МУ к к.р_

τ

1 = k

8N1D

= 3,25 МПа

πd 3

τ

2 =k

8N2 D

= 7,04 МПа

πd 3

D

+ 0,25

k =

d

=1,139 - поправочный коэффициент

D

− 1

d

Осадки пружин

λ1 =

8N1D3m

= 0,189 см

G d 4

λ2 =

8N2 D3n

= 0,189 см

G d 4

Расчетная схема

P

2

а

а

1

P

y

Схема сил

N1

YА

XА

N

C

A

B

x

N2

а

а

λ

d

B1

Схема деформаций

C

A

λ1

λ2

B

D

C1

а

а

Установим, при каком отношении витков m/n усилия в пружинах равны между

собой

пусть

N1 = N2 = N

Þ

2N − P = 0

(1'

)

Nm − Nn = 0

( 2'

)

Следовательно, при

n = 6,

m = n = 6,

21

N1 = N2 = P2 =30 Н

τ1 = τ2 =k 38πPDd 3 = 5,15 МПа

λ1 = λ2 = 8PD3n = 0,138 см

3G d 4

Задача №13

Чугунный короткий стержень сжимается продольной силой P, приложенной

вточке А. Требуется:

1.вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряже- ния в поперечном сечении, выразив эти напряжения через P и размеры сече- ния;

2.найти допускаемую нагрузку P при заданных размерах сечения и допускае- мых напряжениях для чугуна на сжатие и на растяжение.

Исходные данные:

схема VII;

a=3 cм; b=4 cм;[σ]с=130 МПа; [σ]р=29 МПа .

Решение Определим положение центра тяжести сечения.

Сечение имеет ось симметрии Yс. Ординату центра тяжести определим отно- сительно оси Х.

Выразим площадь поперечного сечения через параметры а и b. Сечение разо- бьем на три части – два треугольника и прямоугольник с центрами тяжести в точ- ках С1, С2, С3:

F = F1 + F2 + F3 = 12 × a × 2b + b × 2b + 12 × a × 2b = 2ab + 2b2 = 56 см2.

Статический момент площади сечения относительно оси X:

SX = S1 + S2 + S3 = F1 y1 + F2 y2 + F3 y3 = ab × 23b + 2b2 ×b + ab × 23b = 43 ab2 + 2b3 =192 см3

Ордината центра тяжести С может быть определена по формуле

				æ 2		ö
		SX		bç		a + b÷
	yC =		=	è 3		ø	= 3,43 см.
		F		(a + b)

Главные центральные оси инерции сечения - оси Хс, Yс Вычислим главные центральные моменты инерции сечения.

Главный центральный момент инерции сечения равен сумме моментов инер- ции частей сечения (тi, ni – расстояния между центральными осями частей и цен- тральной осью сечения)

J	X	= J 1			+ т2 F + J	2	+ т2 F + J 2 + т2 F =
			X1		1 1	X 2	2 2			X3	3 3
= a(2b)3					+ m 2 × ab + b ×(2b)3			+ m	2	2 × 2b	2 + a(2b)3	+ m 2	× ab =280,38 см4
		36			1		12				36	3
J	Y	= J	1	+ n2 F + J 2		+ n2 F + J 3				+ n2 F =
			Y		1 1 Y		2 2	Y		3	3
			1		2			3

22

=

2b × a3

2

× ab +

2b ×b3

2

× 2b

2

+

2b × a3

2

4

36

+ n1

12

+ n2

36

+ n3

× ab = 270,67 см

2b

m

= y

C

- y

1

= y

C

-

= 0,76 см

1

3

m2 = y2 − yC

= b − yC = 0,57 см

m3

= yC

- y3

= yC -

2b

= 0,76 см

3

= b + a = 3 см

n

1

2

3

n2

= 0

n3

= b

+ a = 3 см

2

3

Квадраты главных радиусов инерции

2

J Xc

2

2

JYc

2

i

=

= 5,01 см

i

=

=

4,83 см

X

F

Y

F

Определим положение нулевой линии сечения. Координаты точки приложения силы P

xP = xA = 0			yP = yA = − yC = -3,43 см
Нулевая линия параллельна оси Xc. Отрезок, отсекаемый нулевой линией на
главной центральной оси инерции сечения Yc,
	i2
yn = -	x	= 1,25 см
	yP

Наибольшие по величине напряжения сжатия будут на нижней границе сече- ния (y=-yC), наибольшие по величине напряжения растяжения будут на верхней границе сечения (y=2b-yC).

