Danilyuk_20TV_20i_20MS

31

Неперервна випадкова величина – така випадкова величина, яка може приймати всі значення з деякого скінченого або нескінченного інтервалу; наприклад, вага виробу, температура повітря, відхилення снаряду від цілі і т.д. Любу фізичну величину, крім світових констант, до досліду можна розглядати як неперервну випадкову величину (швидкість, маса, енергія і т.д.)

Законом розподілу (або рядом розподілу) дискретної випадкової величини називають перелік її можливих значень і відносних їм ймовірностей. Закон

розділу може задаватися різними способами.						x1, x2,..., xn . В
Нехай випадкова		величина X	може	приймати	значення
результаті досліду величина X приймає одне із своїх можливих значень, тобто
відбудеться	одна	подія	з	повної	групи	несумісних

подій: X x1, X x2,..., X xn . Всі ці події є несумісними, оскільки випадкова величина Х може приймати в результаті досліду тільки одне значення, і утворюють повну групу подій, оскільки ніякі інші події в результаті досліду відбутись не можуть. Позначимо ймовірності цих подій символами

P(X xi ) pi , i 1,n , тобто будемо вважати, що ймовірність того, що в результаті досліду випадкова величина X прийме значення xi дорівнює pi. Оскільки події утворюють повну групу подій, то

n		P(X x )	n	P 1.
i	1	i	i 1	i

Найпростішою формою задання закону розподілу дискретної випадкової величини X є таблиця, перший рядок якої містить можливі значення xi , а

другий – ймовірності pi:
		X	x	x2	…	xn
			1
n		P	p1	p2	…	pn
	p 1.
де
i 1	i

Закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити графічно, для чого в прямокутній системі координат будуть точки

M1(x1, p1), M2(x2, p2),..., Mn (xn, pn ) (xi – можливі значення X, pi – відповідні ймовірності) і з’єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають многокутником розподілу.

Задача 3.1.1. Виконується 5 підкидань монети. Випадкова величина X – число випадань “герба”. Написати закон розподілу.

Розв’язання. Випадкова величина X може приймати значення 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ймовірність того, що “герб” появиться при одному підкиданні дорівнює 0,5. По формулі Бернуллі

P(X k) C5k (0,5)k (0,5)5 k C5k (0,5)5 .

Тому закон розподілу буде мати такий вигляд

32

X		0				1			2			3			4				5
P	0	(0,5)	5			1	5		2	5		3	5		4	5		0	(0,5)	5
	C5					C5(0,5)			C5 (0,5)			C5 (0,5)			C5 (0,5)			C5
	0,03125					0,15625			0,3125			0,3125			0,15625			0,03125
Контроль: рi						0,03125 0,15625 0,3125 0,3125 0,15625 0,03125 1.

Задача 3.1.2. Мисливець стріляє в ціль в до першого попадання. Знайти закон розподілу випадкової величини X – число використаних патронів, якщо ймовірність попасти в ціль при кожному пострілі 0,25, а число пострілів не обмежене .

Розв'язання. Випадкова величина Х може приймати значення 1, 2,…, n, … .

Тоді
p1 P(X 1) 0,25	-	в	ціль	попав	при	першому пострілі;

p2 P(X 2) 0,75 0,25 – в ціль попав при другому пострілі, а при першому

був промах;

p3P(X 3)

–

два

промахи,

а

потім

попадання

в ціль; …;

pn P(X n) 0,75n 1 0,25

–n-1 промах, потім попадання в ціль і т.д. Закон

розподілу має вигляд

X

1

2

3

…

n

…

P

0,25

0,75 0,25

0,752 0,25

…

0,75n 1 0,25

…

p

0,75i 1 0,25 0,25

1

Контроль:

1.

i 1

i

i 1

1 0,75

Тут була використана формула для суми нескінченно спадної геометричної прогресії.

Задачі для самостійного розв'язання.

Задача 3.1.3. Одночасно підкидаються два гральні кубики. X – сума очок на випавших гранях. Скласти закон розділу випадкової величини X .

