3lk_0

a

a

a

a

da

f

* x x dx

dx

f * x f

x C

C

da

f * x f

a

x dx

C

δ a a da C

. (22)

a

a

a

a

Вычисление коэффициентов разложения (21) и (22) по заданной Ψ(x) и известным fn(x), f(x) доказывает возможность разложений (19), (20).

Если функции fn(x) в разложении (19) известны, то, чтобы знать Ψ(x) достаточно знать коэффициенты разложения

С1, С2 , С3 , , Сn , .

(19)*

Определение 11. Полный набор ортонормируемых собственных функций

ˆ
оператора A :	x ,	f2 x ,	f3 x , ,	fn x ,
f1

назовѐм базисом, а числа (19)* – координатами функций Ψ(x) в этом базисе. Представление функций в виде разложений (19) и (20) будем называть A – представлением этих функций.

Матричное представление операторов

Рассмотрим оператор ˆ , который переводит функцию φ(x) в Ψ(x) или:

B

ˆ	(23)
B x x .
Запишем функции φ и Ψ в A-представлении [Âfn = anfn]:
x Cm fm x ,
m

x U n fn x ,

n

где Cn и Un – координаты-числа. Подставим в (23) вместо функций их разложения в ряды:

ˆ		f n		Cm f m x .
B U n			(x)
	n			m

Это равенство умножим на

fk* x слева и проинтегрируем по x полученное

выражение:

x Bf

x dx

x f

x dx

U

f

k

n

C

f

k

m

n

ˆ

m

.

*

*

n

m

bkn

Введѐм обозначение:

*

ˆ

ˆ

k

ˆ

n

(24)

bkn fk

x Bfn x dx

fk

B

fn

B

и, используя ортонормируемость функций fn

в

правой

части равенства,

получим:

Unbkn Cmδmk

Ck .

(25)

n

m

Окончательно, уравнение (23) запишется в виде:

bknU n

Ck ,

(25)*

n

а коэффициенты bkn (24) это – оператор ˆ в A - представлении.

B

Определение 12. Набор всех коэффициентов bkn (24), представленный в виде матрицы B:

b			b	b		b
	11		12	13			1n
b21			b22	b23		b2n
B
						,				(26)
b			b	b		b
	m1		m2	m3			mn
квадратной и, как правило, бесконечной:
m
		1,		; n 1,		,

называется матричным A		ˆ
	- представлением оператора B . Выражение (25)*
есть произведение матрицы
	B bkn

на матрицу - столбец [Un], в результате которого получим матрицу - столбец

[Cn].

Например, для k, n 1, 3 :

b	b	b	U			C
11	12	13		1			1
b21	b22	b23	U	2		C2		.
	b32
b31		b33 U		3		C3

Определение 13. Транспонирование матрицы B = [bkn] и последующая замена еѐ элементов комплексно-сопряжѐнными называется операцией эрмитового сопряжения матрицы B. Матрица, эрмитово сопряжѐнная матрице B обозначается:

B
	bkn .
Согласно определению, имеем:			.
		*		(27)
bkn		bnk

Используя правило умножения матриц и операцию эрмитового сопряжения, можно показать, что:

AB B A ,

(28)

где A и B – квадратные матрицы одного порядка.

Определение 14. Матрица B называется самосопряжѐнной или эрмитовой,

если:

	B = B+ , ([bkn]= [bkn]+).		(29)
Теорема 6. Если оператор	ˆ	самосопряжѐнный, то в любом представлении
	B

его матрица эрмитова (самосопряжѐнная).

Доказательство.

ˆ

– самосопряжѐнный оператор, который в A-

Пусть B

представлении запишется так (см. (25)):

bkn fk

ˆ

fn

*

ˆ

ˆ

*

*

x dx

B

fk

x Bfn x dx fn x (B)

fk

*

ˆ

x dx

*

b

*

f

,

n

x Bf

k

nk

bkn

bkn

*

bnk

,

то есть

B = B+.

Утверждение доказано.

Напомним, что матрица называется диагональной, если она имеет вид:

b		0	0
	11
	0	b22	0
	0	0	b
B			33

	δkj . (30)
, или bjk

Теорема 7. В своѐм собственном представлении оператор ˆ имеет

A

диагональный вид и на диагонали стоят его собственные значения.

Доказательство. Дано:

						ˆ	x an fn x ,
						Afn
тогда
		ˆ			*	ˆ	*
fk		A		fn	akn fk	x Afn x	dx an fk	x fn x dx anδkn , (31)

где последнее равенство получается благодаря свойству ортонормируемости

собственных функций оператора ˆ

A .

Имеет место и обратное утверждение.

Теорема 8. Если в каком-либо представлении оператор ˆ имеет

A

диагональный вид, то это есть собственное представление оператора.

Доказательство: провести самостоятельно.

Операторы квантовой механики

Принцип соответствия (постулат 1).

В квантовой механике всякой физической величине сопоставляется

линейный самосопряжѐнный оператор. При этом говорят, что ˆ есть оператор физической величины .

Вид операторов в квантовой механике постулируется на основе согласования с опытными данными.

С этого момента буквой h в лекциях будем обозначать величину h/2π.

