Элетростатика и постоянный ток

21

Лабораторная работа № 4. Определение емкости конденсатора с помощью электростатического вольтметра

Цель работы: экспериментально определить электрические емкости конденсаторов и проверить законы их параллельного и последовательного соединения.

1 Общие сведения

Конденсатором называется система двух близкорасположенных проводников. При этом проводники имеют такие формы, что при сообщении им равных по значению, но противоположных по знаку зарядов поле, создаваемое этой системой, сосредоточено в области пространства, ограниченной проводниками. Эти проводники называются обкладками (или пластинами) конденсатора.

Электрической емкостью называется физическая величина, равная отношению заряда Q, накопленного в конденсаторе, и разности потенциалов (ϕ1 – ϕ2) между его обкладками:

С =	Q		=	Q .	(1)
	ϕ −ϕ
		2		U
	1

Из формулы (1) следует физический смысл величины: электрическая емкость численно равна заряду, который нужно сообщить конденсатору, чтобы его разность потенциалов увеличить на 1 В.

Значение емкости определяется формой и размерами обкладок конденсатора и величиной зазора между ними, а также диэлектрической проницаемостью среды между обкладками.

Одним из способов определения емкости конденсатора является измерение разности потенциалов на его обкладках электростатическим вольтметром и сравнение ее с эталонной. В основе этого способа лежит закон сохранения электрического заряда: алгебраическая сумма зарядов электрически изолированной системы не изменяется со временем.

Получим формулу для определения емкости конденсатора. Эталонный конденсатор C0 зарядим до разности потенциалов U0 (ри-

сунок 1) и, отключив его от источника напряжения, быстро подключим к нему параллельно конденсатор неизвестной емкости Сх. Тогда первоначальный заряд Q0 эталонного конденсатора распределится между обоими конденсаторами и разность потенциалов между обкладками конденсаторов станет равной U1. Пренебрегая потерями в момент соединения конденсаторов, закон сохранения заряда можно записать в виде

22
Q0 = Q1 +Q2 ,	(2)

где Q1 – заряд, оставшийся на эталонном конденсаторе С0 после подключения к нему конденсатора Cх;

Q2 – заряд, перешедший на конденсатор Сх.

С0 Сх

U0

Рисунок 1 – Пояснение сущности метода измерения ёмкости

Выразив заряды в формуле (2) через емкости и разности потенциалов с помощью формулы (1),

Q0 = C0 U0 ; Q1 =C0 U1; Q2 =CX U1,

и подставив их в формулу (2), получим

C0 U0 =C0 U1 +CX U1.

(3)

Из (3) выразим емкость неизвестного конденсатора и получим расчетную формулу

Сх =	C0 (U0 −U1) .	(4)
	U1

2 Описание лабораторной установки

Разность потенциалов между обкладками конденсаторов измеряется с помощью электростатического вольтметра. Так как емкость вольтметра по сравнению с емкостями, используемыми в работе, ничтожно мала, то погрешностью, вносимой вольтметром, можно пренебречь. Измерительный механизм электростатического вольтметра состоит из подвижного и неподвижного электродов, изолированных друг от друга. Поэтому при измерениях постоянного напряжения ток через вольтметр не протекает. На рисунке 2 показана электрическая схема установки.

На рисунке 3 показан внешний вид лабораторной установки.

23

ИП	R	1	Сx	С0
					U
		K

Рисунок 2 – Схема лабораторной установки

7

2 1

5

3

6

4

1 – тумблер источника питания; 2 – потенциометр R; 3 – эталонный конденсатор; 4 – ключ К; 5 – электростатический вольтметр; 6 – набор исследуемых конденсаторов; 7 – корректор

Рисунок 3 – Внешний вид лабораторной установки

3 Программа работы

3.1Ознакомиться с приборами и собрать схему согласно рисунку 2. Номера исследуемых конденсаторов выбираются по указанию преподавателя. До проверки собранной цепи преподавателем или лаборантом источник питания не включать.

3.2Включить освещение шкалы вольтметра. Проверить, находится ли «световой зайчик» на нуле. Если нет, то установить его корректором на нулевую отметку шкалы.

3.3Определение емкости конденсаторов

3.3.1 Рукоятку потенциометра поставить в левое крайнее положение. Замкнуть ключ К на источник (на рисунке 2 положение «от себя»).

24

3.3.2Включить выпрямитель в сеть и с помощью потенциометра R увеличить напряжение на эталонном конденсаторе до 100 В. Снять показания вольтметра U0.

3.3.3Перевести ключ К в противоположное положение, тем самым

отключив конденсатор С0 от источника питания и подключив его к конденсатору с неизвестной емкостью Cx. Снять показания вольтметра U1.

