Блок3

2. Вычисляем удвоенные площади проекций треугольника АВС:

sABCYZ =

yA

zA

1

sABCZX =

zA

xA

1

sABCXY =

xA

yA

1

yB

zB

1

;

zB

xB

1

;

xB

yB

1

.

yC

zC

1

zC

xC

1

xC

yC

1

3.Определяем площадь треугольника АВС расположенного в плоскости общего положения:

s = (sxyABC )2 +(sABCyz )2 +(szxABC )2 .

4. Находим точку выхода из плоскости на высоту d:

x D	=	sABCyz	d	; yD	=	sABCzx d	; zD	=	sABCxy d	.
		s
						s			s

5. Вычисляем координаты искомой вершины К:

x K = x D + xT ; yK = yD + yT ; zK = zD + zT .

Подводя итог этой лекции, отметим, что метрический оператор трех точек родст-

вен скалярному произведению векторов, точка выхода из плоскости – векторному про-

изведению двух векторов, а объем пирамиды – смешанному произведению трех векто-

ров.

Лекция №7Б

Пересечение гранных тел плоскостью:

1.Способ ребер при построении пересечения гранных тел плоскостью .

2.Способ граней при построении пересечения гранных тел плоскостью .

3.Способ двух ребер при построении пересечения гранных тел плоскостью . Построение разверток поверхностей:

1.Способ триангуляции для построения разверток поверхностей.

2.Способ раскатки для построения разверток поверхностей.

3.Способ нормального сечения для построения разверток поверхностей.

В сечении гранного тела плоскостью в общем случае получается многоугольник.

Многоугольник сечения можно получить двумя способами:

1.Определить его вершины, которые соединяются в некоторой последовательности, образуя стороны этого многоугольника.

2.Определить прямые, на которых находятся стороны его. Затем, на полученных прямых отметить вершины искомого многоугольника сечения, соединяя которые, оформить чертеж с учетом видимости его сторон.

Впервом случае, используется первая основная позиционная задача курса начертательной геометрии для определения вершин многоугольника сечения, порождая

способ ребер.

Во втором случае, используется вторая основная позиционная задача курса начертательной геометрии для определения прямых многосторонника сечения, порождая способ граней.

Способ ребер может применяться для любых граней многогранника, способ граней – только для проецирующих его граней. Следовательно, способ граней рационально применять для прямых призм. Рассмотрим примеры использования этих способов для построения треугольника сечения MNK:

Задача. Построить пересечение треуголь-
ной	наклонной		пирамиды		плоскостью
α(m || n).						S2
				1
	m2				3	5
			M2		K2
		N2			n2
2		4		6
A2				C2
		B2		1	3
A1				C1		5
				M1	K1
						S1
2	B1	4	N1	6
		Рис. 1. Способ ребер.

Задача. Построить пересечение прямой тре-
угольной призмы плоскостью α(m || n).
A2		B2	C2
			m2
4		N2	2
K2
		M2	n2
		1
		3
4			2
			m1
А1 ≡ К1			С1 ≡ N1
В1	≡ М1	3	n1
		1
		Рис. 2. Способ граней.

СПОСОБ РЕБЕР: Построить треугольник MNK пересечения наклонной пирамиды SABC с плоскостью α(m||n).

Решение задачи способом ребер выполняется в такой последовательности (рис. 1): 1. Определяем точку М пересечения ребра пирамиды AS с плоскостью α(m||n).

∙Заключаем ребро AS во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость;

∙Находим линию 12 пересечения вспомогательной плоскости с заданной;

∙Отмечаем искомую точку М пересечения ребра пирамиды AS с плоскостью α(m||n).

2.Аналогично определяем точки N, K пересечения ребер BS, CS с плоскостью α(m||n).

3.Оформляем треугольник сечения MNK с учетом видимости граней пирамиды. СПОСОБ ГРАНЕЙ: Построить треугольник MNK пересечения прямой треугольной призмы

ABC с плоскостью α(m||n).

Решение задачи способом граней выполняется в такой последовательности (рис. 2): 1. Определяем сторону MN пересечения грани ВС с плоскостью α(m||n).

∙Cтроим линию 12 пересечения проецирующей плоскости грани ВС с плоскостью α(m||n).

∙Отмечаем точки M,N пересечения прямой 12 с ребрами В и С призмы АВС.

2.Аналогично определяем точки М, K пересечения ребер В, А с плоскостью α(m||n).

3.Оформляем треугольник сечения MNK с учетом видимости граней призмы. Анализируя рассмотренные два способа определения многоугольника сечения гранного

тела плоскостью, делаем вывод - способ ребер поглощает в себе собой способ граней. Выделение последнего, как отдельного способа, оправдано для проецирующих плоскостей-граней, но его целесообразно назвать способом двух ребер. Способ двух ребер может применяться как для ребер принадлежащих, так и для ребер, не принадлежащих одной грани.

СПОСОБ ДВУХ РЕБЕР: Построить многоугольник пересечения прямой шестиугольной призмы плоскостью α(m||n).

РЕШЕНИЕ

1.Два горизонтально проецирующих ребра, проходящих через вершины А и F, заключаем во вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость.

2.Определяем проекции линии 12 пересечения вспомогательной плоскости с заданной плоскостью α(m||n).

3.Отмечаем точки M, P пересечения линии 12 с теми ребрами призмы, которые были заключены в горизонтально проецирующую плоскость.

4.Аналогично поступаем с двумя ребрами, проходящих через вершины В, Е, определяя вершины N,Q искомого шестиугольника се-

чения MNKSQP.

5.И наконец, применяем способ двух ребер для определения оставшихся вершин K, S искомого шестиугольника сечения.

6.Полученные вершины соединяем, оформляя чертеж с учетом видимости.

