Konspekt_lektsy_zm_1_2_3977714072-716176886
.pdfТаким чином, скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного з них на проекцію другого на напрямок першого.
Властивості скалярного добутку:
1) комутативність (a,b)= (b,a):
(a,b)= a b cos(a,b), а (b,a)= b a cos(b,a).
Так як a b = b a як добуток чисел і cos(a,b)= cos(b,a). 2) асоціативність відносно множника на число (λa) b = λ(a,b) :
(λa) b = b Прbλa = λ b Прb a = λ(a,b) .
3) операції додавання і скалярного множення векторів зв’язані дистрибутивним законом множення відносно додавання (розподільча властивість):
a(b + c) = ab + ac .
a(b + c) = a Прa (b + c) = a (Прa b + Прa c) = a Прa b + a Прa c =
= ab + ac .
4) скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини:
a |
2 = a a = |
|
a |
|
|
|
a |
|
cos0 = |
|
a |
|
|
|
a |
|
= |
|
a |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
звідси i 2 = j2 = k2 = 1.
5) a b = 0, якщо a = 0, або b = 0, або a b .
Звідси i j = jk = k i = 0.
Ураховуючи властивості 4) і 5), якщо a = ax i + ay j + az k та b = bx i + by j + bz k , то ab = axbx + ayby + azbz .
81
Косинус кута між векторами a і b обчислюється за формулою:
cosϕ = |
a,b |
= |
|
axbx + ayby + azbz |
. |
|
|
|
|||
|
a b |
|
ax2 |
+ ay2 + az2 bx2 + by2 |
+ bz2 |
Звідси умова перпендикулярності векторів a і b:
ab axbx + ayby + azbz = 0.
Зфізичної точки зору скалярний добуток постійної сили F та путі S є
робота A = F S cos(F S).
Приклад. Обчислити (5a + 3b) (a − b) , якщо a = 2 , b = 2 , a b.
Розв’язання. (5a + 3b) (a − b) = 5a2 − 5a b + 3b a − 3b2 =
= 5a2 − 3b2 = 20 −12 = 8.
Приклад. Знайти одиничний вектор, того ж напряму, що й вектор
a = i − 2 j + 2k .
Розв’язання. Знайдемо модуль вектора a :
|
|
|
= |
|
= 3. Тоді a0 = |
|
|
a |
|
|
|
1 |
i − |
2 |
|
2 |
k . |
|
= |
12 + (−2)2 + 22 |
|
|
= |
j + |
|||||||||||
a |
9 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
3 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перевіримо a0 = 19 + 94 + 94 = 99 =1.
Векторний добуток векторів. Векторним добутком двох векторів a і b, який позначають [a,b] або a × b, є вектор c (рис. 24), що визначається такими трьома умовами:
82
c
b
ϕ
a
Рис. 24
1)вектор c перпендикулярний як до a так і до b, тобто c a і c b;
2)довжина вектора c чисельно дорівнює площі паралелограма,
побудованого на векторах a і b:c = a b sin(a,b) ;
3) вектори a , b і c , що не належать одній площині (не колінеарні), утворюють праву тройку; тобто, якщо дивитись з кінця вектора c
найкоротший поворот від вектора a до вектора b здійснюється проти руху годинникової стрілки і ліву – якщо за рухом годинникової стрілки.
Властивості векторного добутку:
1)зміна місця множників дає протилежний вектор a × b = −b × a;
2)вектори a × b і b × a колінеарні, мають одинакові модулі (площа паралелограма таж сама), але протилежно спрямовані (трійки векторів a , b,
a ×b і a , b, b× a протилежно орієнтовані). Отже a × b = −b× a ;
3) асоціативність відносно скалярного множника: λ(a × b) = (λa) × b = a × (λb) .
Нехай λ > 0 , вектор λ( a× b ) перпендикулярний до векторів a і b, вектор ( λa )×b також перпендикулярний до векторів a і b (вектори a і λa
належать одній площині). Отже вектори λ( a × b ) і ( λa )×b колінеарні і напрямки їх співпадають. Вони мають однакову довжину:
83
λ(a × b) = λ a × b = λ a b sin(a,b) і
(λa) × b = λa × b sin(λa,b) = λ a b sin(a,b).