P æ

x

P

x

y

P

y ö

σ = -

ç

1

+

+

÷ .

i2

i2

F ç

÷

è

Y

X

ø

Тогда наибольшие сжимающие напряжения равны

P æ

y

P

×(- y

C

)ö

=-749,22P 1/м2

σ c

= -

ç

1

+

÷

2

max

ç

÷

F è

iX

ø

Тогда наибольшие растягивающие напряжения равны

		P	æ	y	P	×(2b - y	C	)ö
σ p	= -		ç1+						÷ =392,08P 1/м2
						2
max		F	ç					÷
			è			iX		ø
Определим допускаемую нагрузку.
Условие прочности на сжатие:
σ c	£ [σ ]		= 130 МПа
max		c
Условие прочности на растяжение:
σ maxp	£ [σ ]p = 29 МПа
Тогда
[P]c ≤ 173,51 кН							[P]p ≤73,96 кН
Принимаем						[P]= 73,96 кН

23

Y1	2	Y3
	Y Yc

σp

max

	b
n					n
			C2	yn	X2
2b	b/3		C		Xc
	C1			C3	X1,3
	2b/3			yc
					X
c			A
σmax
	2a/3 a/3	0,5b	0,5b a/3	2a/3
	a	0,5b	0,5b	a

Задача №15

Шкив с диаметром D1 и углом наклона ветвей ремня к горизонту α1 делает n оборотов в минуту и передает мощность N кВт. Два других шкива имеют диамет-

ры D2 и углы наклона ветвей ремня к горизонту α2 и каждый из них передает мощ- ность N/2. Требуется:

1.определить моменты приложенные к шкивам;

2.построить эпюру крутящих моментов Мкр;

3.определить окружные усилия t1 и t2, действующие на шкивы;

4.определить давления на вал, принимая их равными трем окружным усилиям;

5.определить силы, изгибающие вал в горизонтальной и вертикальной плоско- стях;

6.построить эпюры изгибающих моментов от вертикальных и горизонтальных сил;

7.построить эпюру суммарных изгибающих моментов;

8.найти опасное сечение и определить по третьей теории прочности макси- мальный расчетный момент;

9.подобрать диаметр вала d при [σ]=70 МПа и округлить его значение до бли-

жайшего, равного: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 100 мм

Исходные данные:

схема VIII;

N=90 кВт; n=800 об/мин; a=1,3 м; b=1,9 м; c=1,8 м; D1=0,9 м; D2=0,8 м; α1=90°; α2 =80°.

24

Решение

1.Определение моментов, приложенных к шкивам. Момент, передаваемый передачей 1:

	M 1	=	30N	= 1074,30 Н м.
			π n

Моменты, передаваемые передачами 2 и 3:

	M 2	=	30×0,5N	= 537,15 Н м.
			π n

2.Построение эпюры крутящих моментов Мк.

1 участок: Mк1=0,

2 участок: Mк2=M1=1074,30 Н м,

3 участок: Mк3= M1-M2=537,15 Н м. 3.Усилия, действующие на шкивы.

Окружное усилие передачи 1:

t1 = 2M1 = 2387,32 H, D1

Окружное усилие передач 2 и 3:

t2 = 2M 2 = 1342,87 H, D2

4.Давления на вал.

3t1 = 7161,97 H,

3t2 = 4028,61 H.

5.Силы, изгибающие вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Вертикальная и горизонтальная составляющие усилий, действующих на вал со сто- роны первой передачи:

P1 y = 3t1 sinα1 = 7161,97 H, P1x = 3t1 cosα1 = 0,

Вертикальная и горизонтальная составляющие усилий, действующих на вал со сто- роны второй и третьей передач:

P2 y = 3t2 sinα2 = 3967,41 H, P2 x = 3t2 cosα2 = 699,56 H,

6.Построение эпюр изгибающих моментов от вертикальных и горизонтальных сил. Построение эпюры изгибающего момента Mx:

ìΣ m	B	(P )= 0,		ìYA (b + c)- P1y (с)+ P2 y (0,5a)+ P2 y (a) = 0,
		iy		ï	(b + c)- P	(b)- P	(b + c + 0,5a)- P	(b + c + a) = 0
íΣ mA (Piy )= 0			Þ	ïíY
î				î B	1y	2 y	2 y

YA = 1393,27 Н,

YB = 13703,51 Н.

Проверка:

Σ Piy = 0 Þ - P1y - 2P2 y + YA + YB = 0

Величины изгибающего момента Mx в характерных сечениях:

Mx1=0,

25

Mx2=Mx3= YA(b) =2647,22 Н м,

Mx4=Mx5=YA(b+c)-P1y(c) =-7736,44 Н м,

Mx6=Mx7=-P2y(0,5a)=-2578,81 Н м,

Mx8=0.

Построение эпюры изгибающего момента My:

ìΣ m		(P ) = 0,	ìX A (b + c)+ P1x (c)+ P2 x (0,5a)+ P2 x (a) = 0,
í	B	ix	Þ í	X		(b + c)+ P	(b)- P	(b + c + 0,5a)- P	(b + c + a) = 0
îΣ mA (Pix ) = 0			î		B
						1x	2 x	2 x

X A = -368,69 Н,

X B = 1767,81 Н.

Проверка:

Σ Pix = 0Þ P1x - 2P2 x + X A + X B = 0

Значения изгибающего момента My в характерных сечениях:

My1=0, My2=My3=XA(b)=-700,51 Н м,

My4=My5=P1x(c)+XA(b+c)=-1364,14 Н м, My6=My7=-P2x(0,5a)=-454,71 Н м, My8=0.

Построение эпюры суммарного изгибающего момента.

