Методичка_статика

Вывод: ферма статически определима и геометрически неизменяема. 2. Определение реакций опор

Составляем расчетную схему для определения опорных реакций: для этого мысленно отбросив связи в точках А и В, заменяем их силами реакций. В точке

А линия действия реакции опоры неизвестна,				поэтому	определяем ее
составляющие по координатным осям	→	и	→	Опора В	– подвижный
	X A		УA .

цилиндрический шарнир, линия действия ее реакции известна – она направлена перпендикулярно наклонной поверхности, по которой возможно перемещение этой опоры. Добавив к активным (задаваемым) силам Р1, Р2, Р3 реакции опор А и В, получим следующую расчетную схему (рис. С8в).

Рис. С8в Силы, приложенные к ферме, расположены в одной плоскости. Составляем

три уравнения равновесия:

∑Fix = 0;

− X A + P3 − RB cos 60 = 0,

(1)

∑Fiy = 0;

−УA − P1 − P2

+ RB sin 60

= 0,

(2)

→

4a − P3 1,5a = 0.

(3)

∑M A (Fi ) = 0;

RB 5a sin 60 − P1 2a − P2

Из уравнения (3) определяем реакцию подвижного шарнира В:

RB =

2

P +

4 P +1,5 P

=

2 10+

4

20+1,5

40

= 36,9

кН .

1

2

3

5

3

sin 60

5

2

Из уравнения (2) определяем вертикальную составляющую опорной реакции в точке А:

© Кафедра ТПМ ДонНАСА

60

к оглавлению

УA = −P1 − P2	+ RB sin 60	= −10−20+36,9				3		= 2 кН .
		2
Из уравнения (1) определяем горизонтальную составляющую опорной
реакции в точке А:
X A = P3 − RB cos 60		= 40−	36,9	= 21,5кН .
		2
Примечание. При расчетах фермы вычисленные в первую очередь силы
реакций связей присоединяем к активным действующим на ферму силам.
3. Определение усилий в стержнях фермы
Для определения усилий в стержнях 1, 2, 3 (рис. С8г) делаем разрез I-I и
рассматриваем равновесие	одной	из частей фермы, причем действие

→ → →

отброшенной части заменяем действием реакций S1 , S2 и S3 перерезанных стержней. Целесообразно рассматривать равновесие той части фермы, для которой объем вычислительной работы меньше (в данном случае рассматриваем левую часть фермы). Будем полагать, что все стержни растянуты, тогда их реакции будут направлены в сторону отброшенной части фермы.

Рис. С8г (начало)

Для	определения		→	составляем уравнение
			S1
моментов относительно точки пересечения линий
	→	→
действия S2		и S3 , т.е. точки Е:
	→	УA a − S1 1,5a = 0,
∑M E (Fi ) = 0;
Рис. С8г (окончание)
© Кафедра ТПМ ДонНАСА	61

к оглавлению

S1 = У1,5A = 12,5 =1,33кН .

→

Для определения S3 составляем уравнение моментов относительно точки

→ →

пересечения линий действия S1 и S2 , т.е. точки Н:

→

∑M H (Fi ) = 0; S3 1,5a +УA a − X A 1,5a = 0

Сокращая на а находим:

S3 = 1,5 X A −УA 1 = 1,5 21,5−2 1 = 20,2 кН .

1,5 1,5

→

Для определения S2 спроектируем все силы на ось Ау:

∑Fiy = 0; S2 cos β −УA = 0

Из расчетной схемы определяем cos β :

cos β =	1,5a	=		1,5a			= 0,83.
	EH
				2,25a2	+a2

S2 = cosУAβ = 0,283 = 2,41кН .

Для определения усилия в стержне 4 делаем сечение II – II и рассматриваем равновесие левой части фермы (рис. С8д). Составляем уравнение моментов сил относительно точки пересечения линий действия

→	и	→	(точка Риттера G):
S6		S7
			→
			∑M G (Fi ) = 0;		УA 2a − S4 1,5a = 0
Рис. С8д			S4 =	2 УA	=	2 2	= 2,67кН .
			1,5		1,5

Для определения усилия в стержне 5 делаем сечение III – III и рассматриваем равновесие правой части фермы (рис. С8е). Составляем уравнение моментов сил относительно точки пересечения линий

		→	→	(точка Риттера N):
		действия S8	и S9
	Рис. С8е
© Кафедра ТПМ ДонНАСА			62

к оглавлению

→

− −S5 1,5a −P2 a = 0,

∑M N (Fi ) = 0;

RB

2a sin 60

− RB 1,5a cos 60

S5 =

2 R

B

sin 60 −1,5 R

B

cos 60

− P

2

=

1,5

−1,5 36,9 1

2 36,9

3

−20

2

=

2

= −10,5кН .

1,5

Ответ:X A = 21,5кН; УA = 2 кН; RB

= 36,9кН; S1 =1,33кН; S2 = 2,41кН; S3 = 20,2 кН;

S4 = 2,67кН; S5 = −10,5кН.

Вывод: Из выполненных расчетов следует, что стержни 1-4 под действием активных сил и сил реакций связей растянуты, а стержень 5 сжат ( S5 < 0 ). Правильность выполненных расчетов можно проверить, используя другие методы составления уравнений равновесия механической системы под действием произвольной плоской системы сил.

© Кафедра ТПМ ДонНАСА

63

к оглавлению

9. ЗАДАНИЕ С9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

Найти координаты центра тяжести: плоской фермы, составленной из тонких однородных стержней (варианты 1, 2), плоской (варианты 3-7) или пространственной (варианты 8, 9 и 0) фигур, показанных на рис. С9а. В вариантах 1, 2 размеры указаны в метрах, в других вариантах – в сантиметрах. Данные для расчета приведены в табл. С9-1.