Звідси λ(a × b) = λa × b. Доведення при λ < 0 аналогічне;
3) два ненульових вектори a і b |
колінеарні тоді й тільки тоді, коли їх |
|||||||||||||||||||||||||||
векторний добуток дорівнює нулю a ||b a × b = 0 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
дорівнює 0° або 180° . Але |
|
|||||||||||||||||||||
Якщо a||b , |
то |
кут між |
ними |
тоді |
||||||||||||||||||||||||
|
a × b |
|
= |
|
a |
|
|
|
b |
|
sin(a,b) = 0. Отже a × b = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = a,b = 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Якщо ж |
a × b = 0 , то |
a |
× |
b |
sin( a,b ) = 0 . Але |
тоді |
або |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ϕ = 180°, тобто a||b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Зокрема i × i + j × j + k × k = 0; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3) векторний |
добуток |
|
|
|
|
|
має |
|
розподільчу |
властивість: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
( a + b )× c = a × c + b× c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Векторний добуток векторів |
a = ax i + ay j + az k |
і b = bx i + by j + bz k |
||||||||||||||||||||||
обчислюється за формулою: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a × b = |
ax |
ay |
az |
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
by |
bz |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ця формула перевіряється безпосереднім перемноженням двох векторів.
Звідси встановлення колінеарності векторів a і b:
ax = ay = az a||b . bx by bz
84
Площа паралелограма, побудованого на векторах a і b, дорівнює
Sпар = a × b = a b sin(a,b), а площа трикутника
|
|
|
|
|
|
|
S = |
1 |
|
a × b |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад. Обчислити площу трикутника, побудованого на векторах |
|||||||||||||||||
a = 6i + 3 j − 2k і b = 3i − 2 j + 6k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Розв’язання. Знайдемо векторний добуток: |
|
|
|||||||||||||||
|
i |
j |
k |
|
3 |
− 2 |
|
6 |
|
− 2 |
|
|
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a × b = |
6 |
3 − 2 |
= i |
− j |
|
+ k |
=14 i − 42 j − 21k . |
||||||||||
|
3 |
− 2 |
6 |
|
− 2 |
6 |
|
3 |
6 |
|
|
|
3 |
− 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді S = 12 a × b = 12 142 + 422 + 212 = 492 (кв. од.).
Приклад. Обчислити площу паралелограма, що побудований на
векторах a + 3b і 3a + b, якщо a = b =1, (a,b) = 30°.
Розв’язання. Маємо (a + 3b)× (3a + b) = 3a × a + a × b + 9b × a + 3b × b =
= −8a × b .
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Тоді S = 8 |
a × b |
= 8 |
a |
|
b |
sin30° = 8 1 1 |
= 4 (кв. од.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мішаний добуток трьох векторів. Мішаним добутком трьох векторів |
a, b і c називається скалярний добуток вектора a ×b |
на вектор c |
тобто |
( a × b ) c . |
|
|
Позначається a b c . |
|
|
Модуль мішаного добутку векторів a b c |
дорівнює |
об’єму |
паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, які відкладені від однієї точки:
V = a b c |
. |
|
85
Властивості мішаного добутку:
1)мішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю, якщо: а) хоча б один з цих векторів дорівнює нулю; б) два з векторів паралельні (колінеарні);
в) усі три вектори паралельні одній площині (компланарні);
2)мішаний добуток не зміниться, якщо у ньому змінити місцями знаки векторного і скалярного множення, тобто
(a × b) c = a (b × c) = abc |
; |
|
3) мішаний добуток не зміниться при круговій перестановці векторів a b c =b c a =c a b ;
4) при перестановці будь-яких двох векторів мішаний добуток змінить тільки
знак: b a c = −a b c ; |
c b a = −a b c ; |
a c b = −a b c . |
||||
Мішаний добуток |
векторів: a = ax i + ay j + az k , b = bx i + by j + bz k , |
|||||
c = cx i + cy j + cz k обчислюється за формулою |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
ay |
az |
|
|
|
|
|
|
|||
|
a b c = |
bx |
by |
bz |
|
. |
|
|
cx |
cy |
cz |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
З властивостей мішаного добутку трьох ненульових векторів випливає необхідна і достатня умова компланарності: a b c = 0 .
