Методичка по Математике

			i		j		k		i
	i		0		k		j
	j		k		0		i		k
								j
	k		j		i		0		Рис. 11

В	координатной форме векторное
a(xa	; ya ; za ) и b(xb ; yb ; zb ) равно:
			i	j	k
			xa	ya	za
	a	b =
			xb	yb	zb

произведение векторов

.

Применение векторного произведения векторов.

0 и

1. Проверка векторов на коллинеарность. Если a | |b , то

a b

наоборот.

Пример 1 .

Проверить векторы

a 2i

5 j

k и

b

i

2 j 3k на

коллинеарность.

Р еше н ие .

Запишем векторы в координатной форме

5;

1),

a (2;

b (1; 2; –3) и найдем их векторное произведение:

i

j

k

5 1

2

1

2 5

a

b

2

5 1

i

2

3

j

1

3

k

1

2

17i

7 j

k .

1

2

3

0 , то эти векторы не коллинеарны.

Так как a b

2.

Нахождение площадей

параллелограмма

и

треугольника.

Согласно определению векторного

произведения векторов

и

a

b

модуль этого произведения численно равен площади параллелограмма,

построенного на векторах

и

a

b , как на сторонах, т. е.

i

j

k

Sпар

a

b

a

b

sin( )

xa

ya

za

,

xb

yb

zb

а значит площадь соответствующего треугольника будет равна

33

1

1

1

i

j

k

S

a

b

a

b

sin( )

xa

ya

za

.

2

2

2

xb

yb

zb

Пример 2 . Найти площадь параллелограмма,

построенного на

если

30 .

векторах a

3b,

3a b ,

a

b

1, (a

ˆ; b)

Р еше н ие . П лощадь параллелограмма определяется по формуле

Sпар

(a

3b)

(3a

b)

. Найдем (a

3b) (3a b)

3a a

a

b

9b

a

3b

b

b a 9b a

8 (b

a) .

Тогда S

8

b

sin30 4 (ед.2).

пар

a

Пример

3 .

Вычислить

площадь

треугольника

с

вершинами

А(2; 2; 2), В(4; 0; 3), С(0; 1; 0).

Р еше н ие .

Найдем координаты векторов AC и AB :

AC(0 2; 1 2;

0 2),

или AC( 2;

1;

2);

AB(4 2;

0 2;

3 2), или AB(2; 2;

1) .

i

j

k

1

2

2

2

2

1

Тогда AC AB

2

1

2

i

2

1

j

2

1

k

2

2

2

2

1

i ( 1 4)

j( 2 4) k (4 2) 5i

2 j 6k ,

а

его

модуль

равен

AC AB

25 4 36

65.

Следовательно, площадь треугольника равна S

65

(ед.2).

2

3. Определение момента силы относительно точки.

Пусть в точке А приложена сила F и пусть А – некоторая точка

пространства (рис. 12).

Из физики известно, что моментом силы F относительно точки А

называется вектор M ,

который проходит через точку А численно

равен произведению силы на плечо

M

F

ON

F

r

sin( )

F

OA

sin(F

;

34

и образует правую тройку векторов с векторами OA и AB .

	M		F
		r
A			B

N

Рис. 12

Из вышесказанного можно сделать вывод, что

M r F AB F .

Пример 4 . Найти величину момента силы F(1; 0; 1) относительно точки A( 2; 1; 3) , если сила приложена к точке B(3; 1; 0) .

Р еше н ие . Определим координаты вектора AB(3 2; 1 1; 0 3) , AB(5; 2; 3). М омент M силы F относительно точки А найдем как

i

j

k

2

3

5

3

5 2

M AB F

5 2 3

i

j

k

2i 8 j 2k ,

1

0

1

0

1

1

1

1

0

M ( 2; 8; 2) .

Тогда величина

момента

силы

F

равна

модулю

вектора

M

( 2)2 ( 8)2 22

72 6 2 .

