Механика.Ч2 _лаб_

21

r = b3 ,

где b – расстояние между точками подвеса, определяется непосредственным измерением.

Масса ненагруженного диска m = 1,235 кг; m1 – масса цилиндрического тела; r1 – радиус цилиндрического тела; n – число полных колебаний (задается преподавателем).

Таблица 3.1 – Параметры лабораторной установки и исследуемых тел

l , м	R, м	r, м	m, кг	m1, кг	r1, м	n

2 Определить момент инерции ненагруженного диска, для чего сообщить телу вращательный импульс поворотом рычажка, связанного с верхним диском. Угол отклонения должен быть не более 150. Секундомером измерить время t0 заданного числа n полных колебаний. Вычислить время одного колебания T0 = t0 n . Измерения времени провести не менее

3-х раз. Найти среднее значение Т0 и вычислить по формуле (3.7) момент инерции I0 ненагруженного диска. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу 3.2.

Таблица 3.2 – Результаты измерений и вычислений

Номер

t0 ,

t1,

T ,

I1,

I,

t2 ,

I2 ,

I3 ,

d,

I3′,

Т0 ,

I0,

2

T

2

,

измере-

с

с

кг·м

с

1

кг·м2

кг·м2

с

кг·м2

кг·м2

м

кг·м2

ния

с

с

1

2

3

3 На центр диска поместить исследуемое тело массой m1 (чтобы равномерное натяжение нитей не нарушалось). Измерить три раза время t1 n колебаний нагруженного диска. Вычислить средний период колебаний Т1

и момент инерции I1 системы (диск + цилиндрическое тело) по формуле

(3.7). Массу системы определить как сумму масс ненагруженного диска и исследуемого тела. Момент инерции I тела относительно оси, проходящей через его центр масс, будет равен:

I = I1 − I0 .

22

4 При помощи трифилярного подвеса можно проверить теорему Штейнера (см. формулу (3.2)). Для этого два одинаковых груза следует поместить симметрично по краям диска. Измерить расстояние d между центрами одного из грузов и диска (рисунок 3.3). Определить время t2 и период колебаний Т2 системы, состоя-

щей из диска и двух грузов. Вновь по формуле (3.7) рассчитать момент инерции I2 системы, масса которой определя-

ется как сумма всех масс (m + 2m1). Момент инерции такой системы равен:

I2 = I0 +2I3 ,

m1

d

Рисунок 3.3 – Проверка теоремы Штейнера

(3.8)

где I3 – момент инерции одного из грузов, находящегося на расстоянии d от оси вращения. Тогда из (3.8)

	I3 =	I2 −I0	.
		2

Рассчитать I3 – момент инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс. Используя теорему Штейнера, найти теоретическое значение I3′:

I3′= m12r12 + m1d 2 .

Сравнить значения I3 и I3′.

Определение момента инерции стержня

1 Стержень поместить на нижний диск так, чтобы ось вращения проходила через середину стержня. Измерить время t4 3 раза и определить средний период колебаний T4 системы, состоящей из диска и стержня.

Вычислить момент инерции I системы по форму; масса системы равна сумме масс ненагруженного диска m и стержня m2.

2 Момент инерции стержня I4 определить как разность моментов инерции системы и ненагруженного диска:

I4 = I − I0 .

23

3 Вычислить момент инерции стержня относительно оси вращения, проходящей через его центр масс, по формуле

I4′ =121 m2L2,

где L – длина стержня.

Сравнить полученные значения I4

и I4′ . Результаты измерений и вы-

числений занести в таблицу 3.3.

Таблица 3.3 – Определение момента инерции стержня

Номер

t

, с

, с

I, кг·м2

I

, кг·м2

m , кг

L, м

I′

, кг·м2

T

4

измерения

4

4

2

4

1

2

3

Контрольные вопросы

1 Записать основной закон динамики вращательного движения.

2 Дать определения момента инерции материальной точки и материального тела.

3Пояснить физический смысл момента инерции.

4Записатьформулумоментаинерциишара, цилиндра, дискаистержня.

5Сформулировать теорему Штейнера.

6Вывести формулу (3.7).

7Как проверяется теорема Штейнера в данной работе?