Припустимо, що це так. Тоді можливо було б побудувати паралелепіпед з об’ємом V ≠ 0 . Але a b c = ±V , тоді a b c ≠ 0 а це суперечить умові a b c = 0 .
Навпаки, нехай a, b, c – компланарні. |
Тоді |
вектор d = a × b – |
перпендикулярний до площини, якій належать |
(або |
паралельні) вектори |
a, b, c і d c . |
|
|
86
Звідси (d c)= 0 , тобто a b c = 0 .
Об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c дорівнює
|
|
Vпар = |
|
a b c |
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Об’єм трикутної піраміди, що побудована на векторах a, b, c дорівнює: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
V = |
1 |
|
a b c |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
пір |
6 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||||||
Мішаний добуток дає можливість визначити взаємну орієнтацію |
|||||||||||
векторів a, b, c у просторі. Якщо |
a b c > 0, то вектори a ,b ,c утворюють |
праву тройку векторів, а якщо a b c < 0, – ліву.
Приклад. Обчислити об’єм піраміди, яка має вершину у точках: A(1;2;3); B(0;−1;1) ; C(2;5;2) ; D(3;0;−2) . Знайти площу грані ABC і косинус кута BAD .
Розв’язання. Складемо вектори:
a = AB = (0 −1) i + (−1− 2) j + (1− 3)k = − i − 3 j − 2k = (−1;−3;−2); b = AC = (1;3;−1); c = AD = (2;−2;−5).
Знайдемо a, b, c :
|
−1 |
− 3 |
− 2 |
|
|
|
|
||||
a b c = |
1 |
3 −1 |
|
=15 + 6 + 4 +12 + 2 −15 = 24. |
|
|
2 |
− 2 |
− 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Звідси Vпір = 16 24 = 4 (куб. од.).
Площа грані ABC дорівнює:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
i |
j |
k |
|
1 |
|
|
− 3 − 2 |
|
−1 − 2 |
|
−1 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
S |
ABC |
= |
|
a × b |
|
= |
|
−1 − 3 − 2 |
= |
|
i |
− j |
+ k |
= |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
3 −1 |
1 −1 |
1 3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87
|
1 |
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
90 |
= 3 |
|
(кв. од.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
9 i − 3 j + 0k |
|
92 |
+ 32 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Косинус кута BAD – це косинус кута між векторами AB = a і AD = c . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 + 6 +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Звідси cos(a,c) = |
|
a |
c |
= |
|
|
|
|
|
= |
14 |
|
= |
|
14 |
≈ 0,651. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a |
|
c |
12 + 32 + 22 22 + 22 |
+ 52 |
14 33 |
33 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Пряма лінія і площина у просторі. Поверхні другого порядку
Площина. Нормальне рівняння площини у векторній формі має вигляд:
|
|
|
r n = ρ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
де rr = xi + yj + zk радіус-вектор довільної |
точки |
M (x, y, z) |
площини; |
|||||
r |
cosα + j cosβ + k cosγ |
– одиничний |
вектор, |
що |
має |
напрямок |
||
n = i |
||||||||
перпендикуляра до площини, проведений з початку координат; |
α,β,γ – |
|||||||
кути, |
що утворюються цим |
перпендикуляром з осями |
координат; ρ – |
довжина цього перпендикуляра. Переходячи до координат у скалярному добутку, отримаємо нормальне рівняння площини у координатній формі:
xcosα + ycos β + zcosγ − ρ = 0 ,
Будь-яке рівняння першого степеня Ax + By + Cz + D = 0, при умові
A2 + B2 + C2 ≠ 0, задає площину у просторі і має назву загального рівняння площини. Коефіцієнти A,B,C – можна розглядати, як компоненти вектора
нормалі N = Ai + Bj + Ck до площини.
