Dinamika_labs

11

Примерная форма выполнения отчета

Лабораторная работа №1 Исследование собственных изгибных колебаний основного тона

консольной балки с сосредоточенной массой.

Студент группы

Цель работы – Экспериментальное определение некоторых динамических характеристик свободных колебаний консольной балки с одной степенью свободы.

I.Установка. Консольная балка.

II.Приборы. Пъезоэлектрический датчик, индикатор часового типа, секундомер, набор грузов, персональный компьютер, принтер.

III.Испытуемый образец. Стальная полоса с размерами поперечного сечения bxh=4x0.3см. Длина полосы 1 м, материал – сталь С235 с модулем упругости Е=2,06 1011 Па.

IV. Схема установки и наименование основных узлов

8

4		1	6	7
3	5	2		АЦП

У

t,с

		Рис. 3. Схема установки для испытаний:
1.	Консольная балка массой mL		2.	Массивная станина;
3.	Груз массой M >> mL ;		4.	Индикатор часового типа;
5.	Штатив индикатора часового типа;		6.	Пьезоэлектрический датчик;
7.	Аналого-цифровой преобразователь;		8.	Персональный компьютер.
V.	Порядок проведения испытаний
Метод №1		а) Установить в указанной точке на балке массу М.
		б) Вызвать свободные колебания балки.

в) При помощи секундомера засечь время t, за которое груз совершит некоторое число полных циклов колебаний N (не менее 10 колебаний). Рекомендуется отсчет вести "вслух" и, начиная с "нуля" включать секундомер, на "N-й" отсчет – выключать.

е) Опыт повторить 3 раза и результат вычислить по среднему значению из 3-х опытов.

Результаты отсчетов заносятся в таблицу:

№	Время	Число колебаний	Частота колебаний
опыта	ti, сек	Ni	fi =	N	i	, Гц
				ti
1
2
3
Σ

12

∑3 fi

Частота собственных колебаний	f =	i=1	=	(Гц)
		3

Метод №2 а) Установить индикатор часового типа в точке приложения груза. Снять отсчет по индикатору.

б) Установить в указанной точке на балке массу М. Снять новый отсчет по индикатору.

в) Определить значение статического прогиба по разности отсчетов.

г) Опыт повторить 3 раза и результат вычислить по среднему значению из 3-х опытов.

Результаты отсчетов заносятся в таблицу:

№	Отсчет по	Отсчет по	Разность отсчетов
опыта	индикатору без груза	индикатору с грузом	i
1
2
3
Σ

Средняя разность отсчетов		=	∑3		i	=	(делений)
				i=1
				3
Статический прогиб в точке приложения груза		Уст=		с=			(м)
(с=0,01 мм цена деления шкалы индикатора)
Частота собственных колебаний		f =		1		g =	(Гц)
				2π		Уст
Метод №3	а) Установить в указанной точке на балке массу М.
	б) Вызвать свободные колебания балки.

в) Настроить параметры усиления (ослабления) сигнала при колебаниях путем регулировки параметров величины мощности входного сигнала звуковой платы ПК.

г) Записать процесс "шума", при котором колебания отсутствуют с целью определения уровня "шума" – максимальных значений амплитуд виброграммы при неподвижной конструкции.

д) Записать виброграмму процесса колебаний с сохранением результатов и распечаткой виброграмм собственных колебаний и "шума" на принтере.

е) На полученной виброграмме выделить 3 участка для обработки, каждый из которых имеет определенный фиксированный временной интервал ti .

ж) Подсчитать количество N периодов колебаний в заданном промежутке времени на каждом участке.

з) Определить частоту колебаний на каждом участке.

и) Определить амплитуду колебаний 1-го цикла колебаний An на участке и амплитуду колебаний последнего цикла колебаний An+m на участке, а также m – количество полных циклов колебаний между принятыми амплитудами.

к) Определить логарифмический декремент колебаний на каждом участке.

л) Итоговые значения частоты и логарифмического декремента колебаний получить как среднее значение из 3-х участков.

