RII_OCR[1]

При нахождении интегралов вида

\f(cosx) sin xdx и \f(sinx)cosxdx

(8.15)

целесообра~но примеНЯТh подстановки

cos х =

1 и sin х =

t

(8.16)

соответственно.

r sin

Пример 4.

Найти

3

х dx.

)

cos 4

Х

~ ПОЛОЖЮ1,соs Х =

[, тогда

---с,,----х

sillЗ х

dx

=)-

SlП xdx =

)

1 - cos'

.

cos'x

cos

х

= r 1 -

t'

(-dt) = _ r~ ~I + r~2

dl =

)

(1

)

14

)

{

=~гз_ ~+C= ~_I_.___I_+C.-<!I

3

1

3

cos" х

cos х

Пример 5.

"

~

.;

cos 2xdx

, .

Наити 1 =

OVl2

+ 3 sin 2х)'

~ ПОЛОЖИМ,2 +

3 sin 2х = t

з

. Тогда cos 2xdx

=

1

2

и

-:2

1 dl

1 ~ 12dt

1 ~

1

1 2/

.

I=~

-- = -

dl=-I+С=-у(2+3SlП2х)+С.-<!I

2'f1"

2

2

2

.

АЗ-8.8

Найти данные неопределенные интегралы.

r

~ lп

х

1.

dx

(

Ответ:

2 + tg-:2

J

3+5cosx'

4

х

2-tg-:2

2.

(

dx

.

(Ответ: _1_ аrctg

-!Зtg х + с.)

J 3 Sill' Х + 5 cos 2 Х

.jl5

.j5

3.

~

8

d

.

(Ответ: Iп

Itg

~

-

51

+ с.)

-

4' x-l_ 7

cos х

t

х

3

SlП Х,

g-:2-

4.

r

3

•

10

xdx.

(

Ответ:

COS

11

X

соslЗх

+ с.

)

J cos

х SIП

--11- -

--13-

5.

~

siп2Х+

3 sin ~xcosх+

cos2 Х

•

41

				(Ответ: _1_ In	-.!... tgx+ 3 --vГз1		+ со)
					2
				Fз	I2 tg х+ 3 + -vГз
6.	~sin 4 Зхdхо (Ответ: ~ х- +sin 6х+ ~6sin 12x + С.)
7.	r cos	4 х+ sin	4 х	dxo (Ответ: -.!... In/ I + tg х /		+
	j cos2 Х - sin 2 х			4	1 - tg х

+ -} sin х cos х+ со)

8.

r

cos

dx

3

Х

о

(Ответ:

In Itg хl -

2

х

+ со)

j

х slП

2 sin

Самостоятельная работа

Найти неопределенные интегралы

1

а

)

r

sin

3 х

d

х;

б) r

dx

.

J

Vcos4 х

J

4 - 5 sin х о

(Ответ: а)

~ соs5/3х-З COS-I/3X+ с;

tg~ - 2

б)

-.!...IПI

2

____

3

х

2tg 2

-1

2.

r

dxo

r sin xdx

а)

cos 2х

б)

•

J -Jз + 4 sin 2х

'

J sin х + 1

(Ответ: а)

{-УЗ +4 sin 2х + с; б)

2

х

+х + С.)

r

1 +tg 2

3.

а)

sin Зхdх

о

б)

r sin 2 xdx .

J ~\/(з+ 2 cos з4 '

J 1+cos 2 Х

(Ответ: а)

-} -Jз+ 2 cos Зх + с;

б) -12 arctg( ~) -х+ со)

42

8.9. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 8

ИДЗ-8.1

Найти неопределенные интегралы (в заданиях 1-5

результаты интегрирования проверить дифференциро­

ванием) .

1

1.1. ~ з+'\fx2-2Х d

-гх х.

1.3.	~ 3 -vx+ 4х2 -		5 d		х.
		Q
		2х-
1.5.	~V;-2X+5d			х.
		х2
1.7.	~(-Vx-2f+3)dx.
1.9.	~ 3х2	- ~+ 2 dx.
1.11.	~W-5x 2 + 3dx.
		х
1.13. ) ( х2,_ ~-			3) dx.