3.3.4Измерения проделать не менее трех раз, подавая различные напряжения на эталонный конденсатор. При этом после каждого измерения конденсатор неизвестной емкости обязательно разряжать. Показания вольтметра занести в таблицу 1, которую продолжить для двух других конденсаторов.

3.3.5По формуле (4) подсчитать емкость Cx. Найти среднее значение <Cx>.

Таблица 1 – Результаты измерения емкости отдельных конденсаторов

Номер конденсатора	Номер измерения	U0, В	U1, В	Cx, мкФ	<Cx>, мкФ

3.4 Определение емкости батареи параллельно соединенных конденсаторов

3.4.1 Соединить два любых из заданных конденсаторов параллельно (рисунок 3, а).

а)

C1

б)

C1

C2

A

В

A

B

C2

Рисунок 3 – Схемы параллельного и последовательного соединения конденсаторов

Определить емкость батареи так, как указано в пунктах 3.3.2–3.3.5. Сравнить полученный результат с емкостью батареи, вычисленной по формуле

С/бат =С1Х +С2Х.

3.4.2Результаты измерений и вычислений занести в таблицу 2.

25

Таблица2 – Результатыизмеренийемкостипараллельносоединенныхконденсаторов

Номер	Номер	U0, В	U1, В	Сбат, мкФ	<Cбат>, мкФ	С/бат, мкФ
конденсатора	измерения

3.5 Определение емкости батареи последовательно соединенных конденсаторов

3.5.1 Соединить два любых из заданных конденсаторов последовательно (рисунок 3, б). Определить емкость батареи так, как указано в пунктах 3.3.2–3.3.5. Сравнить полученный результат с емкостью батареи, вычисленной по формуле

1 = 1 + 1 .

С′БАТ С1Х С2Х

3.5.2 Соединить три конденсатора последовательно и определить емкость батареи. Сравнить полученный результат с емкостью батареи, вычисленной по формуле

1	= ∑n	1	.
′
СБАТ	i=1 Сix

Результаты измерений и вычислений занести в таблицу, аналогичную таблице 2.

Контрольные вопросы

1 Что такое электрическая емкость конденсатора? От чего она зависит и в каких единицах измеряется?

2 В чем заключается сущность метода измерения, использованного в данной лабораторной работе?

3 Какой закон положен в основу вывода рабочей формулы? Вывести рабочую формулу.

4 Какой формулой определяется емкость батареи параллельно соединенных конденсаторов?

5 Какой формулой определяется емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов?

26

Лабораторная работа № 5. Изучение резонанса токов

Цель работы: изучить явление резонанса токов, построить резонансные кривые при различных значениях активного сопротивления.

1 Общие сведения

Явление резонанса имеет очень большое значение в современной науке и технике. Он может возникать при соответствующих условиях в любых колебательных системах: механических, пневматических, гидравлических, электрических и т. д. Явление резонанса наблюдается не только в макроскопических, но и в микроскопических системах.

Электрический резонанс нашёл широкое применение в электротехнике, радиотехнике, в технике связи. Это обусловлено тем, что контур, состоящий из катушки индуктивности, конденсатора и активного сопротивления (рисунок 1), обладает свойством выделять из множества сигналов тот, частота которого равна резонансной частоте контура. Различают резонанс токов и напряжений.

Рисунок 1 – Схема параллельного колебательного контура

В параллельном колебательном контуре, показанном на рисунке 1, возникает резонанс токов.

При подключении на вход схемы (рисунок 1) генератора синусоидального напряжения

U = U0 sin ωt

(1)

в контуре возникнут вынужденные колебания силы токов и напряжений с частотой ω генератора.

Силы токов I1 и I2 в параллельных ветвях могут быть определены

27

следующим образом:

I1 = I01 sin(ωt +ϕ1), I2 = I02 sin(ωt +ϕ2 ).

(2)

Максимальные значения токов в ветвях можно найти с помощью закона Ома для цепей переменного тока:

I01 =	U0	,	I02 =	U0		,	(3)
	Z			Z	2
	1

где Z1 и Z2 – полные сопротивления ветвей переменному току,

Z1 =	R12 +	1	, Z2	= R22 +ω2L2 .	(4)
		ω2C2

Подставив (4) в (3), получим для силы тока в параллельных ветвях

I01 =	U0				, I02	=	U0	.	(5)
	R12 +		1				R22 +ω2L2
		ω2C2

Сдвиг фаз между силами токов в ветвях и напряжением на входе можно определить следующим образом:

tgϕ = −	1	, tgϕ		=	ω L ,	ϕ= 2π+ϕ −ϕ	.	(6)
	ω C R1
1			2		R2	1 2

Общий ток I на неразветвленном участке цепи определяется выражением

I = I0 sin(ωt +ϕ),

(7)

где

I0 = I012 +I022 +2I01 I02 cos(ϕ1 −ϕ2 ).