Результаты отсчетов заносятся в таблицу:

13

№

Время

Число

Частота

Амплитуда

Амплитуда

Число

Логарифм.

уч-ка

ti, сек

колебаний

колебаний

1-го цикла

последн. цикла

декремент

Ni

fi =

N

i

, Гц

колебаний

колебаний

периодов

колебаний

Аn, мм

Аn+m, мм

между Аn и Аn+m

1

An

ti

δi =

ln

m

An+m

m

1

2

3

Σ

Частота собственных колебаний		f =		∑3	fi
				i=1			=	(Гц)
			3
Логарифмический	декремент		∑3 δi
		δ =	i=1			=
колебаний
			3

VI. Определение теоретического значения частоты собственных колебаний

Теоретическое значение частоты собственных колебаний консольной балки с сосредоточенной массой определяется приближенно

(приM >> mL ) по формуле: f =	1	3EI
	2π	Mx3
		1

Определяем момент инерции сечения балки

Вычисляем частоту собственных колебаний

x1

I	=	b h3	=
		12
f	=	1	3EI	=
		2π	Mx3
			1

VII. Результаты сравнения опытных и теоретических данных

Результаты сравнения значений частот собственных колебаний

x

Уст(х1)

(м4)

(Гц)

Конструк-

Сосред.

Координата

Теоретич.

Экспериментальное значение частоты

тивный

масса

положения

значение

f, Гц

элемент

М, кг

массы

частоты

Метод

Расхожд.

Метод

Расхожд.

Метод

Расхожд.

x1, м

f, Гц

1

%

2

%

3

%

Консольная

балка

Результаты сравнения значений логарифмических декрементов колебаний

Конструктивный

Теоретическое значение

Экспериментальное значение

элемент

(рекомендованное СНиП 2.01.07-85*)

δ

δ

Метод 3

Расхождение, %

Консольная балка

0,15

VIII. Выводы по работе

Студент		Дата
	подпись
Преподаватель		Дата
	подпись

							14
						Лабораторная работа №2
		Исследование собственных изгибных колебаний основного тона
				консольной балки с распределенной массой
	1. Краткие теоретические сведения
	Система с распределенной массой имеет количество степеней свободы равное
	бесконечности. В этом случае возникает бесконечное число форм (тонов) собственных
	колебаний с соответствующими частотами. Динамическая модель в виде системы с
	распределенной массой наиболее точно описывает динамическое поведение реальной
	конструкции. Однако, в связи со сложностью математического аппарата для данной модели
	(здесь приходится использовать дифференциальные уравнения в частных производных) ее
	применение для сложных конструктивных схем крайне затруднительно.
	Простейшим		случаем		системы с		у
	распределенной		массой			является	z
	консольная балка постоянного сечения,
	имеющая	погонную		массу	m (рис.1).		L
	Погонная	масса		m может		быть
							Рис. 1. Динамическая модель консольной
	определена как:
							балки с распределенной массой
	m = A ρ ,						(1)
	где А – площадь поперечного сечения балки, ρ - плотность материала балки (для
	стали ρ=7850 кг/м3).
	Дифференциальное уравнение собственных незатухающих изгибных колебаний при
	любых граничных условиях имеет вид:

	∂4 y(z,t)	+	m		∂2 y(z,t)	= 0	(2)
	∂z 4		EI x		∂t
	(Необходимо отметить, что						применение уравнения (2) возможно лишь в случае

"линейных" систем при малых колебаниях, где значение частоты собственных колебаний не зависит от величины амплитуды и диссипативных свойств системы, а также при небольшой погонной жесткости балки, когда влияние сил инерции сдвига и поворота поперечных сечений незначительно.)

Уравнение изогнутой оси балки, полученное путем решения уравнения (2), для произвольной n-ой формы может быть сначала представлено в виде:

yn (z) = Ach kn z + B sh kn z +C cos kn z + D sin kn z , (3)

где A, B, C, D – постоянные, зависящие от граничных условий балки, kn – волновые числа, определяемые решением частотного уравнения.

