Metodichka_chast_2

Всякая неправильная дробь может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби. Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

Пример 1. Представить неправильную дробь	2x 2	3x 2	в виде
		x 2

суммы многочлена и правильной дроби.

Решение. Разделим числитель на знаменатель (деление многочле-

нов) и получим		2x 2	3x 2		=	2x 1			4	.
		x 2							x 2
Дроби вида		A	,	A			,	Ax B			называются простейшими
		x a		x a n				x 2 px q

рациональными дробями. Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших дробей.

	Пример 2. Разложить правильную дробь	2x 3	на простей-
		(x 1)( x 3)

шие.

Решение. Для разложения дроби на простейшие используем ме-

тод неопределенных коэффициентов:

2x 3

=

A

B

(x 1)( x 3)

x

1

x

3

=

A(x 3) B(x 1)

Ax 3A Bx B

( A B)x 3A B

.

Начальная

(x 1)( x 3)

(x 1)( x 3)

(x 1)( x 3)

дробь равна конечной и знаменатели у них одинаковы. Следовательно,

												A B 2,
должны быть равными и числители:											3A B 3.							Решая данную си-
стему уравнений, найдем:		A	5	,	B				3			. Тогда разложение дроби на
		4							4
простейшие имеет вид:		2x 3				=		5				1			3			1	.
	(x	1)( x 3)					4					x 1		4			x 3

При интегрировании простейших рациональных дробей можно использовать формулы:

		A			d (x a)
1)			dx A			dx A ln	x a		C ;
		x a			x a
2)		A		dx	A (x a) n d (x a)				A	C;
		(x a)n						(1 n)( x a)n 1
						13

Ax B

3) интегрирование выражений вида x2 px q dx рассмотрим на примере.

x3 3

Пример 3. Найти интеграл x2 2x 3dx .

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде суммы многочлена и правильной дроби, предварительно разделив числитель

на знаменатель:	x3 3		x 2	7x 3	. Разложим получен-
	x2 2x 3			x2 2x 3

ную правильную рациональную дробь на простейшие. Для этого вна-

чале знаменатель разложим на множители:

x2 2x 3 0 , x 3 ,

1

x

1 ,

x2

2x 3 (x 3)(x 1) .

Тогда

7x 3

7x 3

=

x2

(x 3)( x 1)

2

2x 3

A

B

A(x 1) B(x 3)

Ax A Bx 3B

x

3 x 1

(x 3)( x 1)

(x 3)( x 1)

( A B)x A 3B

.

(x 3)( x 1)

Так как

7x 3

( A B)x A 3B

, то

(x 3)( x 1)

(x 3)( x 1)

A B 7,

Решив данную систему, найдем B 1,

A 6 . Тогда

A 3B 3.

7x 3

7x 3

6

1

=

. Подставим в подынтеграль-

x2 2x 3

(x 3)( x 1)

x 3

x 1

x3

3

7x 3

ную функцию:

dx =

x

2

dx

x

2

2x 3

(x 3)( x 1)

6

1

x2

= x 2

dx

2x 6 ln

x 3

ln

x 1

C .

x

x

3

1

2

Если подынтегральная функция иррациональна, то с помощью замены переменной во многих случаях можно привести ее к рациональному виду или к такой функции, интеграл от которой является табличным. Интегрирование при помощи замены переменной, которая приводит подынтегральное выражение к рациональному виду, называется

интегрированием посредством рационализации подынтегрального выражения.

14

– Интегралы вида

n1

x

m1

,

n2

x

m2

ns

x

ms

приводятся к ин-

R x,

,...,

dx

тегралам от рациональных функций с помощью подстановки x t k ,

где k – наименьшее общее кратное чисел n1, n2 ,...,ns .

– Интегралы вида R x, m

dx приводятся к интегралам от ра-

ax b

циональных функций с помощью подстановки t m ax b .

3

Пример 4. Найти интеграл

x

dx .

