Zhilin_Fundamental_Laws_Book

192	Глава 5. Тела и их динамические структуры

тензора поворота P0(r). Движение частицы определяется заданием вектора положения R(r, t), причем R(r, 0) = r, и тензора поворота P(r, t) такого, что P(r, 0) = P0(r). Примем теперь, что векторы положений центров масс частиц, составляющих рассматриваемое тело, образуют абсолютно твердое тело, которое будем называть несущим телом. Тогда для векторов положений односпиновых частиц, т.е. для несущего тела, справедлива основная теорема кинематики абсолютно твердого тела

R(r, t) = RO(t) + Q(t) · (r − rO),

(5.4.5)

где в качестве полюса выбрана точка, зафиксированная относительно несущего тела, причем RO(0) = rO, а тензор Q(t) определяет поворот несущего тела.

По выражению (5.4.5) находим трансляционную и угловую скорости несущего тела

v(r, t) = vO(t) + ωQ(t) × (R(r, t) − RO(t)) ,

˙	˙	(5.4.6)
vO(t) = RO(t),	Q(t) = ωQ(t) × Q(t),

где вектор ωQ есть угловая скорость несущего тела.

Угловая скорость частиц определяется по тензору поворота P(r, t)

	˙			(5.4.7)
	P(r, t) = ω(r, t) × P(r, t).
Тензор поворота P(r, t) можно представить в виде композиции поворотов
P(r, t) = Q(t) · S(r, t)			ω(r, t) = ωQ(t) + Q(t) · ωS(r, t),	(5.4.8)
где вектор ω	S есть угловая	скорость частицы относительно несущего тела.

Таким образом, мы видим, что движение квазитвердого тела характеризуется двумя угловыми скоростями: угловой скоростью несущего тела ωQ(t), которая характеризует трансляционное движение квазитвердого тела, и полем угловых скоростей ω(r, t) (или полем относительных угловых скоростей ωS(r, t)), характеризующим спинорные движения частиц квазитвердого тела.

Запишем выражение для кинетической энергии квазитвердого тела. Кинетическая энергия любого тела является аддитивной функцией массы этого тела и в соответствии с известной в теории меры теоремой Радона–Никодима может быть представлена интегралом по массе. Иными словами, необходимо

использовать представление (5.2.8)						2 ω · C · ω d m. (5.4.9)
K(A) =	K dm =			2 v · v + v · B · ω +
				1		1
(m)		(m)

Если в качестве односпиновых частиц рассматривать микроскопические абсолютно твердые тела, то для массовых плотностей тензоров инерции мы

	5.4. Квазитвердое тело и его структуры	193
à)	á)
		A(r)
		ρr
	A

R(r)

A(r)

R(r)

0

Рис. 5.1. Принцип телеобъектива: а — взгляд издалека, б — в кадре одна частица

имели бы формулы, отличающиеся от (5.3.5) и (5.3.6) тем, что в них интегрирование производилось бы по распределению массы внутри частицы и они были бы разделены на массу частицы. Поскольку для этих частиц в качестве полюса выбран центр масс, то тензор B в (5.3.5) равнялся бы нулю. Именно этот случай мы и будем рассматривать ниже. Тогда кинетическая энергия квазитвердого тела определяется формулой

K(A) =		K dm =		2 v(r, t) · v(r, t) +		2 ω(r, t) · Θr · ω(r, t) d m(r),
				1		1

(m) (m)

(5.4.10) где тензоры Θr(r, t) задают массовую плотность тензоров инерции односпиновых частиц.

Для них справедливы представления

Θr(r, t) = P(r, t) · Θ0r (r) · PT (r, t),

где тензоры Θ0r (r) определены в отсчетном положении, т.е. в начальный момент времени.

Задержим свое внимание на выражении для кинетической энергии (5.4.10) и на понятии квазитвердого тела. При построении разного рода теорий в рациональной механике широко используется, хотя и в неявной форме, некий принцип, который трудно поддается формализации. Для краткости назовем его

Принцип телеобъектива. Всякое тело A в рациональной механике должно рассматриваться с двух точек зрения. При написании фундаментальных законов и общих структур тела используется взгляд на тело издалека, т.е. в кадр телеобъектива входит очень много частиц тела. При этом тело из-за использования малых масштабов воспринимается как нечто единое целое, например видится сплошным. При определении параметров, входящих в общие

194	Глава 5. Тела и их динамические структуры

структуры тела и определяемых микроструктурой тела, нужно рассматривать тело в резко увеличенном виде, когда в кадр телеобъектива входит только одна частица со всеми ее особенностями.

На первый взгляд кажется, что “Принцип телеобъектива” совмещает несовместимое и противоречив в логическом отношении. Но следует иметь в виду, что все плодотворные теории в механике, которые многократно проверены на практике, построены с использованием этого принципа. Следует также иметь в виду, что увеличение формальной строгости той или иной теории ведет к увеличению ее бесполезности. Абсолютно строгие теории, которые, естественно, не встречаются, абсолютно бесполезны. Искусство ученого-механика и, особенно, инженера-исследователя состоит в установлении правильного баланса между строгостью и полезностью: необходимо максимизировать строгость теории при сохранении ее полезности.