Відповідь:

X		2		3			4			5			6			7			8			9			10			11			12
P		1			2			3			4			5			6			5			4			3			2			1
		36		36			36			36			36			36			36			36			36			36			36

Задача 3.1.4. Два стрільці зробили по пострілу в мішень. Ймовірність попадання першого стрільця дорівнює 0,6, для другого – 0,8. Скласти закон розподілу випадкової величини X – числа попадань в мішень.

Відповідь:

X	0	1	2
P	0,08	0,44	0,48

33

Задача 3.1.5. Гральний кубик підкидається 3 рази. Написати закон розподілу числа появи шістки.

Відповідь:

X	0	1	2	3
P	0,5787	0,3472	0,0694	0,0046

Задача 3.1.6. Стрілець має 4 патрони і стріляє в ціль до першого попадання. Ймовірність попасти в ціль при одному пострілі 0,6. Нехай Х – число використаних патронів. Скласти ряд розподілу величини Х.

Відповідь:

X	1	2	3	4
P	0,6	0,24	0,096	0,064

3.2. ФУНКЦІЯ РОЗПОДІЛУ (ІНТЕГРАЛЬНА ФУНКЦІЯ) І ЩІЛЬНІСТЬ РОЗПОДІЛУ (ДИФЕРЕНЦІАЛЬНА ФУНУЦІЯ)

Функцією розподілу або інтегральною функцією розподілу називають функцію F(x), яка визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення, менше x, тобто

F(x) P(X x).

Для дискретної випадкової величини X , яка може приймати значення x1, x2,..., xn функція розподілу буде мати вигляд

F(x) P(X x).

хі x

Задача 3.2.1. По цілі проводяться три незалежні постріли. Ймовірність попадання в ціль при кожному пострілі дорівнює 0,4. Побудувати функцію

розподілу числа попадань.
Розв’язання. Позначимо	число	попадань через X , тоді можливими
значеннями X будуть	наступні	значення: x1 0, x2 1, x3 2, x4 3.

Ймовірності можливих значень випадкової величини визначаємо по формулі Бернулі:

	P(X xi ) C3xi			pxi g3 xi ; p 0,4; g 1 p 0,6.
Складаємо ряд розподілу
	X		0		1		2	3
Напишемо тепер	P		0,216		0432		0,288	0,064
	функцію		розподілу		:
при x 0		F(x) P(X xі ) 0;
			хі 0

34

при 0 x 1	F(x)	P(X xі ) 0,216;
		хі 1
при 1 x 2	F(x)	P(X xі ) 0,216 0,432 0,648;
		хі 2
при 2 x 3	F(x)	P(X xі ) 0,216 0,432 0,288 0,936;
		хі 3
при x 3	F(x) P(X 0) P(X 1) P(X 2) P(X 3) 1.

Графік функції розподілу дискретної випадкової величини представляє собою ступінчасту ломану лінію

F(х)

Х

0

1

2

3

Загальні властивості функції розподілу.

Властивість 1. Функція розподілу F(х) – невід’ємна функція, значення якої росташовані між нулем і одиницею.

0 F(x) 1

Властивість 2. Ймовірність появи випадкової величини в інтервалі l; , замкненому зліва, дорівню різниці значень функції розподілу на кінцях інтервалу, тобто

Р( ) F( ) F( )

Властивість 3. Фунуція розподілу випадкової величини є неспадна функція, тобто при

F( ) F( )

Дійсно, нехай , тоді

F P X P X X P X P X

F P X .

іотже F F P X 0.

Властивість 4. Якщо всі можливі значення випадкові величини Х належать інтервалу (а,в),то F(x) 0 при x 0; F(x) 1при x в.

Звідси випливає, що
lim F(x) 0	lim F(x) 1
х	х

Доведення формально можна провести наступним чином:

	35
F P X і оскільки	X неможлива подія, то F 0;
F P X і оскільки	X - достовірна подія, то F 1;

Зауважимо, що функція розподілу неперервної випадкової величини є неперервна функція. Для неперервної випадкової величини X

P( X ) P( X ) P X ) F( ) F .