3 x2

x

Решение. Показателями степеней корней являются числа 3 и 2. Их наименьшее общее кратное равно 6. Поэтому применим подстановку

x t 6 .

Тогда

dx 6t 5 dt,

3 x t 2 , 3 x 2

t 4 ,

x t 3 .

В

результате

3

t 2

t 7

t 4

x

dx =

6t

5

dt

6

dt

6

dt . В подынте-

3

t 4

t3

t3 (t 1)

t 1

x2

x

t 4

t 4 1 1

t 4 1

гральной

функции

выделим

целую

часть:

1

2

2

1

1)(t

2

t 1

t 1

t 1

t

1 t

1

(t

1) t

1

1

(t 1) t 2 1

t 1

t 1

t

1

t 1

t 1

1

t3 t 2 t 1

1

.

t

1

t 1

3

t 4

1

x

3

2

Тогда

dx

6

dt

6 t

t

t 1

dt

3

t

t 1

x

2

x

1

t 4

t3

t 2

6 x4

6 x3

6 x2

t ln

t 1

C

t 6 x

6 x

4

3

2

4

3

2

3 x2

ln

1

C

x

3 x

6

x

6

x ln

6 x 1

C .

4

3

2

2.6. Интегрирование выражений, содержащих

тригонометрические функции

При нахождении интегралов sin(ax)cos(bx)dx ,

cos(ax)cos(bx)dx,

sin(ax) sin(bx)dx подынтегральные функции из произведений преобразовываются в суммы с помощью формул:

15

	sin(ax) cos(bx)		1		sin(a b)x sin(a b)x ;
		2
	cos(ax) cos(bx)		1		cos(a b)x cos(a b)x ;
		2
	sin(ax) sin(bx)	1			cos(a b)x cos(a b)x .
		2

При интегрировании таких функций удобно пользоваться форму-

лами sin(ax)dx

1

cos(ax) C и cos(ax)dx

1

sin(ax) C .

a

a

Пример 1. Найти интегралы а)

sin(3x) cos(5x)dx ; б) cos3 (x)dx ;

в) cos 2 (x) sin

5

(x)dx .

Решение. а) Так как sin(3x) cos(5x)

1

( sin(2x) sin(8x)) , то

2

sin(3x) cos(5x)dx =

1

( sin(2x) sin(8x))dx =

cos(2x)

cos(8x)

C ;

2

4

16

б)

cos3 (x)dx = cos 2 (x) cos( x)dx = 1 sin2 (x) cos(x)dx =

t sin x,

dt cos xdx

= 1 t 2 dt = t

t 3

C sin x

sin3

x

C ;

3

3

в)

cos 2 (x) sin5 (x)dx = cos 2 (x) sin4 (x) sin(x)dx =

= cos 2 (x) sin2 (x) 2

sin(x)dx = cos 2 (x) 1 cos 2 (x) 2 sin(x)dx

t cos(x),

dt sin(x)dx, sin(x)dx dt

= t 2 1 t 2 2 ( dt) =

2

2

4

2

4

6

t 3

t5

t 7

t 1 2t

t dt

= t

2t

2

t dt =

C

3

5

7

cos3 (x)

2cos5 (x)

cos7 (x)

C .

3

5

7

2.7. Определенный интеграл и его основные свойства

Пусть функция

y f (x)

определена на отрезке [a, b] .

Выполним

следующие действия.

16

– Разобьем отрезок [a; b] точками x0 a, x1, x2 , … , xn b на n отрезков [x0 ; x1 ] , [x1; x2 ] , … , [xn 1; xn ] , которые называются частичными.

– В каждом частичном отрезке [xi 1; xi ] произвольно выберем точ-

ку ci [xi 1; xi ] , вычислим значение функции в этой точке							f (ci ) и про-
изведение f (ci ) xi , где xi xi xi 1 .
		n
– Если существует предел		lim			f (ci ) xi , который не зависит ни
		n
		i 1
от способа разбиения отрезка [a;b] ,					ни от выбора точек		ci [xi 1; xi ] ,
то он называется определенным интегралом от функции							y f (x) на
отрезке ci [xi 1; xi ] и обозначается
b					n
	f (x)dx lim					f (ci ) xi .
a		n		i 1

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования. Функция f (x) называется подынтегральной функцией, выра-

жение f (x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, [a;b] – отрезком интегрирования.

Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная функция y f (x) 0 . Фигура, ограниченная сверху графиком функции y f (x) , снизу осью

Ox, сбоку – прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.

Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Основными свойствами определенного интеграла являются:

– постоянный множитель можно выносить за знак определенного

b	b
интеграла, т. е. kf (x)dx k f (x)dx ;
a	a

– определенный интеграл от алгебраической суммы непрерывных на отрезке [a;b] функций f (x) и g(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций, т. е.

b	b	b
f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx ;
a	a	a

17

– если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определенный интеграл изменит знак на противоположный,

b a

т.е. f (x)dx f (x)dx ;

ab

–если пределы интегрирования равны между собой, то определен-

a

ный интеграл равен нулю, т.е. f (x)dx 0 ;

a

– определенный интеграл не зависит от обозначения переменной

b	b	b
интегрирования, т.е. f (x)dx f (t)dt f (u)du …;
a	a	a
– если отрезок интегрирования [a;b]		разбит на две части [a;c] и
	c		b
[c;b] и если существуют интегралы f (x)dx			и f (x)dx , то
	a		c
b	c	b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx .
a	a	c

Для вычисления определенных интегралов используется формула

b
Ньютона-Лейбница f (x)dx F (x)		ba	F (b) F (a) , где	F ' (x) f (x) ,
a

т. е. F(x) – любая первообразная функция для f (x) .

2.8. Методы вычисления определенных интегралов

При вычислении определенных интегралов используются методы

непосредственного интегрирования, замены переменной (подстановки) и интегрирования по частям.

Непосредственное интегрирование предполагает сведение данного интеграла с помощью алгебраических и арифметических преобразований к формулам таблицы основных интегралов и использование формулы Ньютона-Лейбница.

						2		1
Пример 1. Вычислить интегралы: а) xdx; б)							sin(x)dx; в)	ex dx;
						1	0	0
3		1		2	1
г)			dx; д)			dx .
		1 x2			x4
0				0,5
						18

											2						2				2				2			2
		Решение. а)									xdx =				x								2					1				2		1					3		;
											1				2						1		2					2						2			2
б)	sin(x)dx = cos( x)														0 cos( ) ( cos(0)) 1 1 2 ;
	0
	1
в) ex dx = ex										1	e1 e0				e 1;
										0
	0
	3				1
															3
г)							dx = arctg (x)												arctg										3 arctg (0)													;
					1 x2										0																										3
	0
	2				1		2					x			3			2							1				2					1								1					5
д)						dx = x					4dx																																			2		.
					4							3															3							2			3								3		8
	1				x		1											1						3x					1		3											1
																		2										2												3
	2						2																																			2

Метод замены переменной в определенном интеграле предполагает следующее. Пусть выполнены условия:

–функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] ;

–функция x (t) определена на отрезке [ ; ] и имеет на нем не-

прерывную производную;

– ( ) a , ( ) b .

b

Тогда определенный интеграл f (x)dx может быть вычислен с

a

помощью введения новой переменной и при этом справедлива форму-

b
ла f (x)dx	f ( (t)) ' (t)dt . Часто вместо замены						x (t) приме-
a
няют обратную замену t (x) .
	1		1			0
Пример 2. Вычислить интегралы: а)
					dx ; б)		1 4xdx ;
			x 1
	0					2
2
в) sin2 (x)cos( x)dx .
0
Решение. а) Выполним замену t x 1,			dt dx .
	19