Частоты собственных колебаний данной консольной балки определяются по формуле

(4).

f		=	k	2	EI	x =	λ2	EI		,	(4)
	n			n	m		n	m	x
			2π				L2

15

где EIx – изгибная жесткость балки, L – длина консоли, m - погонная масса, n – порядковый номер формы колебаний, λn – собственные числа λn=knL.

Для "нижней" зоны частотного спектра собственные числа для консольной балки с распределенной массой (рис. 1) соответственно равны: λ1=1,875, λ2=4,694, λ3=7,855. Тогда частоты колебаний 1-го, 2-го и 3-го тона для данной балки определятся как:

	f1	=	3.516	EI x
			L2	m
	f2	=	22.034	EI x	(5)
			L2	m
	f3	=	61.701	EI x
			L2	m

Схемы форм "нижних" порядков собственных изгибных колебаний приведены на рис. 2.

а)

б)

в)

Рис. 2 Схемы форм собственных колебаний консольной балки с распределенной массой: а) схема первой формы колебаний; б) схема второй формы колебаний; в) схема третьей формы колебаний.

Винженерной практике для динамического анализа строительных конструкций чаще используют только формы колебаний с несколькими низшими частотами (особенно первую).

Впоследнем случае, в целях упрощения динамической модели, используют приближенный метод приведения масс, например метод Релея. Он состоит в замене системы со многими или бесконечным количеством степеней свободы системой с одной степенью свободы с приведенной массой Mпр в заданной точке сооружения.

Приведенной массой Mпр называется такая сосредоточенная масса, для которой полученная система с одной степенью свободы динамически эквивалентна системе с многими или бесконечным количеством степеней свободы. Условие эквивалентности выбирается (по методу Релея) в форме равенства кинетических энергий, что приводит к равенству частот основного тона изгибных колебаний.

Вслучае балки постоянного сечения с распределенной массой m приведенная масса Mпр вычисляется по формуле:

		m		L
M пр =				y2 (z)dz,	(6)
где y(z)		y 2 (a) ∫0
		–	уравнение деформированной		оси балки,	удовлетворяющее граничным

условиям, а – координата приложения приведенной массы, y(а) – перемещение в месте приложения приведенной массы.

Так, для случая консольной балки с распределенной массой, может быть получена приближенная динамическая модель (рис. 3) с приведенной массой Мпр, приложенной на консоли (a=L). Такая модель имеет одну степень свободы.

16

Значение приведенной массы для

данного случая определится зависимостью

Мпр

(6) и составит:

M пр = 0.244mL

L

Рис. 3. Динамическая модель консольной балки с приведенной массой

Недостатком приближенных моделей с одной степенью свободы (рис. 3) является возможность при их использовании получения и анализа лишь первой частоты собственных колебаний, остальные частоты спектра игнорируются. Поэтому, для приближенных расчетов систем с распределенными массами в инженерной практике широко распространены методы приведения таких систем к системам с конечным количеством масс. Так, при использовании современных программных комплексов "SCAD", "Лира" и т.п., позволяющих производить динамические расчеты систем с конечным количеством степеней свободы, консольная балка с распределенной массой (рис.1) может быть представлена в виде цепочки конечных элементов небольшой длины (3-5 см), каждый из которых будет иметь такое же сечение как у исходной балки. После приведения распределенной нагрузки от собственного веса балки к узловой и преобразования этой нагрузки в массы, можно получить динамическую модель с конечным числом степеней свободы, равным количеству масс схемы (при учете колебаний только в вертикальном направлении). Таким образом может быть рассмотрена практически любая конструктивная схема, и найдены частоты необходимых порядков.

2. Цель работы. Экспериментальное определение некоторых динамических характеристик свободных колебаний консольной балки с распределенной массой, а также экспериментальное изучение динамически эквивалентных систем.