4 Лабораторная работа № 9. Изучение неупругого взаимодействия тел

Цель работы: изучить характерные особенности неупругого удара. Измерить время удара, вычислить максимальную деформацию и определить работу сил сопротивления при ударе.

Общие сведения

При соударении тел силы взаимодействия довольно резко изменяются с расстоянием между центрами масс и весь процесс взаимодействия протекает в очень малом пространстве за очень короткий промежуток времени. Такое взаимодействие называют ударом.

Различают два вида ударов. Если взаимодействуют абсолютно упру-

24

гие тела, то удар называют абсолютно упругим. При абсолютно упругом ударе механическая энергия не переходит в другие виды энергии. Если же тела (или хотя бы одно из них) являются абсолютно неупругими, удар называют абсолютно неупругим. При абсолютно неупругом ударе часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию. Соударяющиеся тела нагреваются. Абсолютная упругость и абсолютная неупругость, а значит, и классификация ударов по этому признаку является идеализацией. На самом деле всякий удар тел является, строго говоря, неупругим. Однако в одних случаях его с известным приближением можно считать абсолютно упругим, а в другом - абсолютно неупругим.

Процесс соударения абсолютно неупругих тел протекает следующим образом. Как только тела приходят в соприкосновение, начинается их деформация, в результате которой возникают силы сопротивления (вязкое трение), которые пропорциональны скорости изменения деформации (т. е. относительной скорости движения тел v):

F = −kv = −k dxdt ,

где k – коэффициент пропорциональности; x – численное значение деформации.

По мере уменьшения относительной скорости силы сопротивления убывают и обращаются в нуль. Тогда по второму закону Ньютона

− kv = ma .

(4.1)

Задача о движении сталкивающихся тел может быть решена с помощью законов динамики. С учетом того, что а = dvdt , уравнение (4.1) можно записать в виде

	m	dv	+ kv = 0 ,	(4.2)
		dt

где m – масса тела.

Произведём разделение переменных и интегрирование правой и левой частей:

∫	dv	= −	k	∫dt .	(4.3)
	v
			m
В результате интегрирования получим
ln v − lnC1 = −kt m ,
где C1 – постоянная интегрирования.
Откуда
v =C1 exp(− kt m).					(4.4)

25

Постоянную интегрирования С1 определим из начальных условий. При t = 0 (x = 0) v0 = C1 – скорость в начальный момент удара. С учетом полученного значения C1 уравнение (4.4) примет вид:

v = v0 exp(− k t m).

(4.5)

Так как v = dxdt , то величина деформации dx за время dt равна:

dx = v0 exp(− k t m)dt .

(4.6)

Определим деформацию как функцию от времени в процессе взаимодействия тел. Для этого проинтегрируем выражение (4.6):

x = ∫v0 exp(− k tm)dt .

Интегрированиеприводиткследующемувыражениюдлядеформации:

x = −v0 (m k ) exp(− k t m)+C2 .			(4.7)
Определим постоянную интегрирования C2. При			t = 0 (x = 0)
C2 = v0 (m k ).
С учётом полученного имеем
x = v0	m	(1 − e−kt m ).	(4.8)
	k

Поскольку выражение (4.8) представляет собой экспоненциальную зависимость, а реальное взаимодействие протекает за конечное время, то за время удара, в первом приближении, примем то время ∆t, в течение которого сила взаимодействия уменьшается в 100 раз, т. е. F/F0 = 10-2. Разумность этого допущения легко проверить, вычислив работу сил сопротивления следующим образом:

FF0 = (kv0e−k tm )/ kv0 = e−k tm =10−2 ,

откуда

k = 4,6	m	.	(4.9)
	t

Работа сил сопротивления вычисляется по формуле

x

A = ∫Fdx ,

0

где F = k dxdt = kv0e−k tm ;

26

dx = v0e−k tm dt .

Тогда

	t			2
A = kv2	∫	e−2k t m dt = (1	− e−2k	t m )	mv0	.	(4.10)
0				2
	0

Подстановка (4.9) в (4.10) дает численное значение работы сил сопротивления, отличающееся от начального значения кинетической энергии тела всего на одну сотую процента:

A = 0,9999	mv2
	20 .