							1														t x 1													2 1
								1													dt dx																										2
Тогда										dx												0 1 1												=				dt ln(t)											ln(2) ln(1) ln 2 .
								x 1													t														t												1
							0														1													1
																					t2	1 1 2
б) Выполним замену t 1 4x																																		и продифференцируем обе части ра-
венства: dt 4dx ,																		dx							dt			.
																								4
																																t 1 4x
																																dt 4dx
									0																													dt												1										dt
В результате																																																		=
																			1 4xdx													dx																							t
													2																									4												9										4
																																t1 1 4 ( 2)															9
																																t1 1 4 (0) 1
		1		1											3				1													1
	1								1 t 2															1												1												1
			t 2 dt																												3									3												3
																													t											1										9
	4	9							4 3															6								9				6												6
														2					9
		1		(1 27)							13						4					1	.
		6							3													3
в) В данном случае выполним замену t sin(x) , тогда dt cos(x)dx.
																														t sin(x)
																														dt cos( x)dx
							2																																							1								t3				1			1
Получим								sin2 (x) cos( x)dx																						t		sin(0) 0													=		t		2dt														.
																															1																						3						3
							0																																							0												0
																														t1		sin								1
																																		2
Пусть функции u u(x)																												и v v(x)												имеют непрерывные производ-

ные на отрезке [a, b] . Тогда для определенного интеграла справедлива

b			b
формула интегрирования по частям udv uv		ba	vdu .
a			a
2				2	ln(x)
Пример 3. Вычислить интегралы: а) x cos( x)dx ; б)						dx .
					x5
				1
20

Решение. а) Положим u=x, тогда du=dx. Оставшуюся часть подын-

тегрального выражения примем за dv:																																																dv cos(x)dx . Проинтегрируем
это выражение:															dv cos(x)dx ,																												v sin(x) . Тогда по формуле инте-
грирования по частям получим
		2														u x;du dx																																		2					2
		x cos( x)dx														dv cos( x)dx																					= x sin(x)																	sin(x)dx 2 sin(2 )
																v sin(x)
sin( ) ( cos(x))																						2 cos(x)														2 cos(2 ) cos( ) 1–(–1)=2.
																																																												1
		б)		Положим u=ln(x),																							dv									1				dx .					Тогда du																		dx ,				dv				1	dx ,
																																				5																																			5
																																			x																									x											x
v x 5 dx ,										v					x 4											1				. По формуле интегрирования по частям
															4											4
																									4x
запишем
													u ln(x); du																		1						dx
																																x
2														dv								1	dx																																		2			2
				ln(x)																	x5																										1																				1		1
							dx																																			=										ln(x)																		dx
				x5																		1																								4x4											1									4x4			x
1														dv										x5		dx																																		1
														v								1
																						4x4
1														1													1			2	1														ln(2)								1						x 4			2
					ln(2)												ln(1)																						dx
		4 24										4 14															4					x5															64								4				4				1
														2																1						1								1
	ln(2)				1				1													ln(2)								1																								ln(2)						15
																																																																		.
										4																															4			4
64					16		x							1								64								16									2					1									64							256

2.9. Вычисление площадей плоских фигур

Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс,

b

равна определенному интегралу от функции f (x) : S f (x)dx . Если

a

21

криволинейная трапеция расположена ниже оси абсцисс, то площадь

					b
такой трапеции вычисляется по формуле:					S f (x)dx .
					a
у				у
		y = f(x)		а	b
					х
				0
					y = f(x)
0	а		b	х
Пусть		фигура ограничена снизу графиком функции y f1 (x),

сверху – графиком функции y f2 (x) , слева – прямой x=a и справа – прямой x=b.

y

y = f2(x)

			y = f1(x)
	0		x
		а	b

Тогда площадь фигуры, ограниченной этими линиями, вычисляется по

b

формуле: S f 2 (x) f1 (x) dx .

a

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y x 2 x 6 , y x 2 0 .

Решение. Графиком функции y x 2 x 6 является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем точки пересечения параболы с осью Ох: x 2 x 6 0 , D 1 4 1 ( 6) 25 , x1 3 , x2 2 .

22