Оператор координат частиц:

x xˆ x ,

ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	(1)
r r i	x j y k z .

Оператор импульса частиц:

			ˆ
	Px Px			ih		x		,
ˆ
P P ih i			j		k					ih .	(2)
		x		y			z

Оператор функции координат:	x f x f x .
f
	ˆ	ˆ
Оператор функции импульса:
f P	ˆ
	f P f ih .
Между операторами в	квантовой	механике сохраняются те же

соотношения, что и между соответствующими им физическими величинами. Кинетическая энергия:

	P2	ˆ		1	2		h2		2		h2		h2		2			2			2
T		T			ih											2			2			2	.	(3)
	2m			2m			2m				2m				x			y			z
													2m

В ряде случаев оператор ˆ (3) требуется записать в сферических

T

координатах, которые наиболее просто будут связаны с декартовыми, если начала их отсчѐтов будут совпадать, а полярная ось сферической системы направляется вдоль декартовой оси z:

x r sin θ cos

y r sin θ sin

z r cos θ

Чтобы теперь записать

			r 2 x2 y 2 z 2
							z
		θ arccos
	,				x2	y 2 z 2 .				(4)
			tg			y
						x

оператор дифференцирования, например x , в

сферических координатах, необходимо вспомнить дифференцирование сложных функций многих переменных:

f r, θ, f r f θ

f

A

B

C

f

,

x

r x

θ x

x

r

θ

A

r

,

B

θ

, C

.

(5)

x

x

x

С помощью этого алгоритма оператор

ˆ

записать в

сферических

T

можно

координатах:

ˆ

h

ˆ

L θ,

2

R r

ˆ

T -

,

(6)

2

2m

r

где

ˆ

1

2

R r

r

2

r

r

r

,

(6R)

ˆ

1

1 2

L θ,

sin θ

,

(6L)

sin 2 θ 2

sin θ θ

θ

соответственно, радиальная

и

угловая части

оператора

ˆ

в сферических

T

координатах.

Напомним, что в классической механике момент импульса записывается в виде:

i

j

k

M r P r, P

x

y

z

Px

Py

Pz

(7)

M x

M y

M z

i yPz zPy

j zPx xPz

k xPy yPx

ˆ

ˆ

ˆ

По принципу соответствия, имеем M r P :

ˆ

M

x

M

x

ih yˆ

zˆ

(7x)

z

,

y

ˆ

M y M y

ih zˆ

x

xˆ

,

(7y)

z

ˆ

M

z

M

z

ih xˆ

yˆ

(7z)

y

.

x

Эти операторы обладают следующими интересными, коммутационными соотношениями:

ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
M x	, M y	ihM z	, M y	, M z	ihM x	, M z	, M x	ihM y . (7)*

С помощью алгоритма (5), можно их представить в сферических координатах:

ˆ
M	x	ih sin		ctgθ cos			(8x)
			θ			,

ˆ
M	y	ih cos		ctgθ sin			(8y)
			θ			,

ˆ	ih
M z			.	(8z)

Оператор квадрата момента импульса

Квадрат вектора в декартовых координатах равен:

M2 M x2 M y2 M z2

По принципу соответствия:

2	ˆ 2	ˆ 2	ˆ 2	ˆ 2
M	M	M x	M y	M z .

D A,

В декартовых координатах это выражение громоздко, но в сферических координатах (см. (8)) его можно преобразовать к виду:

ˆ 2

2

1

1 2

2

ˆ

M

h

sin θ

sin

2

θ

2

h

L θ, ,

(9)

sin θ θ

θ

ˆ

угловая

часть

оператора

кинетической

энергии частицы в

где L –

ˆ

(6) можно теперь записывать с

сферических координатах (6L). Оператор T

ˆ

2

:

помощью оператора M

h

2

h

2

1

h

2

ˆ

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

M

T

2m

R r

2m r

2

L θ,

2m

R r

2mr

2

.

(10)

Оператор Гамильтона (гамильтониан)

В классической физике функцией Гамильтона, обозначаемой H,

	называется выражение для энергии частицы:
	H	P2	U x, y, z,t ,	(11)
		2m

где U(x, y, z, t) – потенциальная энергия частицы. Если U не зависит от времени t, то функция H представляет собой полную энергию частицы.

По принципу соответствия запишем оператор потенциальной энергии:

ˆ ˆ ˆ ˆ

U x, y, z,t U x, y, z,t U x, y, z,t .

Функции Гамильтона будет соответствовать оператор Гамильтона, или иначе – гамильтониан:

	ˆ	2		h	2
ˆ	P		ˆ				2	ˆ
H H			U x, y, z,t	2m				U x, y, z,t .	(12)
	2m

Однако, для задачи о движении заряженной микрочастицы в электромагнитном поле, наиболее востребованной, гамильтониан в форме (12) использовать нельзя, так как электромагнитное поле не потенциальное.

Гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле

С точки зрения классической физики на частицу с			зарядом q в
электромагнитном поле действует сила:
F q ε(t )	q	v,B(t ),	(13)
	c

состоящая, соответственно, из силы Кулона и силы Лоренца, ε и B – напряжѐнности электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля, v – скорость частицы.