1.15. ~C~+2x3 -4)dx.

1.2. ~ 2х2 + 32х-гх- I d х.

1.4. ~2-Vx-Х2+3dХ.

vx

1.6. ~ 2х3 - -vx+ 4 dx.

-vx

1.8.	~ 2х3 -		-j;5 + I	dx.
			-vx
1.10.	~ 2х3	-	-vx+ 4 d	х.
			2

Х

1.12. ~(xvГx--J;з + l)dx.

_3 г2	5
1.14. ~-vx--:x	+3 dx .

1.16. ~.p- :х4 + 2 dx.

r(3		-Г5	4 )	r2х3		- -v;s + 5 d		х.
1.17. ) 2х		- 3у Х	+-х	dx. 1.18. )		х2
1.19. ~ Зх	2	-р		1.20. ~ Зх	4	W	I dx.
	-	х'Х +7 dx.			-	х2Х +
1.21. ~(-\Гx2-~+4)dx.				1.22. ~-Vx-~Х3+6dХ.
1.23. ~-Vx-:2Х3+4dХ.				1.24. HvГx-~+2)dХ.

43

		1.26. ~ !.ухг·6 -:х2 + 3 dx.
		1.28. ~(~-~ +6)dx.
((W	7	)
1.29. ) -;- -	х3	+ 5 dx. 1.30. ~ (~ _{Гх2 + 2) dx.
		2.
2.1. ~dx.		2.2. ~{l1 +xdx.

2.3. ~{I(I+x?dx.

2.5. (	dx	.
)-.)\1-4

2.7.~ (1 - 4х)7dx.

2.9.) (1 - 3X)4dx.

2.11.~..)5 - 4xdx.

2.13. ( dx .

)V(I - 44

. 2.15. (dx .

J~

2.17 ~-{l1 +3xdx.

2.19. ( dx .

) -.)(3-4

2.21. (~.

) (2+х)

2.23.)..)5 - 4xdx.

2.25.~i/2-5xdx.

2.27.~..)3 - 4xdx.

2.29.~i/(з+5X)3dx.

2.4. ~-.)ld: х·

2.6.\~.

)V2+x

2.8.)(1 +4X)5dx.

2.10.	~ ..)1	+ 3xdx.
2.12.	(	dx .
.	) 'У5	+	3х
2.14. (		dx	.
	) 'У(3-44

2.16.~-\1з - 2xdx .

2.18.){l1 +3xdx.

2.20.(~ . )~

2.22.~{l5 - 2xdx.

2.24.) 'V(6-5x?dx.

2.26.){l4 - 2xdx.

2.28.)-V3+2xdx.

2.30. ){I(2-X)2dx.

3

3.1.	~з~х'			3.2.	~	dx	3.3.	~	dx
						3х+9'			2 - 3х'
3.4.	~	1-4x'		3.5. ~ 2 ~Хзх'			3.6.	~	2 -5х'
			dx						dx
3.7.	~		dx	3.8.	~	dx	3.9.	~	dx
		3х-2'				2х+3 .			3х-4 .
3.1 О. ~		4	~\x'	3.11. ~~.			3.12. ~~.
						х+4			4х-
3.13. ~ 5~\X'				3.14. ~~.			. 3.15. ~ 5xd~ 3 .
						4-7х
3.16. ~ 3 ~X2X'				3. 17. ~ 5 ~x3х.			3.18. ~ 3 ~\x'
3.19. ~ 5~\X'				3.20. ~ 6 ~Хзх'			3.21. ~6~X5X'
3.22. ~ 1 ~\x'				3.23.	~	1 + 6х'	3.24.	~	2 + 7х'
						dx			dx
3.25. ~~.				3.26. ~ 5 ~X2X'			3.27. ~~.
		7-3х							2х+ 7
3.28. ~ 2Xd~9'				3.29. ~'7xd~3'			3.30. ~ 6xd~ 1 •
						4
4.1.	~ siп (2 -			3x)dx..		4.2.	~ siп (3 -		2x)dx.
4.3.	~ siп (5 -			3x)dx.		4.4.	) cos (2 +		3X)dx.·
4.5.	~ cos (3- +			2x)dx.		4.6.	) siп (4 -		2x)dx.
4.7.	~	cos (5 -		2x)dx.		4.8.	) cos (7х +·3)dx.