Указание: номер варианта на рис. С9а соответствует последней цифре шифра “б”.

					Таблица С9-1
	Цифра	а	в	d	h
	шифра “а”
	0	6	2	1	10
	1	8	5	2	12
	2	6	3	1,5	8
	3	8	4	0,9	11
	4	6	4	1,2	9
	5	10	6	0,8	7
	6	8	6	1,4	5
	7	10	5	1,7	6
	8	7	5	1,6	3
	9	10	4	1,8	4

© Кафедра ТПМ ДонНАСА

64

к оглавлению

1	2

3	4

5

6

7	8

© Кафедра ТПМ ДонНАСА

65

к оглавлению

xi , yi ,zi

9	0

Рис. С9а

Краткие методические указания к решению задач по определению координат

центра тяжести твердых тел

В случаях, когда объемы, площади или длины каждой частицы тела, а также их центры тяжести могут быть определены точно, координаты центра тяжести тела определяются по формулам:

а) для однородного твердого тела

xC =	1 ∑xiVi ,		yC =	1 ∑yiVi ,		zC =	1 ∑ziVi ,		(1)
		n			n			n
	V	i=1		V	i=1		V	i=1

где V – объем всего тела, Vi – объем і - ого элемента тела,

- координаты центра тяжести і - ого элемента; n – количество элементов. б) для однородной плоской фигуры, лежащей в плоскости ху:

	xC =	1 ∑xi Si ,		yC	=	1 ∑yi Si ,		(2)
			n				n
		S	i=1			S	i=1
где S			n	n	– статические моменты			і – ой
	– площадь плоской фигуры, ∑xi Si , ∑yi Si
			i=1	i=1

площади относительно координатных осей х и у соответственно; n – количество элементов площадей.

в) для однородной линии

© Кафедра ТПМ ДонНАСА

66

к оглавлению

xC =	1 ∑xili ,		yC =	1 ∑yili , zC =			1 ∑zili ,		(3)
		n			n			n
	L	i=1		L	i=1		L	i=1
где L = ∑n li – длина всех элементов тела, li – длина								і – ого элемента тела; n –
i=1
число линейных элементов.

Положение центра тяжести некоторых твердых тел простейшей геометрической формы:

а) центр тяжести площади однородного прямоугольника расположен в точке пересечения его диагоналей;

б) центр тяжести площади однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан;

в) центр тяжести площади однородного кругового сектора (рис. С9б) расположен на оси симметрии и имеет координаты: xC = 23 r sinαα , yC = 0, где r –

радиус окружности, α – половина центрального угла (здесь – в радианах!). Наиболее распространенным приемом

использования формул (1), (2) является условное разложение однородного твердого тела на такие элементы, положение центра тяжести каждого из которых либо известно, либо легко может быть определено. В случаях, когда тело имеет пустоты или вырезы, целесообразно представлять тело не суммой, а

Рис. С9б разностью отдельных его элементов.

Если данное тело имеет плоскость или ось или центр симметрии, то центр тяжести такого тела лежит соответственно в этой плоскости, на этой оси или в этом центре симметрии. Поэтому, для упрощения вычислений при решении задач, плоскости симметрии всегда нужно выбирать за одну из координатных плоскостей, а ось симметрии – за одну из координатных осей.

© Кафедра ТПМ ДонНАСА

67

к оглавлению

Пример выполнения задания на определение положения центра тяжести тела

Определить координаты центра тяжести плоской фигуры, изображенной на рис. С9в. Размеры на этом рисунке указаны в сантиметрах. Координаты вычислить с точностью до четырех значащих цифр.

Решение. Координаты центра тяжести

плоской фигуры определяем по формулам:

Рис. С9в	1 ∑xi Si ,		yC =	1 ∑yi Si ,		(1)
xC =
		n			n
	S	i=1		S	i=1

Чтобы воспользоваться этими формулами, делим площадь на отдельные элементы, центры тяжести которых известны. В данном случае таких элементов будет три: прямоугольник с центром в точке С1, треугольник с центром в точке С2 и круг, центр которого в точке С3 (рис. С9г). Площадь круга, вырезанного из площади плоской фигуры, считаем отрицательной.

Вычисляем площади элементов плоской фигуры:

1) прямоугольника

	S1 =10 45 = 450 см2 ;
2)	треугольника
	S 2 =	45 45		= 1012 ,5	см 2	;
	2
3)	круга

© Кафедра ТПМ ДонНАСА

68

к оглавлению

S3 =

π 102

= 78,5 см2 .

4

Рис. С9г

Центры тяжести рассматриваемых элементов плоской фигуры имеют

следующие координаты:

1) прямоугольника

x1

= 5 см, y1

= 22,5 см,

2) треугольника

x2

=10

+

55−10

= 25 см, y2 = 45 =15 см,

3

3

3) круга

x3 =15 см,

y3 = 25 см.

Подставляя значения площадей фигур и их координат в формулы (1),

получаем:

xC

=

x1S1 + x2 S2

− x3 S3

= 5 450+25 1012,5−15 78,5 =19,06 см;

S1 + S2 −S3

450+1012,5−78,5

yC =

y1S1 + y2 S2 − y3 S3

= 22,5 450+15 1012,5−25 78,5 =16,87 см.

S1 + S2 − S3

450+1012,5−78,5

Ответ: xc =19,06 см;

yc =16,87 см.

© Кафедра ТПМ ДонНАСА

69

к оглавлению