2.12. Смешанное произведение тройки векторов,

его свойства и применение

Смешанным произведением векторов

называется число,

a ,

b и

c

равное скалярному

произведению вектора

на вектор,

равный

a

векторному произведению векторов b и

c . Обозначается как abc .

Смешанное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. Смешанное произведение равно нулю, если:

35

а) хотя бы один из векторов нулевой; б) в произведении есть коллинеарные векторы; в) векторы компланарны.

2. (a

b) c

a

(b

c) .

3. (a,b,c)

(b,c, a) (c, a,b)

(b, a,c) (c,b, a) (a,c,b) .

4. ( a1

a2

,b,c) (a1

,b,c) (a2 ,b,c) .

В координатной

форме

смешанное произведение

векторов

a(xa ; ya ; za ) ,

b(xb ; yb ; zb ) и c(xc

; yc ; zc ) равно:

xa

ya

za

abc

xb

yb

zb

.

xc

yc

zc

Применение смешанного произведения векторов.

1. Проверка тройки векторов на компланарность. Векторы

,

a

b и

компланарны

тогда

и

только

тогда,

когда

их

смешанное

c

0 :

произведение равно нулю при условии, что a

0 , b 0 , c

xa

ya

za

zb 0

abc xb

yb

векторы

a ,

b и

c компланарны.

xc yc zc

Пример 1 . Доказать, что точки А(5; 7; – 2), B(3; 1; –1), C(9; 4; –4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

Р еше н ие . Если заданные точки лежат в одной плоскости, то соответствующая тройка векторов, выходящих из общего начала, будет компланарна. Проверим, компланарны ли векторы с общим

началом в точке А. Найдем координаты этих векторов: AB( 2; 6; 1) ,

АС(4; 3; 2) , AD( 4; 2; 2) . Вычислим их смешанное произведение:

	2	6	1				2	6	1		0	6 1
АВ АС АD	4	3	2				0	15	0		0	15	0		0 .
	4	2	2				0	10	0		0	10	0

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно, точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

36

	2.	Определение	взаимной	ориентации			тройки	векторов			в
пространстве. Тройка векторов							в пространстве право-
				a ,	b и	c
ориентирована, если abc 0 , и левоориентирована при abc 0 .
	3.	Нахождение	объемов. Смешанное			произведение					по
								a	b	c
модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах
											a ,
		, как на сторонах (рис. 13), т. е.
b	и c

				xa		ya	za
	Vпар
		abc		xb		yb	zb	.
				xc		yc	zc
Объем		треугольной						пирамиды,
построенной на векторах							и		, как на
					a	, b		c

сторонах (рис. 14), равен одной шестой смешанного произведения этих векторов, взятого по абсолютной величине, т. е.

		1				1		xa	ya	za
	Vпир
				abc				xb	yb	zb	.
		6				6
								xc	yc	zc

c b

a

Рис. 13

c b

a

Рис. 14

Пример 2 . Найти длину высоты треугольной пирамиды с вершинами A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2), опущенную на

	грань BCD.
	Р еше н ие . Найдем										к оординаты векторов: BA( 2; 3; 4) ,
	BD(1; 4; 3),					BC(4; 1; 2) . Тогда объем пирамиды можно вычислить
	по формуле
					1		2	3			4		1
	V						1	4			3				2( 8 3) 3( 2 12) 4( 1 16)
	пир			6								6
							4	1			2
		1		22 30 68						20(ед.3 ).
	6

37

Из школьного курса математики известно, что Vпир 13 Sосн h .