4.9.) siп (8х -3)dx. 4.10. ) siп (3 + 4x)dx.

4.11.	)siп(3-4х)dх.	4.12.	) cos (4х +	3)dx.
4.13.	) cos (3 - 4x)dx.	4.14.	) cos (2 +	5x)dx

4.15.)cos(3x+5)dx. 4.16. ) siп (5х - 3)dx.

4.17.) si~ (5 ~ 3x)dx. 4.18. ) siп (3х + 6)dx.

4.19.	) cos(5x -	8)dx.	4.20. ) cos (3х -	7)dx.
4.21.	) cos (5х -	6)dx.	4.22.) siп(7х+ l)dx.
4.23.	) cos (7х +3)dx.		4.24. ) siп (7 -	4x)dx.
4.25.	) cos (3х -7) dx.		4.26. ~ siп (8х -	5)dx.
4.27.	) cos (8х -	4)dx.	4.28. ~ siп (9х- l)dx.
4.29.	~ cos (lOx -	3)dx.	4.30. ) siп (9х +	7)dx

45

5.1. ~ ~x .

9х - 3

5.4. ~ ~9dx.

		9х2 - 3
5.7. ~		3dX,.
	.)7х2 -'4
5.10. ~			dx	.
		.)3 - 5х2
5.13. ~		-Vsdx .
		.)3 - 4х2
5.16. ~			dx	.
		.)3х2 + 1
5.19. ~ ~dХ .
		2х	- 7
5.22. ~			~x	.
		4х	+3
5.25. ~			dx	.
		.)9 - 8х2
5.28. ~			~x	.
		4х	+7
6.1. ~		2xdx .
		.)5 - 4х2
6.4.	~	4xdx .
		.)3 - 4х2
6.7.	~	xdx		.
	.)9 - 8х2
6.10. ~			2xdx .
		.)7 -		2х2

5

5.2. ~		dx .
	.)9х2 + 3
5.5. ~		dx		•
	.)3 - 9х2
5.8. ~		2dx	•
	5х +3
5.Н. ~			dx .
		.)5х2 + 3
5.14. ~~2					.
		2х -9
5.17.	~	dx
		3х2	+ 2	•
5.20.	)	dx
		8х2	+ 9	•

5.23. ~~2 .
		4х	+ 3
5.26.	~	dx	3 •
		4х2 -

9 ~ --2dx:г.

5.2.

4+ 3х

6

6.2·~R·5- зх

6.5. ~ 2xdx .

.)8х2 - 9

6.8. ~ -Vзхdх .

.)3х2 - 2

6.Н. ~ ~dx .

2х - 7

• 5.3.		~				~x	•
			9х			+3
5.6.		~				~x .
				7х		- 4
						dx
5.9. ~ 5х2 - 3 •
5.12. ~~.
						4-7х2
5.15.)						~x .
					2х +7
• 5.18. ~						.j2dx .
				.)7 -			2х2
5.21. )						пх
						3х2 -2
5.24. ~						dx	.
				.)3 _			4х2
5.27. ~						dx	9 .
					8х2 -
5	.30.		~			2dx
				~.
						4х2 - 3
,6.3. ~					3xdx .
				4х2 + I
6.6.		~				4xdx .
				.)4х2 + 3
6.9.		~				2xdx .
				.)3х2 -			2
6	.12.		~			xdx
					3х2 + 8 •

46

6.13. ~

2;dx

•

6:14. ~

2xdx .

зх

- 7

-У2х2 + S

6.16. ~

~dx .

6.17. ~

Sxdx

•

2х

+9

-Уз - бх2

6.19. ~

5xdx .

6.20. ~

~dx .

~Бх2 + З

зх - 6

6.22. ~

Sxdx .

6.23.

~

xdx

бх2

-

З

2х2 - 7 .

6.25. ~

Зхdх .

6.26.

~

Sxdx

9х2

+2

~'

6.28. ~

2:dx .

6.29. ~

~dx .

Бх- -

З

зх

- 2

7

7.1. ~

dx

7.2.