M сум = M x2 + M y2

M 1сум = 0,

M сум2 = M сум3 = 2738,33 Н м,

M сум4 = M сум5 = 7855,79 Н м,

M 6сум = M 7сум = 2618,60 Н м, M сум8 = 0.

Построение эпюры приведенных моментов.

M пр = M сум2 + M к2

M 1пр = 0,

M пр2 = 2738,33 Н м,

M пр3 = 2941,53 Н м,

M пр4 = M пр5 = 7929,90 Н м, M 6пр = 2830,40 Н м,

M 7пр = 2673,12 Н м,

M пр8 = 537,15 Н м.

26

				N				N/2		N/2
		А	+			В	+		+
			b		c		0.5a	0.5a
				ω
							80°		80°
			P1x	M1			M2	P2x	M2	P2x
Эпюра крутящих моментов				P1y			P2y		P2y
								M2
				M1						M2
	1		2	3	4	5	6	7	8
			1		2				3
					1074,30			537,15
Mк					+					[Нм]
Эпюры изгибающих моментов
	YA			P1y	YB		P2y		P2y
	1		2	3	4	5	6	7	8
Mx		А	2647,22			В				[Нм]
			+
					_			2578,81
	X	A			7736,44 XB		2x		P2x
							P
	1		2	3	4	5	6	7	8
My		А			_	В				[Нм]
			700,51					454,71
						1364,14
					Эпюра суммарных изгибающих моментов
					7855,79
			2738,33					2618,60
Mсум										[Нм]
				Эпюра приведенных моментов		7928,90
			2738,33	2941,53
								2830,40
								2673,12		537,15
Mпр
										[Нм]
Определение диаметра вала.
Опасным является сечение, где приведенный момент достигает максимального
значения.
Условие прочности вала при использовании теории наибольших касательных на-
пряжений (третьей теории прочности) имеет вид:

27

M max

σ =

пр

£ [σ ] = 70 МПа,

Wx

пр

где Wx =

π d

3

»

0,1d

3

32

M max

M 4

тогда диаметр вала в опасном сечении

d ³ 3

пр

= 3

пр

= 0,1049 м.

]

0,1[σ ]

0,1[σ

Принимаем диаметр равным:

d =

110 мм.

Задача №22

В опасном сечении вала с диаметром d действует крутящий момент Мкр и из- гибающий момент Мизг. Вал сделан из углеродистой стали (предел прочности кото-

рой равен σв, а предел текучести σт) и не имеет резких переходов, выточек, кана- вок; поверхность его чисто обработана резцом.

Определить коэффициент запаса прочности в опасном сечении вала, приняв нормальные напряжения изгиба изменяющимися по симметричному циклу, а каса- тельные напряжения кручения - по пульсирующему циклу.

Коэффициенты концентрации напряжений и масштабные коэффициенты можно считать соответственно одинаковыми для нормальных и касательных на- пряжений.

Исходные данные:

d=40 мм; Мкр=290 Н× м; Мизг=300 Н× м; σв=590 МПа; σт=280 МПа .

Решение

Моменты сопротивления опасного сечения:

при изгибе

Wx = π32d 3 = 6,283 10-6 м3

при кручении

Wp = π16d 3 = 12,566 10-6 м3

Максимальные напряжения:

при изгибе

σ max = Mизг =47,75 106 Па=47,75 МПа; Wx

при кручении

τmax = M кр =23,08 106 Па=23,08 МПа. Wp

Параметры циклов изменения нормальных и касательных напряжений:

для симметричного цикла

28

σ a = σ max = 47,75 МПа;	σ m = 0 ;
для пульсирующего цикла
τ a = τm = 0,5τmax = 11,54 МПа.
Пределы выносливости материала:

σ−1 = (0,55 - 0,0001×σ В )×σ В = 289,69 МПа;

τ−1 = 0,6 ×σ −1 = 173,81 МПа;

Коэффициенты, характеризующие чувствительность материала к асимметрии цикла:

ψσ = 0,02 + 0,0002 ×σ В = 0,138;

ψτ = 0,5 ×ψσ = 0,069;

Эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и круче- нии:

Kσ	= Kτ = 1,2 + 0,2 σ B - 40 = 2,20;
	110
Масштабные коэффициенты:
Kdσ	= Kdτ = 1,2 + 0,1(d − 3) = 1,30;	здесь d=4,0 см

Коэффициенты чистоты обработки по условию задачи равны:

KFσ = KFτ = 1.

Коэффициент упрочнения из условия задачи равен:

Kv = 1 .

Коэффициенты снижения предела выносливости детали при изгибе и кручении:

	æ	Kσ		1	ö		1
	ç		+		÷	×		= 1,692;
	KσД = KτД = ç	Kdσ		KFσ	- 1÷		Kv
	è				ø

Коэффициент запаса прочности по нормальным напряжениям:

	nσ =	σ −1	= 3,585;
		KσДσ a +ψσ σ m

Коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям:

	nτ =	τ−1	= 8,552;
		KτДτa +ψττm

Общий коэффициент запаса прочности при действии нормальных и касатель-

ных напряжений

n =		nσ nτ			= 3,306.
		n2	+ n2
		σ	τ

29