	Откуда следует, что h	3 Vпир	Поэтому для нахождения длины
		Sосн

высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.

ij k

BD BC 1					3
			4			i ( 8 3) j ( 2 12) k ( 1 16)
	4			1	2
11i	10 j 17k.
Определим модуль векторного произведения векторов:
		BD BC			112 102 172						121 100 289								510 .
Тогда площадь треугольника BCD равна Sосн =																					510 / 2 (ед.2), а
							3 Vпир				2 3 20
длина искомой высоты –						h										4 510				(ед.).
							Sосн									17
										510

3. ЗАДАНИЯ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ

«ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ»

3	6	1	1
			3
1. Найти А–В, если А= 8	2	, В= 0		.
			5
4	1	2
			1 1 3			2 4 6
2. Найти матрицу Х из уравнения 4 3				2	1	2Х 10 2 4	.
			2	1 3		1 1 10

3. Найти АВ, если:
	1 1							1 0 2		1	2
				2
		1						3 1 1
a) A	0 4					;	б) А=		,	В= 0 1 .
		, B	3	4				1 2 1
	2 1							1 3 2		0	1
							38

		1	2	5
4. Найти А2
	,если А	2	4	10	.
		1	2	5

3		6		1		0 3	2	. Найти E В 4В А2В.
5. Дано: А=			,	В =		1 1
	2	1			0		1

6. Проверить, выполняются ли равенства AB BA , (AB)C=A(BC)

для матриц:
3 0			0			2 0			0			3	0	0
A 0		1 0				, B 0 5			0	, C		0	2	0 .
			4										0	5
0 0						0 0			4			0
7. Вычислить AB 2CT , если
	1		1			1	2			2 4			6
A		0	4		,
						B			, C					.
							4				5 7		3
		2	1			3

8. Найти все миноры и алгебраические дополнения матрицы
2	3	4	7		11 15	0		14	1
1) А 1	2	5 ; 2)	B	9	4 1 ; 2)	C	8	7	18 .
	7			5			4	33
4		6			7 12				42

9. Вычислить определители:
	3		2			3			2						2			1			2	0	0
													3
1)				;	2)						;	3)	2 1				3		; 4)		5	2 4		;
	4		6			4			5				2		0		2				3	3	8
					5
			3							6		4	2			3	4	5				2	3		1
		4
5)		2	0		1			; 6)		4		1	2	; 7)		3	2	2		; 8)		4	1 2				.
		4 1			3					1		3	1			0	1 1					3	5		0

10. Решить системы уравнений методом Крамера:

1)	3х 4 у 2	3х 4 у 1	3х 4 у 1
	; 2)	; 3)	;
	2х 3у 7	6х 8у 3	9х 12 у 3

39

2х у 3z 9		3х у	z 1			х 2 у 3z 4 0
4) 8х					; 6)	2х
	3у 5z 13 ; 5)	5х 2 у 3z 2					у z 3 0 .
2х		8х 3у 2z 3				3х
	5у z 5						3у 2z 7 0

11. Даны точки A(3; 1; 2) и B( 1; 2;1) . Найти координаты векторов

AB и BA , их длину и направляющие косинусы.

12.Определить точку N , с которой совпадает конец вектора a(3; 1; 4) , если его начало совпадает с точкой M(1; 2; 3) .

13.Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: 1) 45o , 60o , 120o ; 2)

45o , 135o , 60o .

14.Проверить, коллинеарны ли векторы a(2; 1; 3) и b( 6; 3; 9) .

Если да, то установить, какой из них длиннее и во сколько раз. Как они направлены – в одну сторону или в противоположные?

	15. Проверить, что	четыре	точки		A(3; 1; 2) ,	B(1; 2; 1) ,
	C( 1; 1; 3) , D(3; 5; 3)	служат вершинами трапеции.
	16. Даны точки A(2; 1;3) , B(1;0; 2) , C(2; 4; 1) , D(1; 1; 5) . Найти:
	1) координаты вектора 2AB CD ;		2) длину вектора CB 3AD+DС.
	17. Векторы a и b образуют угол			2	. Зная, что длины этих
				3

векторов соответственно равны a 3 и b 4 , вычислить:

1) ab ; 2) a ; 3) b ; 4) (a b) .