Задача 3.2.2. функція неперервної випадкової величини Х задана виразом

0		x 1
F(x) a(x 1)2,	1 x 3
1	x 3
			F(x). Визначити
Знайти коефіцієнт а і побудувати графік функції
ймовірність того, що випадкова величина	X в результаті		досліду прийме
значення на інтервалі (1,2), тобто обчислити P(1 X 2).

Розв’язання. Оскільки функція розподілу неперервної випадкової величини

X неперервна, то при x 3							маємо a(3 1 2					1, звідки находимо а						1	,
												4
P(1 X 2) F(2) F(1)								1	(2 1)2 0					1
Графік F(x)має вигляд							4					4
F(х)
1
0	1														х
					2		3

Для неперервних випадкових величин вводиться поняття щільності розподілу (диференціальної функції). Щільність розподілу f (x) визначається як похідна від функції розподілу, тобто f (x) F(x).

Основні властивості щільності розподілу. Властивість 1. Щільність розподілу невід’ємна, тобто

f (x) 0

Дійсно, оскільки F x - неспадна функція, то F x f x 0.

Властивість 2. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме значення, що належить інтервалу ( , ) визначається рівністю

P( X ) f (x)dx

Дійсно P X F F

36

По формулі Ньютона – Лейбніца

F F F x dx f x dx

Властивість 3. Функція розподілу випадкової величини дорівнює інтегралу від щільності розподілу в межах від до х, тобто

x

F(x) f(t)dt

Дійсно, по властивості 2 маємо

x

F x P X x f t dt .

Властивість 4. Невластивий інтеграл від щільності розподілу в межах віддо дорівнює одиниці:

f (x)dx 1

По попередніх властивостях

f x dx F F 1 0 1

Зокрема, якщо всі можливі значення випадкові величини належать інтервалу(а;в), то

в

f (x)dx 1

а

Задача 3.2.3. випадкова величина Х підкоряється закону розподілу зі щільністю

asinx,0 x f (x)

0, x 0, x

Потрібно: а) Знайти коефіцієнт а; б) Побудувати графік щільності розподілу; в)

Знайти ймовірність попадання випадкової величини на інтервал від 0 до П .

4

Розв’язання. а) для визначення коефіцієнта а скористаємось властивістю 4 щільності розподілу:

	f (x)dx asin xdx acosx		2а 1,
	0		0

звідки находимо а 1 .

2

б) Графік функції f (x) має вигляд

37

f x

1

2

	0	П	П	х
		2

в) По властивості 2 маємо

P(0 X		П		4 1		sindx	1	cosx	4	1				1			2
			)								(cos		cos0)		(				1) 0,15
		4			2		2			2		4		2		2
				0					0
						Задачі для самостійного розв’язання.
Задача 3.2.4. випадкова величина Х має функцію розподілу
0,				x 0,
	2
		9,		0 x 3,
F(x) x
				x 3.
1,

Побудувати графік щільності розподілу і обчислити P(0,5 X 2,5).

Відповідь: 2 .

3

Задача 3.2.5. Знайти параметри а для щільності розподілу ймовірностей:

		acosx,							x				,
	а) f (x)				2						2
		0,
				x
										;
		a							2
	б) f (x)		,				x ;
		1 x2

38

в) f (x)			a			,		x ;
			ex e x
г)	f (x)	ae x,						x 0,
								x 0.
		0,
	Відповідь: a)			1	;б)		1	;в)	2	;г)
							П
		2							П

Задача 3.2.6. Дискретна випадкова величина задається законом розподілу

X	3	4	7	10	13
P	0,2	0,1	0,4	0,2	p5

Знайти: а) Ймовірність p5 ; б) Функцію розподілу і побудувати її графік; в) Ймовірність того, що в результаті експерименту випадкова величина прийме значення від 5 до 10.

Відповідь: a) 0,1;б) 0,7.

3.3. ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН.

