Комплекс айнымалы функция

Демек,

z 0 нүктесі полюс болады.

lim z

2 sin z

,

lim z3

sin z

1 0

z 4

z 0

z 0

z4

екеніне кӛз жеткізуге болады.

сонымен, z 0 нүктесі үшінші ретті полюс болады.

2-мысал.

f z

z 3

функциясының

ерекше

нүктелерін

z z 2 z

1 2

табыңыздар.

Шешуі. z1 0 және

z2

2 нүктелері берілген функцияның жай полюстері,

ал z3 1 – екінші ретті полюсы.

1

z 2

3-мысал.

z

нүктесінің

аймағында

f z

,

g z

z 3

1 z 2

функцияларының тәртібін анықтаңыздар.

Шешуі.

z

1

алмастыруын

жасаймыз.

Сонда

1

болады.

3

1

f

1

3

шарты орындалғанда

1

2

f

1 3 3

...

жіктелуі болады.

Сонымен

1

1

3 32

1 3 32

3n

f z

2

2

3

...

n 1

,

z

3

1

...

боады.

z

3

z

z

z

z

z

z

n 0 z

Сондықтан z нүктесі жӛнделетін ерекше нүкте.

g z

z 2

функциясы

үшін

z

нүктесі

дұрыс нүкте

екеніне кӛз

1 z 2

жеткізуге болады.

4-мысал.

f z

1 e z

функциясының

z0 0

ерекше

нүктеcінің

типін

z

анықтаңыздар.

Шешуі.

z0

0 ерекше нүктесін сипаттау үшін берілген функцияны

z тің

дәрежесі бойынша Лоран қатарына жіктейміз.

f z

1

1 e z

1

z

2

z

3

1

z

2

z

3

z

z

2

1 1 z

...

z

...

1

...

.

z

z

2!

3!

z

2!

3!

2!

3!

Бұл қатардың негізгі бӛлігі жоқ. Олай болса,

z0

0 нүктесі жӛнделетін ерекше

нүкте.

21

f z

3.3.Қалындылар және оларды есептеу

Егер f z

функциясының

z0

оңашаланған ерекше

нүктесі түзуленетін

тұйық сағат тілінің бағытына қарсы бағытталған L сызығының ішкі нүктесі

болып, ол сызықтың бойында және барлық

z z0

ішкі

нүктелерінде f z0

аналитикалық функция болса, онда

1

f z dz

интегралы

f z функциясының

2 i

L

z0 нүктесіне қатысты қалындысы

деп аталады да, оны Re s f z0 немесе

Re s f z ; z0 деп белгілейді.

Сонымен,

Re s

f z0

1

f z dz

(3.7)

2 i

L

Коши теоремасы. Контуры L болатын D тұйық облысында

аналитикалық

f z

функциясының

шектеулі

санды

zk

k 1, 2,..., n ерекше

оқшауланған нүктелері бар бар болса онда

n

f z dz 2 i Re s

f zk

(3.8)

L

k 1

болады.

Бұл теорема функцияның интегралын есептеуге қолданылады. Егер

	функциясының				z0	нүктесінің	аймағында Лоран қатарына жіктесек, онда
	қатардың с 1				коэффициенті		f z	функциясының z0 нүктесіне қатысты
	қалындысына тең болатынын кӛреміз:
	c-1	1			f z dz	немесе	Re s	f z0 c 1 .
		2 i
				L
	Егер z z0 нүктесі f z функциясының жӛнделетін ерекше нүктесі болса,
	онда

Re s f z0 0 .
f z функциясының n –ретті полюсіндегі қалындысы
Re s f z0		1		lim	d n 1 z z0 f z
						dz n 1
	(n 1)! z z0
формуласымен анықталады.
Егер n=1 болса, онда
Re s f z0 c 1		lim z z0 f z .
		z z0
Егер f z z бӛлшек түрінде беріліп,							z0 a нүктесі бӛлімінің жай нӛлі
z
			болса,			онда z z0	нүктесі f z функциясының жай
a 0, a 0 ; ал a 0
							22

полюсы болар еді. Бұл жағдайда екі функцияның қатынасы түрінде берілген f z функциясының қалындысы

Re s f z0

z0

z0

теңдігімен табылады.

f z

Егер z0

нүктесі

функциясының елеулі (маңызды) ерекше нүктесі

болса, онда

f z

функциясының

z0

нүктесіне

қатысты қалындысы

(3.7)

формуласымен есептеледі,

яғни f z

функциясын

z0

нүктесінің аймағында

Лоран қатарына жіктеу керек.