Для отримання нормального рівняння, треба загальне рівняння
площини помножити на нормуючий множник |
µ = ± |
1 |
= ± |
|
1 |
|
, |
||
|
|
|
|
||||||
|
A2 + B2 + C2 |
||||||||
|
|
|
|
N |
|
|
|||
знак якого обирається з умови D < 0, тобто знаки і D протилежні. |
|
|
|||||||
Розглянемо |
часткові |
випадки |
розташування |
площини |
|||||
Ax + By + Cz + D = 0, у просторі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
88
A = 0; площина паралельна осі Ox ;
B = 0; площина паралельна осі Oy ;
C = 0; площина паралельна осі Oz ;
D = 0; площина проходить через початок координат;
A = B = 0; площина перпендикулярна осі Oz (паралельна площині xOy );
A = C = 0; площина перпендикулярна осі Oy (паралельна площині xOz );
B = C = 0; площина перпендикулярна осі Ox (паралельна площині yOz );
A = D = 0; площина проходить через ось Ox ;
B = D = 0; площина проходить через ось Oy ;
C = D = 0; площина проходить через ось Oz ;
A = B = D = 0; співпадає за площиною xOy ( z = 0);
A = C = D = 0; співпадає за площиною xOz ( y = 0);
B = C = D = 0; співпадає за площиною yOz ( x = 0);
Якщо у загальному рівнянні площини D ≠ 0 (тобто площина не проходить через початок координат), то поділивши усі частини рівняння на − D, отримаємо рівняння площини у відрізках
|
x |
+ |
y |
+ |
z |
=1 |
, |
|
|
|
|
||||
|
a |
|
b |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де a = − D ; b = − D ; c = − D – точки перетину площини з осями Ox , Oy , Oz .
A B C
Кут ϕ між площинами A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 визначається як кут між нормалями до цих площин за формулою:
cosϕ = |
|
|
A1 A2 + B1B2 + C1C2 |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A2 |
+ B2 |
+ C2 |
A2 |
+ B2 |
+ C |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
Звідси умова паралельності двох площин:
89
|
|
|
A1 |
|
= |
B1 |
= |
C1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
A2 |
|
B2 |
|
C2 |
|
|
|
||
Умова перпендикулярності: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
A1 A2 + B1B2 + C1C2 |
= 0 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Відстань точки M (x0 , y0 , z0 ) |
від |
площини Ax + By + Cz + D = 0 |
визначається за формулою
d = |
Ax0 |
+ By0 |
+ Cz0 |
+ D |
. |
|
A2 + B2 + C2 |
||||
|
|
|
Зазначимо, що вираз під знаком модуля буде додатнім, якщо точка M (x0 , y0 , z0 ) і початок координат розташовані по різні боки від площини і від’ємним – якщо по один бік.
|
|
|
Рівняння |
площини, |
яка |
проходить |
через |
|
точку |
M (x0 , y0 , z0 ) |
і |
|||||||||||||
перпендикулярна до вектора N = |
r |
r |
|
|
має вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ai |
+ Bj + Ck |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
При довільних A, B, C отримаємо рівняння |
в’язки площин, |
що |
|||||||||||||||||||
проходять через точку M0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Рівняння |
|
A x + B y + C z + D + λ(A x + B y + C |
z + D ) = 0 |
|
, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
при |
довільному |
|
λ |
задає |
жмуток |
площин, |
|
що |
проходять через |
|
пряму |
|||||||||||||
перетину площин A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 і A2 x + B2 y + C2 z + D2 |
= 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Рівняння площини, яка проходить через три точки |
M1(r1), M2 (r2 ), |
||||||||||||||||||||
|
|
(r ), де |
|
|
r |
r |
+ z k , |
rr |
r |
|
|
r |
|
k , |
|
rr |
r |
|
|
r |
+ z k , |
|||
M |
3 |
rr = x i |
+ y j |
= x i + y |
2 |
j + z |
|
= x i |
+ y j |
|||||||||||||||
|
|
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
3 |
3 |
|
3 |
|||||
отримаємо з умови компланарності векторів. |
r − r1, |
|
r2 − r1, |
r3 − r1, |
де |
|||||||||||||||||||
r = x i + y j + zk |
– радіус-вектор довільної точки M шуканої площини: |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(r − r1)(r − r2 )(r − r3 ) = 0 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90