(8)

В случае идеального колебательного контура (активные сопротивления параллельных ветвей равны нулю) для токов I01 и I02 справедливы следующие соотношения:

					28
	I01	=		U0	, I02 =	U0	(9)
			(1/	ω C)		ω L

и

tgϕ1 = −∞, tgϕ2 =∞.

(10)

Из формулы (10) следует, что

ϕ 1 =	3π	,	ϕ2	=	π	,	(11)
	2				2

то есть токи в ветвях идеального контура противоположны по фазе. Подставив (11) в (8), с учетом (9) получим

I0 =		I01 −I02		= U0	ω C −	1			.	(12)
						ω	L

Из формулы (12) следует, что если ω C = ω1L , то общий ток I0 бу-

дет равен нулю ( I01 = I 02 , I0 = 0 ). Это возможно в том случае, когда

	ω=	1	,	(13)
		L C

то есть при равенстве частоты генератора частоте собственных колебаний контура.

Резонансом токов называется явление резкого уменьшения амплитуды вынужденных колебаний силы тока во внешней цепи параллельного колебательного контура при приближении частоты ω генератора к частоте собственных колебаний контура:

ω→ω = 1 .
к	L C

Значение частоты генератора, при котором возникает резонанс, называется резонансной частотой ωр.

Векторная диаграмма токов в ветвях рассматриваемого контура для случая резонанса имеет следующий вид (рисунок 2).

29

Рисунок 2 – Векторная диаграмма токов при резонансе

Если параллельный контур питается от источника напряжения с большим внутренним сопротивлением, то напряжение на катушке индуктивности и на конденсаторе в момент резонанса будет резко возрастать.

Резонанса можно достичь изменением частоты генератора или параметров контура (индуктивности катушки либо ёмкости конденсатора).

При изменении частоты подводимого к контуру напряжения напряжение на его реактивных элементах (L и С) изменяется следующим образом (рисунок 3).

Рисунок 3 – Резонансные кривые

Обычно активное сопротивление в цепи конденсатора R ≈ 0, чего нельзя сказать о катушке индуктивности, имеющей сопротивление R > 0. Это связано с тем, что проводник, из которого намотана катушка, всегда имеет некоторое активное сопротивление, зависящее от размеров и материала проводника.

2 Описание лабораторной установки

Лабораторная установка представляет собой параллельный колебательный контур. Схема лабораторной установки представлена на рисунке 4.

30

ЗГ – звуковой генератор; R – реостат на 500 Ом; L – переменная индуктивность (магазин индуктивностей типа Р - 546); С – конденсатор ёмкостью 0,5 мкФ; В – вольтметр

Рисунок 4 – Принципиальная схема установки

3 Программа работы

3.1 Изучение резонанса токов в контуре с переменной индуктивностью

3.1.1Собрать схему согласно рисунку 4.

3.1.2Установить частоту ν генератора равной 1000 Гц.

3.1.3Установить сопротивление реостата равным нулю.

3.1.4Изменяя индуктивность от 10 до 100 мГн с шагом 10 мГн, записать показания вольтметра. При этом предел измерения вольтметра выбрать таким, чтобы стрелка находилась во второй половине шкалы. При приближении к резонансу шаг изменения индуктивности уменьшить до

1–2 мГн (декада × 1 мГн).

3.1.5Повторить пункт 3.1.4 при двух других значениях сопротивления реостата R = 100–500 Ом по указанию преподавателя.

3.1.6По результатам измерений составить таблицу и построить кри-

вые U = f1(L), откладывая по оси абсцисс величину индуктивности, а по оси ординат – напряжение на контуре.

3.2Изучение резонанса токов при изменении частоты генератора

3.2.1Установить одно из значений индуктивности L = 40–60 мГн по указанию преподавателя.

3.2.2Установить сопротивление реостата равным нулю.

3.2.3Изменяя частоту ν генератора в пределах от 400 до 2000 Гц с шагом 200 Гц, измерить напряжение на контуре. При приближении к резонансу шаг изменения частоты уменьшить до 25 Гц.

3.2.4Повторить пункт 3.2.3 при двух других значениях сопротивления реостата R = 100–500 Ом по указанию преподавателя.

3.2.5По результатам измерений составить таблицу и построить кри-

вые U = f2(ν), где ν – частота генератора.