3. Установка для испытаний, испытуемый образец, измерительные приборы

Основная установка для проведения испытаний представлена на рис. 4.

5

1	3	4
2		АЦП

У

t,с

Рис. 4. Установка для проведения испытаний Испытания проводятся на консольно защемленной балке 1, длина которой равна 1м.

Поперечное сечение балки 40мм (ширина) на 3мм (высота). Балка закреплена в массивной станине 2. Изгибные деформации при совершении колебаний фиксируются пьезоэлектрическим датчиком 3, преобразующим механические колебательные деформации в непрерывные электрические сигналы. Электрические сигналы преобразуются в числовые значения путем их обработки аналого-цифровым преобразователем АЦП 4 ("оцифровка"

17

сигнала). В качестве АЦП в настоящей работе использована звуковая плата персонального компьютера. Полученные цифровые аналоги показаний датчика могут быть обработаны при помощи персонального компьютера 5 и распечатаны на принтере.

В качестве дополнительных материалов используется гибкая стальная цепь для создания дополнительной распределенной массы на балке и набор грузов.

4. Порядок проведения работы и обработка результатов испытаний

Проведение испытаний в данной лабораторной работе предусматривается в 3 последовательных этапа.

Этап №1. Испытание консольной балки с "собственной" распределенной массой m .

Динамические характеристики изгибных колебаний консольной балки с "собственной" распределенной массой m будем определять методом "с использованием современных датчиков и компьютерных систем". Этот метод основан на обработке зарегистрированной динамической реакции конструкции в виде виброграммы, полученной при помощи:

−первичного преобразователя – вибродатчика (пьезоэлектрического элемента, преобразующего деформации в электрические сигналы);

−аналогово-преобразовательного устройства, позволяющего непрерывные электрические сигналы превратить в цифры;

−регистрирующей системы, которая записывает процесс колебаний.

Полученные данные могут быть обработаны при помощи ПК и напечатаны в удобном для анализа виде.

1.Порядок проведения работы

а) Настроить ПК, запустив соответствующую программу для регистрации процесса колебаний б) Вызвать свободные колебания балки.

в) Настроить параметры усиления (ослабления) сигнала при колебаниях путем регулировки параметров АЦП (величины мощности входного сигнала звуковой платы ПК).

г) Записать процесс "шума", при котором колебания отсутствуют с целью определения уровня "шума" – максимальных значений амплитуд виброграммы при неподвижной конструкции.

д) Записать виброграмму процесса колебаний в интервале не более 30-40 секунд времени с сохранением результатов и распечаткой виброграмм собственных колебаний и "шума" на принтере.

2. Обработка результатов опыта а) На полученной виброграмме (рис. 5) выделить 3-4 участка хорошего качества для

обработки, каждый из которых имеет определенный фиксированный временной интервал ti (например, t1= t2= t3=3 сек., как на рис. 5).

, где k – количество участков, принятых на виброграмме.

18

Рис. 5. Фрагмент виброграммы колебаний

б) Подсчитать количество Ni периодов колебаний в заданном промежутке времени на каждом участке, и установить примерно с какой точностью это сделано. Обрабатывать следует только низкочастотные колебания, имеющие амплитуду, существенно отличающуюся от "шума".

(В данной лабораторной работе рекомендуется при "ручном" подсчете точность определения количества периодов N принимать не ниже ¼ периода.)

в) Определить частоту колебаний на каждом участке по формуле:

fi = Ni . Ti

г) Определить частоту колебаний балки как среднее арифметическое значение частот на каждом участке по формуле:

∑k fi

f = i=1k

д) Определить логарифмический декремент колебаний на каждом участке по формуле:

δi =	1	ln	An	,
	m
			An+m

где An – амплитуда колебаний 1-го цикла колебаний на участке (рис.4), An+m – амплитуда колебаний последнего цикла колебаний на участке, m – количество полных циклов колебаний между принятыми амплитудами.