При ударе движущегося тела небольшой массы о неподвижное массивное тело первое не прилипает к нему, а отскакивает с небольшой скоростью. Это позволяет определить время взаимодействия контактным способом, считая в первом приближении удар абсолютно неупругим.

Описание лабораторной установки

На лабораторной установке неупругий удар реализуется следующим образом. На длинную нерастяжимую нить длиной l, прикрепленную к стене, подвешен свинцовый шар (рисунок 4.1). Если отвести шар с нитью на некоторый угол α (на расстояние b0 от стены) и отпустить, то при столкновении шара с массивным металлическим диском, укрепленным на стене, произойдёт неупругий удар.

Убыль потенциальной энергии отклонен-

αного на некоторый угол α шара равна его кинетической энергии перед ударом. На основании закона сохранения энергии имеем

d	l					mv2
					mgh =		0	,
	b						2
		откуда v0	=	2gh .
G h
v0		Из	рисунка				4.1	видно,	что
Рисунок 4.1 – Схема		h = l −d = l(1−			1−sin2 α) .
		Тогда
лабораторной установки
			v		= 2gl(1−		1−sin2 α) ,		(4.11)
			0

где sinα = b/l.

Таким образом, зная скорость v0 , можно определить кинетическую энергию шара до удара:

	27
		mv2
	E0 =	0	.	(4.12)
		2

Измеряя расстояние b1, на которое отcкакивает шар после удара, по формуле (4.11) определяем скорость v шара после удара (в этом случае sinα1 = b1 / l) и находим его кинетическую энергию после удара по формуле

E = mv2 2 .

Ту часть кинетической энергии, за счёт которой силами сопротивления производитсяработаивыделяетсятепло, можнорассчитатьпоформуле

A = E =	m		(v02		−v2 ).		(4.13)
2
Сравнивая выражения (4.13) и (4.10), находим коэффициент сопро-
тивления по формуле					v0
k =		m		ln		.	(4.14)
			t		v
Принимая время взаимодействия t за время удара							t, после подста-

новки (4.14) в (4.8) получим выражение для расчета максимальной деформации

	x		=	v0	t		(1−v v		).	(4.15)
		max		ln(v0	v)			0

Программа работы

1 Включить электронный секундомер в сеть. Нажать клавишу «Сеть», при этом должна светиться световая индикация. Прогреть прибор 1–2 мин. Нажать клавишу 2 «Режим работы» и клавишу «Вибрация». Если шар соприкасается с металлическим диском, секундомер отсчитывает время. Если шар не соприкасается с диском, счёта времени не происходит (тумблер «Пуск» в верхнем положении).

2 Отклонить шар на максимальное расстояние b0, измеряемое линейкой. Нажать клавишу «Сброс». На табло индикации секундомера должны высвечиваться все нули. Предоставив возможность шару двигаться, измерить продолжительность удара t по секундомеру. После удара шар отскакивает на некоторое расстояние b1, которое надо измерить. Для правильного измерения продолжительности удара необходимо рукой задержать отскочивший после удара шар, чтобы он не соприкасался повторно с диском.

3 Не изменяя начальное расстояние b0, выполнить пункт 2 10 раз. После каждого измерения необходимо нажимать клавишу «Сброс». Найти

28

средние значения t и b1.

4По формуле (4.11) вычислить скорость шара до удара v0 (l = 2,4 м).

5По формуле (4.11) вычислить скорость шара после удара v. В этом

случае sinα1 = b1/l (l = 2,4 м).

6 По формуле (4.15) вычислить максимальную деформацию.

7 ВычислитькинетическуюэнергиюшарадоудараЕ0 поформуле(4.12). 8 Вычислить работу силы сопротивления по формуле (4.13). Сравнить кинетическую энергию шара до удара Е0 с работой силы сопротивле-

ния А в процентном соотношении.

Контрольные вопросы

1 Что называется ударом ?

2 Какой удар является абсолютно упругим ?

3 Какой удар является абсолютно неупругим ?

4 Как экспериментально определяется скорость в начальный момент удара?

5 Объяснить полученное различие между E0 и A.

6 Записать законы сохранения импульса и энергии для упругого и неупругого ударов.

