Стрмех_3часть_рус_1999

31

Схемы и эпюры

Коэффициенты

Z=1

P

3EI

v

l 1

1

2tg

EI

3EI

3 tg

v

l2

1

P

P

3EI

v

l2

1

3

3EI

v

3 tg

;

l

l3

1

					P																									2							tg																			;
						4EI
Z=1											2 v
								l																											8tg tg
																																											2									2
l																														3							sin																				;
							6EI
											4 v																								4 sin tg
								l	2																																		2								2
																																							.
													2EI				v														4					1		2
													l		3
					Z=1
		P					P
																																																			;
																												6EI					4							1					2
l																														v			2
																												l2	4									1										.
								12EI				v																																	2
									l3		2

32

Z=1

P

v2EI l 3

l

5. Строят эпюры от единичных смещений наложенных связей. В пределах элементов, которые сжаты внешней нагрузкой, эпюры криволинейны и строятся в соответствии с приведенной выше таблицей. В пределах элементов не подверженных сжатию, эпюры прямолинейны и строятся по таблицам обычного метода перемещений (как при расчете на прочность) .

P1

P2

P1

P2

1

2

3

4EI

2EI

2EI

4EI

3EI

l1

l1

l1

l1

l2

4EI 2 v1A

M1

3EI 1 vB2

M2

h

h

A

B

C

2EI 3 v1A

h

6EI2 4 vA1

3EI2 1 vB2

Z3=1

P1

P2

h

h

12EI

vA1

3EI

vB2

3EI

h

3 2

h

3 1

h

3

6EI

vA1

M3

3EI

h

2 4

h

2

33

6. Коэффициенты системы канонических уравнений определяют как и в обычном методе перемещений.

r11

4EI

М 0

z4

4EJ

4EJ

2 A1

l

l

h

1

1

4EI

2 v1A

и т.д.

h

r33

12EJ

A1

3EJ

В 2

3EJ

2

1

h3

h 3

h3

0

z4

12EJ

2 A1

3EJ

1 B3

3EJ

h3

h3

h3

7. Для заданной системы уравнений (без свободных членов), возможны два решения: первое, когда все zi = 0, такое решение нас не устраивает, т.е не соответствует условиям задачи; и второе решение, когда детерминант системы, составленный из единичных коэффициентов = 0.

	r11r12 r13
Det	r21r22 r23	0;
	r31r32 r33

Раскрывая этот определитель, получаем сложное трансцендентное уравнение, для решения которого необходимо вначале выразить все параметры vi через один. Затем уравнение решается:

1)методом подстановки;

2)графическим методом.

Метод подстановки самый примитивный способ решения. Применяется для простейших характеристических уравнений.

Сущность графического способа заключается в следующем:

- выбираем произвольное значение параметра vi и находим det1 = f (v)

v1	=>	det1
v2	=>	det2
v3	=>	det3
и т.д.

34

На основании полученных значений строим график функции det = f (v).

det

det = f (v)

v1

v2

v3

v4

v5

v

vкр

Наименьшее значение параметра v, при котором det = 0 называется vкр.

8. Для стойки, параметры которой мы принимаем за исходные определяем критическую силу:

к2р EJ

l

P

Рк р

l

2

EJ

и расчетную длину стержня:

к2р EJ

Рк р

2 EJ

, отсюда

l

2

l

2

0

l0

l

где: l0 - расчетная длина стержня;

к р

l - геометрическая длина стержня или коэффициент приведения геометрической длины к расчетной:

к р

9.Зная соотношение между параметрами остальных элементов и исходным элементом, определяют vкр для всех остальных сжатых стержней.

10.Затем для всех сжатых стержней определяют Ркр и l0..

35

Лекция 8. Понятие о расчете на устойчивость круговых арок постоянного сечения

1. Вывод дифференциального уравнения кругового бруса

dS					dS - длина элемента mn до деформации,
		n			R - радиус кривизны
m				W+dW	m1n2 положение элемента mn после
	W				деформации.
V			V+dV
R		d

O

Обозначим проекции перемещения точек m и n через: V - проекцию перемещения на касательную и W - проекцию перемещения на радиус.

Определим относительную деформацию элемента dS. Для этого воспользуемся принципом наложения и будем определять отдельно деформацию элемента от перемещений

W и V.

1)W = 0

V+dV V

m m1 n n1

d

O

Абсолютная деформация элемента dS равна dV, а относительная деформация

	dV	(1)
	dS

36

2) V = 0. Бесконечно малой величиной dW пренебрегаем

dS			до деформации
	n		dS = Rd
m		W	после деформации
			dS mn R W d
	n1
m1			1	1	1
R	d

O

Абсолютная деформация элемента dS

R W d Rd Wd

Относительная деформация:

Wd		Wd			W
						,	(2)
	dS		Rd		R

т.к. dS = Rd .