18. Даны векторы a(4; 2; 4), b(6; 3; 2) . Вычислить:

1) ab ; 2) a ; 3) b ; 4) (2a 3b)(a 2b) ; 5) (a b) ; 6) (a b) .

19. Даны три силы: М(3; 4; 2), N(2; 3; 5) и P( 3; 2; 4) , прило-

женные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения M1 (5; 3; 7) в положение

M2 (4; 1; 4) .

40

20. Определить, при каком значении векторы a i 3 j 2k

и

b i 2 j k

ортогональны.

21. Даны вершины треугольника

A( 1; 2; 4),

B (

4 ;

2 ; 0 ) ,

C ( 3 ; 2. ;Определить1 )

его внутренний угол при вершине В.

22. Даны три вектора: a 3i 6 j k , b i 4 j 5k

и c(3; 4;12) .

Вычислить прc

b) .

23. Даны

точки

A( 2; 3; 4), B(3; 2; 5), C(1; 1; 2) , D(3; 2; 4) .

Найти:

1) (2AB+CD) AC ; 2)

прAD (BA CB) ;

3) угол между векторами BA AC и DA .

24. Даны векторы: a 10, b 2

и ab 12 . Вычислить

a b

.

3,

26 и

a b

72 . Вычислить ab .

25. Даны векторы:

a

b

26. Даны векторы

a(3; 1; 2)

и

b(1; 2; 1) .

Найти координаты

векторных произведений: 1) a b;

2)

(2a b) b;

3) (2a b) (2a b) .

27. Сила P(2; 4; 5)

приложена к точке M0 (4; 2; 3) . Определить

момент этой силы относительно точки A(3; 2; 1) .

28. Даны три силы: M(2; 1; 3) ,

N(3; 2; 1)

и P( 4; 1; 3) , прило-

женные к точке C( 1; 4; 2) . Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки

A(2;3; 1) .

29. Даны вершины треугольника A(1; 1; 2), B(5; 6; 2), C(1; 3; 1). Вычислить длины его высот.

30. Даны три вектора: a i j 3k ; b 2i 2 j k ; c(3; 2; 5). Требуется:

1)вычислить смешанное произведение векторов abc ;

2)установить, компланарны ли векторы a, b, c ;

3)определить ориентацию тройки векторов a, b, c ;

41

M(х; у)

R

C(a; b)

Рис. 15.

4) вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах a,b, c .

31. Проверить, лежат ли точки A(1; 2; 1) , B(0; 1; 5) , C( 1; 2; 1) ,

D(2; 1; 3) в одной плоскости.

32. Даны вершины пирамиды: A(2; 3; 1) , B(4; 1; 2) , C(6; 3; 7) и D( 5; 4; 8) . Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.

4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВЕ

4.1. Уравнение линии на плоскости

В аналитической геометрии любую линию на плоскости рассматривают как множество точек, обладающих общими свойствами.

Например, окружность радиуса R – это множество точек плоскости, равноудаленных на расстояние R от заданной точки,

называемой центром окружности.

Уравнением линии называется такое уравнение F(x; y) = 0, связывающее переменные x и у, которому удовлетворяют координаты любой точки данной линии и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней. Переменные x и у в уравнении линии

называются текущими координатами точек линии.

Для того чтобы составить уравнение линии, на ней выбирают произвольную текущую точку М(x; y) и посредством координат выбранной точки математически выражают свойства, присущие всем точкам линии.

На пр им ер , составить уравнение окружности с центром в точке С(a; b) и радиусом R (рис. 15).

Р еше н ие . Выберем на окружности текущую точку М(x; y). Известно, что все точки окружности равноудалены от центра С на

расстояние R. Тогда длина вектора CM будет равна R. Выразим длину вектора CM . Так как вектор имеет координаты CM(x a; y b) , то

его длина равна (x a)2 ( y b)2 R , или	(x a)2 ( y b)2	R2 .
42