~

dx

-У2 - бх2 .

2

2х

-Б'

7.4. ~

:х .

7.5.

~

2dx

Бх

+

2

2х

+ 3 .

7.7. ~

:х .

7.8. ~

dx .

2х

+9

-У9 -2х2

7.10.)

~x .

7.11. ~

~x .

Бх

- 4

зх

-7

7.13. ~

,~x .

7.14. ~

~x .

6х· - 7

7х

+ 6

7.16.

~

2

'

.

7.17. ~~.

dx

6х

+

I

5х2 _

I

7.19. ~

dx

.

7.20. ~

dx

•

-У2 - Зх2

-У8 - Зх2

7.22. ~

dx

.

7.23. ~

~x .

~Зх2 + 2

2х

+7

7.25. ~

~x .

7.26. ~ ~.

3х

+ 4

у8х2 -

9

	6.15. ~				xdx
			./7 -			Зх2		.
	6.18.	~			xdx
			~Зх2 +				8 .
	6.21.	~	xdx
			бх2 +			1 .
	6.24.	~		9xdx
			-УI -			9х2 •
	6.27.	~		Зхdх
			-У9х2 + S .
	6.30.	~	7xdx
			7х2 +			I .

7.3. ~ -У7хdx2 - З

7.6. ~ ~Бхdx2 + I

	7.9. ~	dx		.
	-У9х2 +2
	7.12. ~		~x .
		зх +7
	7.15. ~		dx		•
		-У7 - Зх2
	7.18. ~		dx
		Зх2 -5'
	7.21. ~		dx	.
		~Зх2 + 8
	7.24. ~		dx	З .
	7.27. ~	4х2 -
			dx
			~.

47

7.28. r	dx	.	7.29. (~.					7.30. (	~ .
J ';1 -		зх2		J		4х2 + 5		J	3х	- 2
					8
8.1. ~ e2x - 7dx.			8.2. .~ e3 +5x dx.					8.3. ~ e2 - 3xdx.
8.4. ~e2X+ldx.			8.5. ~	e7x -			2dx.	8.6. ~ e5x - 7 dx.
8.7. ~ e5x +7 dx.			о 8.8. ~	e7 -		2x dx.		8.9. ~ e3 - 4xdx.
8.10. ~ e 1ox +2 dx.			8.11. ~е2Х-IОdх.					8.12. ~ е4Х+Зdх.
8.13. ~e4X+5dx.			8.14. ~		e6x -		1dx.	8.15. ~	e5 -	2xdx.
8.16. ~ e4 -	3xdx.		8.1 7.	~	e3 -		5x dx.	8.18. ~	el -	4xdx.
8.19. ~ e2 -	5xdx.		8.20. ~		e6x -		4dx.	8.21. ~	e8x + 1dx.
8.22. ~ e2 - 6xdx.			8.23. ~ e2 - 4Xdx.					8.24. ~	e3 - 6xdx.
8.25. ~ e4 - 5Xdx.			8.26. ~		e5 -		x dx.	8.27. ~	e7+ 3xdx.
8.28. ~ e2x +3dx.			8.29. ~ е8х + Idx.					8.30. ~	e4 -	7xdx.
				9

9.4.

(

dx

.

J (l-x)';ln 3 (1-x)

95

( In

3 (1 - х)

d

Х.

9 6

r .yln (2х - 1)

d

")

х-I

")

2х-I

х.

9.7. r Vlп (3х+ 1)

ах.

\

dx'

j

3х+ 1

9.8. J

(х+ 1) In 2 (x + i) .

9.9. ~

(х+ I).yln(x+ 1) .

9.10. )

~\A:~;-1)

dx.

dx

.

9 1'1

r -.J!n5 (х+ 1)

d

9

.

12

(!.jln 2 (x+ I)'d' .

.. j

х+ 1

.

х.

. j

х+ 1

х.

А

(-У

13

1n3(Х+ 1)

d.

'

9.14. (

. dx.

' .

".

. J

х +1

х.

J (х+-1) Vln (х+ 1)

А 1'"

(-.J

1л7 (х+ 1)

d

х.

9.1&. )

dx

.