е) Определить логарифмический декремент колебаний балки как среднее арифметическое значение декрементов на каждом участке по формуле:

∑k δi

	δ =	i=1	, где k – количество участков, принятых на виброграмме.
		k

19

Этап №2. Испытание консольной балки, загруженной "собственной" распределенной массой m и дополнительной массой m .

Этап №2 аналогичен этапу №1 с единственной разницей в том, что распределенная масса на балке увеличена путем наматывания на нее гибкой цепи (провода и т.п. дополнительных средств) с погонной массой m .

Порядок проведения опыта и обработка результатов принимается согласно этапу №1.

Этап №3. Испытание консольной балки, загруженной "собственной" распределенной массой m и дополнительной сосредоточенной массой Mпр, закрепленной на консоли.

Целью данного этапа испытаний является экспериментальное изучение динамически эквивалентных систем. Дополнительная распределенная масса m , использованная в предыдущем этапе, заменяется приведенной сосредоточенной массой Mпр=0,244 m L, закрепленной на консоли. Динамические характеристики полученной системы будем определять 2-мя методами: "при помощи секундомера" и методом "с использованием современных датчиков и компьютерных систем".

Метод №1 "с использованием современных датчиков и компьютерных систем"

подробно изложен на этапе №1. Порядок проведения работы, а также порядок обработки результатов принимается аналогичным образом.

Метод №2 "при помощи секундомера" предполагает возможность визуального исследования свободных колебаний элементов конструкций с низкими значениями частот (1- 2 Гц). В этом случае частота может быть определена с помощью секундомера

1. Порядок проведения работы а) Закрепить на консоли массу Мпр.

б) Вызвать свободные изгибные колебания балки.

в) При помощи секундомера засечь время t, за которое груз совершит некоторое число полных циклов колебаний N (не менее 10 колебаний). Рекомендуется отсчет вести "вслух" и, начиная с "нуля" включать секундомер, на "N-й" отсчет – выключать.

2. Обработка результатов опыта

а) Определить частоту свободных колебаний f по формуле: f = Nt .

4. Оценка результатов работы

а) Вычислить по формуле (5) теоретические значения частоты 1-го тона собственных колебаний для консольной балки с распределенной массой m и распределенной массой m + m .

б) Оценить и объяснить причины процентного расхождения опытных и теоретических значений собственных частот для балок с распределенной массой m и распределенной массой m + m .

20

в) Оценить и объяснить причины процентного расхождения опытных частот собственных колебаний для балки с распределенной массой m + m и балки с распределенной массой m и приведенной массой Мпр, расположенной на консоли.

г) Оценить и объяснить причины процентного отличия опытных значений логарифмических декрементов колебаний для всех испытанных балок от теоретического значения. В качестве теоретического значения логарифмического декремента колебаний для данной системы можно условно принять δт=0,15, что рекомендуется в нормативной литературе (СНиП 2.01.07-85*) для стальных конструкций и сооружений.

д) Дать общую оценку результатов работы.

Контрольные вопросы

1.Какое количество степеней свободы имеет система с распределенной массой?

2.Как вычисляется величина погонной массы балки?

3.Какое количество частот собственных колебаний имеет система с распределенной массой?

4.Каким образом значение частоты собственных колебаний 1-го тона зависит от распределенной массы балки?

5.Каким образом значение частоты собственных колебаний 1-го тона зависит от изгибной жесткости балки?

6.С какой целью используют приближенные динамические модели?

7.Что называется приведенной массой?

8.Какие методы упрощения динамических моделей вы знаете, и в чем их достоинства и недостатки?

Литература

1.Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. - М.: Высш. шк., 1980. - 408 с.

2.Мущанов В.Ф., Жук Н.Р. Конспект лекций. Строительная механика. Часть 3. – Макеевка, ДГАСА, 1999г.

3.Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. - М.: Наука, 1991. - 256 с

4.Шевченко Ф.Л. Будівельна механіка. Спеціальний курс. Динаміка пружних стержньових систем. – Донецьк: РИА ДонНТУ, 2000. – 293 с.