1-мысал.

f z

z 2

функциясының

ерекше

нүктелеріндегі

z

3

z 4

қалындысын табыңыздар.

Шешуі.

f z

функциясы үшін ерекше нүктелер: z 1 – жай полюс,

z2 0 –

үшінші ретті полюс.

Демек, формула бойынша

Re s f z ;1

z 2

z 1

1 2

3.

z 3 z 4

3 4

1

3

z 2

1

z 2

1

Re s f z ;0

lim

z 0

lim

6 3 .

2! z 0

z3 z 4

2 z 0

1 z

2

2-мысал. Интегралды есептеңіздер:

dz

, мұндағы L –

шеңбер

z 1 2

z 2

1

L

z 1 i

2 .

Шешуі.

f z

1

функциясы

z 1 i

2

z

1 2 z 2 1

дӛңгелегінде

z1 i

жай

полюсы және

z2 1

екінші

ретті полюсы бар. Қалындыны есептеу формулаларын

қолданып,

dz

2 i Re s f z ;i Re s f z ;1

z 1 2 z 2 1

L

z i

1

z 1 2

1

2 i lim

lim

z 1 2 z i z i

z 1 2 z

z i

1! z 1

2 1

1

2z

1

1

i

2 i lim

lim

2 i

z

z i

2

z

1

2

2

4

2

2

z 1 z i

1

аламыз.

23

e z

3-мысал. Интегралды есептеңіздер: L z 2 4dz , мұндағы L – шеңбер

z 3 .

Шешуі. Интеграл астындағы функцияның L контурының ішінде екі ерекше нүктесі бар: z1,2 2i жай полюс. Қалындылар туралы теореманы

қолданып,

e z

e z

e z

e2i

dz 2 i(Re s f (z

) Re s f (z

)) 2 i

2 i

2

1

2

L z 4

2 z

z 2i

2 z

z 2i

4 i

(e2 i e 2 i

) i sin 2 sh 2 i

2

	e 2i
	4 i

аламыз.

																			1
													z		2e z2								1
4-мысал.																										dz интегралын есептеңіздер.
																		z
									z		1
Шешуі. Интеграл астындағы функцияның																																									z		1 контурының ішінде
жатқан бір ғана												z1			0									елеулі нүктесі бар. Осы елеулі нүктенің аймағындағы
Лоран қатарын табамыз:
		1
	z 2 e z 2 1							1						2									1					1					1						1					2		1
											z																/ n ! 1									1					z				1					1
																								2										2n 2														2
		z							z											z								z																			2!z
															n		0													n	0 n !z								z
1												1
z																...
				2!z 3						3!z 5
																																					1
																																			z 2e z2 1								2 i			0 0 .
Олай болса Re sf (z1 ) 0 . Сондықтан																																								dz
																																					z
																																	z	1

3.4. Қалындылар теориясын интегралдарды есептеуге қолдану

Бұл пунктте қалындылар теориясының анықталған интегралдарды есептеудегі кейбір қолданылуына тоқталайық.

Нақты осьті қосқанда жоғарғы жарты жазықтықтың барлық нүктелерінде, нақты осьтің жоғарғы жағында орналасқан ерекше z1 , z2 ,..., zk нүктелерден басқа,

голоморфты f z функциясы берілсін дейік. Сонымен бірге шектеусіз

алыстаған нүкте f z	функциясының ең болмағанда екінші ретті нӛл нүктесі
деп жориық. Бұл жағдайда z1 , z2 ,..., zk нүктелеріне қатысты
	k
f (x)dx 2 i Re sf (zi )
	i 1

форрмуласы болады.

24

			2
			R sin x;cos x dz																								түріндегі																										анықталған																													интегралын									z ei x				алмастыру
0
арқылы					z		1					тұйық																контуры																								бойымен комплекс																																			айнымалы								функциядан
алынған интегралға келтіріледі.
			1-мысал. Қалындының кӛмегімен интегралды есептеңіздер:
																																																		2												dx
																																											I																																.
																																																																				2
																																																			0 3										2 cos x
			Шешуі. z ei x																	алмастыруын жасаймыз. Сонда dz i ei x dx i zdx ,
																																																																				1
																																													ei x e i x																					z																z 2 1		.
																												cos x																																												z
																																																			2																	2															2z
			Демек,
							2									dx																																						dz																			1											zdz
																																																																																										I .
																									2																																										2																						2
				0					3		2cos x																							z			1																				z 2				1												i						z		1		z 2 3z 1
																																										i z						3 2
																																																											2z
	z		1	дӛңгелегінде																							f z																							z														функциясының																								z		3 5					екінші						ретті
																																									z 2 3z 1 2
																																																																																									1		2
полюсі бар.
			Формула бойынша
																																																			2
				3 5								1																						3 5																																									z
Re s( f (z);									)									lim									z
				2								1! z							3 5																							2																												5			2														2
																																																												3																							3 5
																					2																																z																			z
																																																													2																						2
																				3
																															5 z																			3
										lim															2																															.
																																								3
																																																5 5
											3 5															3
									z																									5
														2					z
																												2
Демек,
								I			1			2 i									3															6 5									.
												i									5							5												25
																					dx
			2-мысал .																											интегралын есептеңіздер.
																	(x			2				9)				2
Шешуі.				f (z)										1											функциясының жоғарғы жарты жазықтықтығында z0 3 i
										(z2 9)2
екінші ретті полюсы бар және для																																																												z				жеткілікті үлкен мәні үшін																															f (z)				M			.
			Сондықтан																																																																																																z		4