17•••

j

Х + 1

(х + 2) -.Jln (~ + 2)

9.17. r In4{3x~l)		dx.
J	3х+
9.19. r	d~	.
J	(х + 5) ln (х	+ 5)
9.21. ~ -,/1: ~~4)		dx.
9.23.·~	-V1:3~~3)	dx.
9.25. ~	dx
	(х+ 3) ,п4 (х + 3) .
9.27. r -V1n3 (х+6)		dx.
J	х+6

9.29. r In6 (х +9) dx.

J х+9

10.1. ~ sin 4 2х cos 2xdx.

10.3. r sin 3х dx.

J cos 4 3x

10.5. r~dx.

J cos5 х

9.18. ~	dx	(х - 3) .
	(х - 3) In 4
9.20. ~	In3x(~~5)	dx.

9.22. ~ 'п:(::...--; 7) .dx.
9.24. r 1.)ln4 (х-;; 5) dx.
J	х-;)
9.26. \	,п5 (х - 8)	dx.
J	х-8
9.28. r	dx	.
J	(х - 4) In5	(х - 4)
9..30. ~	In3~~+55)	dx.

10

10.2. r cos2x dx.

J sin 3 2x

'10.4. \ ~dx.

J 1.)(OS х

10.6.~ cos7 2х sin 2xdx.

10.7. r cosxdx .

J sin х + 2

10.9. r	sin xdx .
-J :Jcosx+ 3
10.11. r	cos xdx	.
J -V(sin х _'4)3
10.13. r siп 5х dx.
J -Vcos 5х		_

10.15.	~ sin3 4х cos 4xdx.
10.17.	~-УСоS3 2х sin 2xdx.
10.19.	~ sin3 5х cos 5xdx.

10.8. \	cos ~dx .
J 3 - sшх
10.10. r	sinxdx
J Vcos х + 1
10.12. r sin 3х		dx.
J cos2 3x
10.14. r cos 4х		dx.
J sin 3 4x			.
..з~
10.16. ~vcos 2х sin 2xdx.
10.18. r	sin 4х		dx ..
J Vcos2 4X
10.20. \	cos 5х		dx.
J -Ysin35x

10.21. r sin 5х

dx.

10.22. ).Jcos 7х sin 7xdx.

)

cos4 5x

10.23. ) sin6

3х cos 3xdx.

10.24. r cos 6х

dx.

10.25. ).JCOS32X sin 2xdx.

)

sin7 6x

10.26. ) sin4 8х cos 8xdx.

10.27. ~

sin5 4х cos 4xdx.

10.28. r sin 4х

dx.·

)

Vcos 4х

10.29. r

sin 2х

dx.

10.30. r cos 6х

dx.

)

Vcos 4 2x

)

sin 4 6x

11

11.1. ~

-Vtg

3 х

dx.

11.2. ~

dx

.

cos2 х

cos 2 x-VtgЗ х

11.3. ~

dx

11.4. ~ c: g:2x

dx.

sin 2 х ctg4 х .

slП 2х

~

tg 3

4x

d

11.6. ~

Vtg 5х

d

11.5.

---

х

.

cos 2 5x

х.

cos 2

4x

11.7. ~

Vctg

2 х

dx.

11.8. ~

dx

.

sin 2 х

sin 2 х ctg 3 х

11.9. ~

dx

11.10.

~

-Vctg 7х

dx.

cos2

3х tg4

3х .

sin 2 7x

11.11. ~

Vctg 3х

dx.

11.12.

~

tg4 7x

d

х

---

.

siп2 зх

cos 2 7x

11.13. ~

ctg5

6x

dx.

11.14.

~ Vtg

5

4X

dx.

sin 2 6x

cos2 4x

11.15. ~

ctg

4

3x

dx.

11.16.

~

dx

sin 2

3х

cos2 4х

-Vtg 4х .

11.17. ~

2

dx

3

11.18. ~~dx2

.

sin

3х ctg

3х •

cos

6x

11.19. ~

dx

11.20.

~

-Vctg 4х

dx.

sin 2 х ctg3 х .

sil1

2 4х

11.21. ~

5

dx.

~

Vtg 7х

dx ..

ctg

4x

11.22.

cos

2

sin 2 4x

7х

50