |
11 |
166 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
болады.
6) Oxy координаттық жазықтығының нормал векторы деп Ozөсiнiң бiрлiк
векторы |
N1 0;0;1 аламыз, |
ал A1A2A3 |
|
жазықтығының нормаль векторы |
||||||||||
N2 6; 7; 9 болады. Сондықтан (4.44) формуласы бойынша |
||||||||||||||
|
cos |
0 6 0 ( 7) 1 ( 9) |
|
|
9 |
|
0,7 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
62 ( 7)2 ( 9)2 |
166 |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
болады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.6 №5 өздiк жұмыс тапсырмалары |
|||||||||||
Төрт |
нүкте |
берiлген |
A1(x1;y1;z1), |
A2(x2;y2;z2), A3(x3;y3;z3) және |
||||||||||
A4(x4;y4;z4). Есептеңіз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)A1A2A3 жазықтығының теңдеуiн;
2)A1A2 түзуiнiң теңдеуiн;
3)A1A2A3 жазықтығына перпендикуляр болатын A4M түзуiнiң теңдеуiн;
4)A1A2 түзуiне параллель болатын A4N түзуiнiң теңдеуiн;
5)A1A2A3 жазықтығы мен A1A4 түзуiнiң арасындағы бұрыштың синусын
есептеңiз;
6) Oxy координаттық жазықтығы мен A1A2A3 жазықтығы арасындағы бұрыштың косинусын есептеңiз.
1.1 |
A1 |
2;1;3 , |
A2 4;6;2 , |
A3 1;3;0 , |
A4 5;2;1 . |
1.2 |
A1 |
5;1; 3 , |
A2 4; 1;2 , |
A3 7;0;1 , |
A4 1;3;4 . |
1.3A1 2; 4;3 , A2 5;2;1 , A3 0;5;2 , A4 1; 2; 1 .
1.4A1 0;5; 3 , A2 2;1;5 , A3 3;4;1 , A4 5; 2;3
1.5A1 4;5;1 , A2 7;3; 1 , A3 2;1; 2 , A4 1;3;7 .
1.6A1 1;5;2 , A2 3;4;7 , A3 2; 1;9 , A4 8;7; 2 .
1.7A1 1;4;8 , A2 2;5;7 , A3 3; 1; 7 , A4 7; 1;7 .
1.8A1 2; 8;5 , A2 7;4;1 , A3 2; 6;3 , A4 7; 7; 1 .
1.9A1 1;8; 7 , A2 5; 7;4 , A3 2;1; 9 , A4 8; 5; 1 .
1.10A1 4;3; 8 , A2 7; 5; 1 , A3 2;1; 3 , A4 4;5;2 .
1.11A1 5;1; 9 , A2 5;7;2 , A3 8;4;7 , A1 3; 7; 1 .
1.12A1 7;1;5 , A2 9;3; 1, A3 6;5; 2 , A4 1; 4;3 .
65