Известно, что решением системы уравнений Максвелла является ненаблюдаемая в эксперименте величина четырѐх-вектор-потенциала

электромагнитного поля:

с векторной A и скалярной φ компонентами, которые, в свою очередь,

связаны с наблюдаемыми		величинами			электромагнитного поля ε	и B
следующим образом:			A r,t
ε t r,t	1			;	B r,t rotA r,t .	(14)
	c		t

Так как сила Лоренца зависит от скорости частицы, то эта сила не потенциальная и функция Гамильтона для рассматриваемого случая не может быть записана в форме (12). Записывается она с помощью

четырѐхвекторного потенциала электромагнитного поля A, следующим образом:

	1		q		2
H		P		A(r, t)	q (r, t).	(15)
	2m		c

Согласно постулату соответствия, оператор Гамильтона для такой микрочастицы можно записать:

ˆ	1		q	ˆ		2
H		- ih		A(r,t)		q ˆ(r,t).	(16)
	2m		c

Если одновременно частица находится в потенциальном поле другой

природы U(r,t), то к гамильтониану (16) надо добавить оператор ˆ r .

U ( ,t)

В заключение приведѐм вид основных операторов квантовой механики (координатное представление):

1. xˆ x ,

ˆ	ih
2. Px		x	,

ˆ

3.

P

ih i

j

k

ih

,

x

y

z

ˆ

4.

M z ih

,

ˆ

2

2

ˆ

2

1

1 2

5.

M

h

L θ, h

sin θ

sin

2

θ

2

,

ˆ

P

h

sin θ θ

θ

h

ˆ

M

T

ˆ

2

2

2

2

2

2

R r

ˆ

2

6.

2

2

2

2 ,

2m

y

z

2m

2mr

2m x

ˆ

h2

2

ˆ

r,t ,

7.

H

2m

U

ˆ

1

q

ˆ

2

ˆ

8.

H

ih

A(r,t)

q ˆ(r, t) U (r,t)

2m

c

Собственные функции основных операторов квантовой механики

Собственные функции операторов импульса и кинетической энергии

	Собственные функции оператора проекции импульса определяются
	уравнением:
	ˆ	x Px x ,
	Px
	или		x
	ih			P x	(1)
			x	x

имеет решение (при замене частной производной на полную производную):

(x) C exp(i Px x h),

(1a)

где C > 0 произвольная постоянная. Функция (1a) удовлетворяет всем требованиям, которым должна удовлетворять функция микрочастицы в

квантовой механике. Спектр собственных значений Px										непрерывен и
бесконечен:
				Px		.
Векторное уравнение:
				ˆ
				P r P r ,
или
	(r)	j	(r)	k	(r)		iP	jP	kP r
ih i											(2)
	x		y		z		x	y	z
решается подстановкой
			r X x Y y Z z ,								(2a)

где X, Y и Z – неизвестные функции одной соответствующей переменной и в координатной форме сводится к трѐм уравнениям вида (1). Поэтому его решение есть:

		i				i	P r
						h
r X x Y y Z z C exp			Px x Py y Pz	z	C e		, (2б)
	h

где C > 0 произвольная константа. Найденное решение совпадает с решением волнового уравнения для плоской волны с волновым вектором k P/h и удовлетворяет всем условиям, которым должна удовлетворять функция микрочастицы в квантовой механике. Спектр P непрерывен и бесконечен.

Уравнение:

ˆ ,

T T

или

h

2

2

2

2

T r ,

(3)

x2

y2

z2

2m

должно иметь частное решение:

Ψ

P

( r ) Cexp(i P r h)

(3а)

в виде плоской волны де Бройля (проверить), что не удивительно, поскольку

						ˆ 2
				ˆ		P			ˆ
оператор	кинетической	энергии		T		2m		и оператор импульса P
								ˆ
коммутируют. Однако собственные функции оператора T , принадлежащие
одному собственному значению непрерывного спектра T, оказываются
вырожденными: импульсам P и P соответствуют разные функции:
	1 C1 exp(i P r h)			, 2 C2				exp( i P r h) ,
но одинаковые собственные значения T:
		T	P2	P 2 .
			2m
					2m
								ˆ	можно
Поэтому, согласно теореме 3, собственные функции оператора T
записать в виде линейной комбинации:
	T r C1 eiP r / h C2 e iP r / h								(3б)
с Ci –	произвольными	константами.				Собственные функции			T r

одновременно являются и общим решением уравнения (3). Таким образом,

собственные волновые функции оператора ˆ будут иметь вид (3б), а спектр

T

собственных значений положителен, непрерывен, неограничен и вырожден.

Собственные функции оператора момента импульса

Уравнение:			r
	ˆ
	M z r M z
запишем в сферических координатах r r, , :
ih	r, θ,	M		r, θ,
			z

Оно имеет простое решение

C exp i M z h C eim ,

где безразмерную величину Mz/h обозначили: m Mhz .

Заметим, что C > 0 может быть любой функцией переменных r и . Функция должна удовлетворять очевидному условию:

2π ,

(4)

(4а)

(4б)