Припустимо, що дискретна випадкова величина Х може приймати значення x1, x2,..., xn з ймовірностями p1, p2,..., pn .

Математичним сподіванням випадкової величини x називають суму добутків всіх її можливих значень на їх ймовірності:

M(X) x p

x

p

... x

p

n

x p

(3.3.1).

1 1

2

2

n

n

i 1

i i

Якщо випадкова величина приймає зчислену множину можливих значень, то

M(X) xipi, (3.3.1)` i 1

причому припускається, що ряд (3.3.1)` збігається абсолютно і сума всіх ймовірностей рі дорівнює 1.

Математичне сподівання неперервної випадкової величини X , можливі значення якої належать всій числовій осі ОХ , визначається рівністю

M(X)	xf (x)dx,	(3.3.2)
де f (x) - диференціальна функція. Припускається, що		інтеграл збігається

абсолютно.

Зокрема, якщо всі можливі значення належать інтервалу (а,в), то

в
M(X) xf (x)dx	(3.3.3)
a

Властивості математичного сподівання.

39

Властивість 1. Математичне сподівання сталої величини дорівнює самій сталій, тобто

M(c) c, c const.

Дійсно, сталу величину можна розглядати як дискретну випадкову величину з єдино можливим значенням C і відповідно ймовірністю 1. Отже

M C C 1 C.

Властивість 2. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання:

M(CX) CM(X), c const.

Обмежимося доведенням для дискретної випадкової величини. Випадкова величина CX буде мати ряд розподілу

CX	Cx1	Cx2	Cxn
p	p1	p2	pn

Тоді

M CX Cx1 p1 Cx2 p2 Cxn pnC x1p1 x2 p2 xn pn CM X .

Властивість 3. Нехай Y (X)- функція випадкового аргументу X , тоді а) для дискретної випадкової величини Х

n

M (X) (xi)pi; i 1

б) для неперервної випадкової величини X з щільністю розподілу f x

M (X)	(x) f (x)dx	(3.3.4)

Розглянемо випадок дискретної випадкової величини. Випадкова величинаX приймає значення x1 , x2 , ..., xn з ймовірностями p1, p2 , ..., pn . Отже

n

M X x1 p1 x2 p2 xn pn xi pi

i 1

Властивість 4. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань додатків:

M(X Y) M(X) M(Y).

Властивість 5. Математичне сподівання добутку взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань множників:

M(XYZ) M(X)M(Y)M(Z).

Характеристиками розсіювання можливих значень випадкової величини навколо математичного сподівання служать дисперсія і середнє квадратичне відхилення.

Дисперсією випадкової величини Х називають математичне сподівання квадрату відхилення:

	40
D(X) M X M(X) 2	(3.3.5)

Із властивостей математичного сподівання випливає, що (12.4) можна записати у вигляді

D(X) M(X2) (M(X))2

Оскільки

D X M X M X 2 M X2 2XM X M X 2

M X2 M 2XM X M M X 2 ,

значення 2M X і M X 2 є сталими і, отже, їх можна винести за знак

математичного сподівання; тоді

D X M X2 2M X M X M X 2 M X2 M X 2 .

Згідно з цією формулою, дисперсія дискретної випадкової величини знаходиться з допомогою формули

n
D(X) x2p (M(X))2,		(3.3.6)
i 1	i i
а для неперервної випадкової величини з		щільністю розподілу f (x) - по
формулі
	x2 f (x)dx (M(X))2
D(X)		(3.3.7)

Основні властивості дисперсії.

Властивість 1. Дисперсія сталої величини дорівнює нулю, тобто

D(C) 0, c const.

Для сталої величини M C C, тому

D C M C M C 2 M C C 2 0

Властивість 2. Сталий множник можна виносити за знак дисперсії, попередньо підністи його до квадрату:

D CX C2D X .

Дійсно

D CX M CX M CX 2 M CX CM X 2

M C2 X M X 2 C2M X M X 2 C2D X

Властивість 3. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій

D(X Y) D(X) D(Y).