Еще раз отметим, что способ двух ребер

	B2 ≡ F2	C2	≡ E2	D2
m2	A2
		2		4	6
	P2
		Q2
	M2
				S2
n2	N2	K2
1	3		5
m1		2		4	6
	F1 ≡ P1			E1 ≡ Q1
A1 ≡ M1				D1 ≡ S1
	B1 ≡ N1			C1 ≡ K1	n1
1			5
	3
		Рис. 3

отличается от способа граней тем, что вспомогательная плоскость-посредник, проходя, через два ребра, может, как принадлежать, так и не принадлежать грани многогранника.

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ

Для конструирования инженерных геометрических форм из листового материала необходимо уметь строить развертки поверхностей этих форм по заданным их проекциям. На практике достаточно изучить способы построения разверток гранных поверхностей, а для построения разверток кривых поверхностей используют развертку вписанной гранной поверхности. Точность развертки кривой поверхности регулируют количеством граней вписанной гранной поверхности.

СПОСОБ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Способ триангуляции (способ треугольников) можно применить одинаково успешно для любой поверхности. Сущность этого классического способа построения разверток поверхностей состоит в следующем:

1.Производим триангуляцию поверхности (вписываем в поверхность многогранник с треугольными гранями. Плоские многоугольные грани также разбиваем на треугольники).

2.Определяем натуральные длины всех сторон имеющихся треугольников.

3.имеющимся натуральным длинам сторон треугольников строим (с помощью засечек) натуральные треугольники. Соответственным способом стыкуем эти треугольники, формируя развертку поверхности.

1	2	3	4
			5
6
			4
		3
	2		5
6
	1

5				Развертка состоит из четырех равно-
				бедренных треугольников 156 и четы-
				рех конических поверхностей 51234.
	н.в.52 = 53			Способом прямоугольного треуголь-
				ника определены натуральные вели-
	н.в.54 = 51			чины отрезков 51, 52, 53, 54. Нату-
				ральные величины остальных сторон
				треугольников не искажаются на про-
				екциях. Способом засечек построены
				треугольники определяющие разверт-
				ку четвертой части переходника.
2 ≡ 3		1 ≡ 4					4
				1	2	3

6

5

Рис. 4. Построение развертки переходника от круглого отверстия (вверху) к квадратному отверстию (внизу).

СПОСОБ РАСКАТКИ

Для построения разверток призм, которые расположены так, что на проекциях не искажаются ребра призмы удобно применить способ раскатки. Сущность способа рассмотрим на примере.

	адача. Построить развертку призмы, натуральные ребра которой
	не искажаются на плоскостях проекций.
	Изучите указания выделенные прямоугольниками	Все грани раз-
		вертки призмы –
	и воспроизведите построение самостоятельно.	параллелограммы.
	90°
		Направление
	Боковые ребра призмы –	раскатки пер-
		пендикулярно
	фронтальные отрезки.
		боковым реб-
		рам призмы
	Рис. 5. Построение развертки способом раскатки.	Указанные стрелка-
		ми отрезки равны
	Основания призмы –	между собой.
	горизонтальные треуголь-

Если необходимо построить развертку цилиндра, то в него вписывают многоугольную призму к которой применяют способ раскатки. Полученные точки соединяют не ломанной, а плавной лекальной линией.

Достоинство способа раскатки – простота построений, недостаток – неудобство расположения на чертеже (невозможность отделения развертки от проекций и изображения развертки в заданном положении и в заданном месте чертежа). Способ нормального сечения лишен этих недостатков, он позволяет сразу строить развертку на листовом материале выкройки, но он требует небольших вспомогательных построений (нормальное сечение призмы и его натуральную величину).

СПОСОБ НОРМАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ

Сечение призмы называется нормальным, если секущая плоскость перпендикулярна боковым ребрам призмы. Если ребра призмы принадлежат линиям уровня, то плоскость нормального сечения является проецирующей. На развертке нормальное сечение призмы развернется в линию перпендикулярную боковым ребрам. Исходя из этого, можно сформулировать последовательность построения развертки способом нормального сечения:

1.Через произвольную точку бокового ребра призмы проводим нормальную плоскость.

2.Строим сечение призмы нормальной плоскостью.

3.Строим натуральную величину сечения (поскольку для развертки будут использованы только длины сторон сечения, то можно использовать способ прямоугольного треугольника для их нахождения).

4.Разворачиваем многоугольник сечения в прямую линию.

5.Перпендикулярно этой линии поводим прямые через точки стыка сторон.

6.От точек стыка по этим прямым откладываем натуральные отрезки боковых ребер призмы

7.Оформляем чертеж развертки боковой поверхности призмы.

Рассмотрим пример построения развертки способом нормального сечения (рис. 6). В на-
шем примере ABCDEF треугольная призма имеет боковые ребра которые не искажаются на
фронтальной плоскости проекций П2. В этом случае способ нормального сечения особенно
прост в применении.
	Нормальная		D2	F2	E2				E0
								F0
	плоскость
								D0			D0
					Способом ППП
	σ2				определена н.в.
		1			треугольника
		90˚				123					1D2=10D0
			2
			3						30		2F2=20F0
								20		10	3E2=30E0
					1	2	3
								10			1A2=10A0
A2	B2	C2
											2B2=20B0
		C1	3		E1
											3C2=30C0
							3
A1					1				C0
		1	D1		F1
	B1		2			2		B0			A0
								A0
Рис. 6. Построение развертки треугольной							Периметр натурального нормального сечения
призмы способом нормального сечения.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ;

1.Выяснить, для построения развертки призмы обязательно ли иметь на проекциях натуральные величины ее оснований.

Построить развертку призмы общего положения, способом нормального сечения, не переводя ее в частное положение. Оценить эффективность предложенного Вами алгоритма построения.