5 Лабораторная работа № 10. Изучение консервативной механической системы

Цель работы: экспериментально проверить закон Гука применительно к случаю изгиба упругого тела, определить модуль Юнга этого тела, проверить справедливость закона сохранения механической энергии.

Общие сведения

Механическая система называется консервативной, если в ней все внутренние силы потенциальны, а все внешние силы потенциальны и стационарны. В свою очередь, потенциальными силами называются такие силы, работа которых зависит только от начальных и конечных положений точек их приложения и не зависит от вида траекторий этих точек и законов движения по ним. Примерами такого вида сил могут служить силы

электростатического происхождения, гравитационного взаимодействия, упругие силы.

Стационарным полем называется поле, действующее на материальную точку с силой F , не изменяющейся с течением времени t, т. е.

dF / dt = 0 . Для стационарного поля необходимо, чтобы создающие его тела покоились относительно инерциальной системы отсчета, используемой

29

при рассмотрении поля.

Деформация называется пластической, если в результате действия внешней силы происходит необратимое изменение формы и размеров тела. Если же после прекращения действия внешней силы тело полностью восстанавливает свою первоначальную форму и размеры, то такая деформация называется упругой.

Существуют различные виды деформации: растяжения (сжатия), сдвига, кручения, изгиба. Настоящая лабораторная работа посвящена изучению деформации изгиба упругого элемента (бруса).

Изгиб – это вид деформации, в результате которой происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев (рисунок 5.1).

Для малых деформаций справедлив закон Гука

σ = Еε ,

(5.1)

где σ – механическое напряжение, равное отношению силы P к площади S, на которую действует сила;

Е – модуль Юнга;

ε – относительная деформация бруса, ε = l / l.

Если положить l = l, то можно определить физический смысл модуля Юнга.

Модуль Юнга – это физическая величина, численно равная величине нагрузки P, которую нужно приложить к образцу с единичной площадью поперечного сечения, чтобы удвоить его длину, если бы при такой деформации закон Гука оставался ещё верен.

Деформация изгиба характеризуется «стрелой прогиба» h, т. е. смещением конца бруса из положения равновесия при данной нагрузке (рисунок 5.1). Так как при изгибе верхние слои бруса растягиваются, а нижние сжимаются, то где-то посередине имеются слои, которые совсем (или почти совсем) не подвергаются деформации. Очевидно, их можно удалить, не оказывая большого влияния на деформацию и прочность бруса при изгибе. При этом получится экономия материала. Поэтому в технике сплошные стержни, работающие на изгиб, часто заменяют полыми трубами. Любопытно, что в процессе приспособления природа создала кости животных и стебли растений в виде трубок, а не в виде сплошных стержней.

Если выполняется условие h l, то относительная деформация при

чистом изгибе определяется как	h
ε =		,	(5.2)
	ρ

где ρ – радиус кривизны изогнутой оси бруса.

В данной работе в качестве упругого тела используется брус равного сопротивления изгибу. Равное сопротивление изгибу обеспечивается рав-

30

номерным увеличением площади поперечного сечения бруса за счёт возрастания его ширины при приближении к месту закрепления груза.

l

x	b
y	a
	h
P

ρ

Рисунок 5.1 – Изгиб прямого бруса под действием сосредоточенной силы Р

Конструкцией установки, на которой выполняются все эксперименты, предусматривается измерение прогиба бруса y на некотором расстоянии x от точки приложения нагрузок (см. рисунок 5.1). Если поперечное сечение бруса в месте закрепления S = ab и сила, действующая вдоль стороны а, равна P, то прогиб конца бруса h определяется следующим выражением:

	h =	12 y l	.	(5.3)
		5 (l − x)

Для этого случая прогиб у определяется формулой

	y =	6Pl	(l − x)2 .	(5.4)
		ba3E

Поскольку ε ~ h ~ y, а σ = PS , то проверку закона Гука в соответст-

вии с (5.1) можно заменить проверкой зависимости у от Р. Для этого по экспериментальным данным строится график зависимости прогиба у от приложенной нагрузки Р при различных расстояниях х. Линейный характер полученной зависимости говорит о выполнении закона Гука.

Умножив левую и правую части формулы (5.4) на Е/y, получим выражение для определения модуля упругости материала бруса

E =	6Pl	(l − x)2 .	(5.5)
	3
	yba