25

			dx														1
														2
							2 i Res(f(z);3 i) 2 i lim							z 3 i					2 i
		2			2											2
				9)											(z		9)
(x												z 3 i
			lim					4 i		4 i			.
										(6i)3
						z 3 i (z 3 i)3						54

3-мысал. Пуассон интегралын есептеңіздер:

	1
lim
	(z 3 i)	2
z 3 i

2π

dx

I ( p)

,

p

1.

1

2 p cos x p

2

0

Шешуі.

z ei x , dz i ei x dx i zdx алмастыруы жасайық:

1

ei x e i

x

z

z 2

1

,

cos x

z

2

2

2z

Сонда

I ( p)

dz

i

dz

i

dz

.

2

2

2

1 i z(1 p

z

1

p

2

pz

p

z

z p

1

z

)

z

1

z

1

p(z p) z

z

p

Кез келген р,

p

1үшін

z

1 дӛңгелегінің ішінде интеграл астындағы

1 болғанда:

функцияның бӛлімінің бір ғана түбірі бар. Олай болса,

p

f (z)

1

,

I ( p)

2 i2

Re s( f (z); p)

2

,

p

p

2

1

1

(z p) z

p

ал егер

p

1 болса,

онда I ( p)

2 i 2

Re s( f (z);

1

)

2

.

p

p

p 2 1

Сонымен,

2

åãåð

p

1,

p

2

1

I ( p)

2

åãåð

p

1.

2

1

p

III тарауға арналған жаттығулар

№ 1. Берілген функцияны z-тің дәрежелері бойынша барлық лорандық жіктелуін табыңыздар:

	z 2			z 2
1)		.	2)		.
	2z3 z2 z			4z4 z3 2z2

26

		3z 18					2z 16
3)			.		4)			.
	2z3 3z2 9z						z4 2z3 8z2
		5z 50					3z 36
5)				.	6)				.
		2z3 5z2 25z				z4 3z3 18z2

№ 2. Берілген функцияны лорандық жіктелуін табыңыздар:

	1)		2z		, z0 2 3i .
			z2	4
	3)		2z	, z0 1 3i .
		z2 4

z z0 -дің					дәрежелері бойынша барлық
2)		2z			,	z0	3 2i .
		z2	4
4)		2z		,		z0	2 2i .
		z2	4

№ 3. Берілген функцияны z0 нүктесінің аймағында Лоран қатарына жіктеңіздер:

1) z cos				1			,	z0 2 .					2) sin				z			,		z0	1.
			z			2										z 1
3) z e z / ( z 5),								z0	5.				4) sin				2z				,	z0	2 .
																z 2
№	4.					Берілген функцияның							z 0					ерекше нүктелерінің түрін
анықтаңыздар:
				e	9 z		1											2
1)												.	2)	z 3e7 / z						.
		sin z z z 3							/ 6
3)		sin 8z 6z									.		4)				cos 7z 1							.
	cos z 1 z 2 / 2													shz z z3 / 6
5)		sh6z 6z								.			6)	ch5z 1								.
		chz 1 z2 / 2												ez			1 z

№ 5. Берілген функцияның оңашаланған ерекше нүктелерін табыңдар және олардың түрін анықтаңдар:

1)e 1/ z / sin(1/z) .

3)tg 2 z .

5)tg (1/z ).

№ 6. Интегралды есептеңіздер:

						dz
	1)						.
					z(z2 1)
		z	1 / 2
						dz
	3)							.
						z(z 2 4)
		z i		3 / 2

2)	1/cos z.
4)	ze 1/ z tg z.
6)	ctg(1/ z) .