Полная относительная деформация элемента:

	,		dV		W	(3)
			dS		R

Кривизна элемента до деформации

		1			d
	dS = Rd
			R		dS

Определим изменение элемента за счет его деформации. Углы поворота касательных, проведенных к точке m:

1) W = 0

			V
	m	m1 n n1
				R
		V	V+dV

R

O

			37
2) V = 0			в этом случае пренебречь
		n	величиной dW нельзя
m
W			W+dW
m1		n1	Заштрихованный треугольник ввиду
			малых величин можно считать
	R		прямолинейным, тогда:

O

Суммарный угол поворота касательной

	V			dW
		R		dS

Изменения кривизны деформированного элемента:

1 d

В dS

Продифференцируем выражение (4):

	d		1		dV		d2W
	dS		R dS				dS2

dW

dS

(4)

(5)

Пренебрегая удлинением элемента dS, т.е. , из уравнения (3) имеем:

dV		W
			,
dS		R

подставляя это значение в (5) и dS Rd .

d		W		d2W		1
								(6)
dS		R2		R2d	2		r

Из сопротивления материалов известно дифференциальное уравнение изогнутой оси

бруса:

1		M
			;	(7)
r		EJ

подставив (7) в (6) получим дифференциальное уравнение кривого бруса:

d2W W

M

R2d 2

R2

EJ

или

d2W

MR2

W

(8)

d 2

EJ

38

2. Устойчивость кругового кольца при радиальной нагрузке

	y	q - интенсивность равномерно
	K	распределенной радиальной
	W K1	нагрузки.
		q
		x

R

При q < qкр кольцо сохраняет первоначальную форму равновесия и в нем возникают только продольные усилия сжатия.

При q qкр кольцо теряет устойчивую форму равновесия, приобретая овальную форму и в нем, наряду с продольными усилиями появляются изгибающие моменты.

Рассмотрим элемент dS до потери устойчивости:

y

q

dS

У 0

d

N

N

d

2

qdS 2N sin

0

d

2

ввиду малости угла

2

d

d

d

sin

О

2

2

тогда

d

qdS 2N sin

0

dS = Rd

2

,

qRd Nd 0 ;

N qR

(а)

После потери устойчивости точка К переместится в точку К1, прогиб стенки кольца составляет W. В деформированном состоянии продольная сила вызывает в кольце изгибающий момент:

M N W qRW

Подставим это значение момента в дифференциальное уравнение бруса (8):

d2W		MR2
	W		,
d 2		EJ

39

d2W

W

qR3W

d 2

EJ

или

d2W

qR3W

1

W 0;

(б)

d 2

EJ

Обозначим

1

qR3W

К2

(с)

EJ

d2W

K2W 0

(d)

d 2

Решение этого однородного дифференциального уравнения запишется:

W C1 sin K C2 cosK

(е)

Значение коэффициентов С1 и С2 найдем из граничных условий: учитывая, что на осях симметрии W’=0

dW

1) при = 0 d 0

						dW
								C1K cosK C2K sin K
						d
0 = С1К;							С1 = 0
2) при								dW
									0
2								d
0 С2			sin K
С2 = 0;			2						К = 0

Следовательно sin K 0, а это возможно при : 2

1)К = 0 - противоречит условию задачи (см. выше)

2)К=2, sin = 0.

Из выражения (с) получаем

1 qR3 K2 4,

EJ

отсюда	qкр		3EJ			(f)
			R	3

40

3. Устойчивость двухшарнирной круговой арки

Рассмотрим круговую арку загруженную равномерно распределенной радиальной нагрузкой q.

q

A

B

R

O

Дифференциальное уравнение кривого бруса по аналогии с кольцом

d2W

K2W ,

где

K2 1

qR3

d 2

EJ

Решение его:

W C1 sin K C2

cos K ,

где - угол изменяющийся от 0 до .

Граничные условия задачи:

1) при = 0

W = 0;

0 = С2

2) при =

W = 0;

0 = C1 sin K ;

C1 0

Следовательно

sin K =0

К ;

К

К2

2

;

;

2

2

1 EJ

qR3

2

2

1

qкр

;

EJ

2

R3

Лекция 9. Устойчивость составных стержней (сквозных колонн)

Составные стержни, состоящие из отдельных ветвей, связанных планками или решеткой, обладают меньшей жесткостью, чем сплошные. Решетка воспринимает действие поперечных сил, влияние которых необходимо учитывать наряду с изгибающими моментами.