						2dz
	2)							.
						z 2 (z 1)
		z 1 i			5 / 4
				2 sin z
	4)						dz .
				z(z 2i)
		z	1

27

5)				e z dz	.
	z 3		1/ 2	sin z

№ 7. Интегралды есептеңіздер:

1)

cos z2 1

dz .

z3

z

1

3)

e1 / z 1

dz .

z

3

z

1 2z 3z

2 4z3

5)

dz .

2z2

z

1 / 3

№ 8. Интегралды есептеңіздер.

6)				z(2 sin z)	dz .
	z 3 / 2		2	sin z

2)						2 z	2 3z3			dz .
						4z3
	z	1 / 2
4)					sin z3			dz .
			1 cos z
	z	2
			1 cos z2
6)						z2			dz .

z 2

1)						2 z sin 3 z								dz .
						z2			sh2 2 z
		z		0,2
3)					sh2 z 2 z								dz .
										2	2	z
	z		0,5			z	2	sin
											3

№ 9. Интегралды есептеңіздер.

	2)			cos 3 z 1 9 z2 / 2							dz .
					z	4	sh	9
		z	1					4 z
				ch3 z 1 9 z2 / 2
	4)									dz .
				z	4	sin		9
		z	1					8 z

				z
			4sin				i
				4 - 2i
1)
			(z 2 i)2 (z 4 i)			e z / 2 i dz .
	z i	3

2)

3)

4)

№ 10.

1

2cos ( z /5)

z 6

z e

(z 5)2 (z 3)

dz .

z 6

2

i z

2sh

4 2 i

e z / 2 i

(z 2 i)2 (z

4 i) dz .

z i

3

1

2sin( z /2)

2

z ch

z

2

(z

1)

(z

1)

dz .

z 2

2

Интегралды есептеңіздер:

		2			dt								2		dt
	1)									.		2)					.
				2										4
						3 sin t									15 sin t
		0											0
		2			dt								2		dt
	3)										.	4)						.
				5										6
					2 6 sin t										35 sin t
		0											0

28

	2			dt												2				dt
5)										.					6)											.
		7 4					sin t												5 4sin t
						3
	0															0
№11.				Интегралды есептеңіздер:
	2						dt									2							dt
1)														.	2)													.
													2														2
		(1		10 /11cos t)															(	5 cos t)
	0															0
	2					dt										2								dt
3)												.			4)															.
											2																		2
		(1			6 / 7 cos t)														(2		3			11cos t)
	0															0

№ 12. Интегралды есептеңіздер:

			x2		x 2
1)										dx .
		x4 10x2 9
				dx
3)							.
			(x	2	1)	2
					dx
5)									.
			(x	2	x 1)			2

2)
4)
6)

x 1
		dx .
(x2	4)2
	dx
				.
(x2	4)2 (x2 16)
	dx
			.
(x2	4)(x2 9)2

№ 13. Интегралды есептеңіздер:

x sin 3x

1)0 (x2 4)2 dx .

		cos 2x
3)						dx .
		(x	2	1)	2

		(x 1)sin x
2)										dx .
			(x		2	9)		2
			x cos x
4)									dx .
			(x	2		1)	2

	(x 1) cos x					x sin	x
5)			dx .	6)		2			dx .
		x4 5x2 6				(x2 1)(x2 9)

Ӛзін-ӛзі тексеру үшін тест тапсырмалары

1. z 2 dz интегралын есептеңіз, мұндағы АВ – түзудің бӛлігі. z A =1, z B =i

AB

A)- ( i + 1 ) / 3 ;

B)( i - 1 ) / 3 ;

C)( 1 - i ) / 3;

D)0 ;

E)( i + 1 ) / 3;

29

2. z 10dz		x	2		y	2
	интегралын есептеңіз, мұндағы - эллипс						1
		a	2		b	2

A)a b ;

B)ab ;

C)0 ;

D)1 ;

E)a + b ;

dz

3. z 2 интегралын есептеңіз, мұндағы - шеңбер ( x – 4 ) 2 +(y – 3 ) 2 = 1

A) 5 ;

B) 4;

C) 0 ;

D) 3;

E) 2;

1 i

4. zdz интегралын есептеңіз .

i

A)1 / 2 + 2 i ;

B)1 / 2 + i ;

C)1 / 2 - i ;

D)0 ;

E)2 i + 1 ;

2 i

5. zdz интегралын есептеңіз .

i

A)2 + 2 i ;

B)2 + i ;

C)2 - i ;

D)0 ;

E)2 i + 1 ;

6.i zdz интегралын есептеңіз .

1

A)1 / 2 + 2 i ;

B)1 / 2 + i ;

C)1 / 2 - i ;

D)- 1 ;

E)2 i + 1 ;

30