Проиллюстрируем “Принцип телеобъектива” на рассматриваемом случае квазитвердого тела. На рис. 5.1 представлены обе точки зрения. Рис. 5.1,а представляет взгляд на квазитвердое тело издалека. На рис. 5.1,б изображена одна из односпиновых частиц квазитвердого тела, которая сама является абсолютно

твердым телом. Ее тензор инерции находится по формуле (5.3.6)

mr Θr = − P(r, t) · Sr2d m · PT (r, t) =

(5.4.11)

(mr)

= P(r, t) · [ρr(x, 0) · ρr(x, 0)E − ρr(x, 0) ρr(x, 0)] d mr(x) · PT (r, t),

(mr)

где mr — масса частицы, которая в отсчетном положении занимала место r. Обратим внимание, что интегрирование в (5.4.11) ведется по массе части-

цы, а x есть внутренняя переменная интегрирования, о которой ничего не знает интеграл (5.4.10). Если все частицы, составляющие квазитвердое тело одинаковы, то mr = m0, ρr = ρ0 и массовая плотность тензоров инерции Θr частиц зависит от координаты r только через тензор поворота P(r, t).

Итак, пусть кинетическая энергия квазитвердого тела дается выражением (5.4.10). Количество движения и кинетический момент этого тела вычисляются по формулам (5.2.9) и (5.2.10). Количество движения определяется выражением

K1(A) =	∂ v d m =		v(r, t)d m =
	∂ K
(m)		(m)
			= [vO − (R(r, t) − RO(t)) × E] dm · ωQ.
			(m)

5.4. Квазитвердое тело и его структуры

195

Вычисляя последний интеграл, получаем

K1(A) = mvO(t) + B · ωQ(t), B = m (RO(t) − RC(t)) × E.

Видим, что количество движения квазитвердого тела в точности совпадает с количеством движения абсолютно твердого тела. Вычислим кинетический

момент квазитвердого тела

∂ω dm =

(RO − RQ) × ∂v

dm+

K2Q(A) =

(R − RQ) × ∂v +

∂K

∂K

∂K

(m)

+ (R − RO) × ∂v +

(m)

∂ω dm =

∂K

∂K

(m)

= (RO − RQ) × K1 +

[(R − RO) × v(r, t) + Θr · ω(r, t)] dm.

(m)

Последний интеграл в этом выражении представляет собой динамический спин квазитвердого тела, который в общем случае упростить невозможно. Примем, что все частицы тела одинаковы и одинаково вращаются

P(r, t) = P(t), Θr = P(t) · Θ0 · PT (t), ω(r, t) = ω(t).

При этих условиях кинетический момент квазитвердого тела легко вычисляется и имеет вид

KQ2 (A) = (RO − RQ) × K1(A) + vO · B + Θ · ωQ(t) + mP(t) · Θ0 · PT (t) · ω(t).

(5.4.12) Первые три слагаемые в правой части (5.4.12) дают кинетический момент квазитвердого тела, рассматриваемого как абсолютно твердое тело. Последнее слагаемое дает суммарный динамический микроспин частиц, составляющих квазитвердое тело. Чтобы сравнить вклады каждого из слагаемых, примем, что и само тело и частицы имеют шарообразную форму. В качестве полюса RO выбираем центр инерции тела. Тогда тензоры инерции легко вычисляются

и определяются формулами

2		2			2		2
B = 0, Θ =		ma	E,	Θ0	=		b E,
5					5

где a и b радиусы тела и частицы соответственно, причем a >> b.

Следует обратить внимание, что тензоры Θ и Θ0 имеют разные физические размерности, поскольку тензор Θ0 есть массовая плотность спинорной

инерции. Теперь кинетический момент (5.4.12) принимает вид
K2Q(A) = (RO − RQ) × K1(A) +	2	ma2ωQ(t) +	2	mb2ω(t).	(5.4.13)
	5		5

196 Глава 5. Тела и их динамические структуры

Если модули угловых скоростей ωQ(t) и ω(t) имеют одинаковый порядок, то динамическим микроспином можно пренебречь и квазитвердое тело по своим динамическим структурам не отличается от абсолютно твердого тела. Если же |ω(t)| >> |ωQ(t)|, то динамическим микроспином пренебрегать нельзя. Легко видеть, что квазитвердое тело переходит в абсолютно твердое тело при b → 0, когда односпиновая частица переходит в материальную точку. Таким образом, “парадокс”, указанный в начале этого параграфа, нашел свое разрешение.

5.5. Тензоры инерции твердого тела и их свойства

Согласно выражениям (5.3.5) и (5.3.6) тензоры инерции абсолютно твердого тела зависят от трех факторов: 1) движения тела; 2) выбора полюса в теле; 3) распределения массы в теле. Только последний фактор является неотъемлемым атрибутом тела, а первые два фактора связаны с внешними обстоятельствами. Важно в явном виде выделить влияние каждого из этих факторов. Сначала установим вид зависимости тензоров инерции от движения. Для этого достаточно воспользоваться формулами (5.3.5), (5.3.6) и основным уравнением кинематики (5.3.1). Учитывая, что тензор поворота не зависит от точек тела, получаем

B(t) = P(t) · B0 · PT (t), B0 = m (rX − rC) × E,

(5.5.1)

где тензор B0 вычислен в отсчетном положении, которое не зависит от движения и выбирается произвольно; тензор поворота P(t) показывает поворот тела относительно отсчетного положения, все эти понятия подробно обсуждались

впредыдущей главе; векторы rX и rC задают положения полюса и центра масс

вотсчетном положении.

Аналогичные формулы справедливы и для эйлерова тензора инерции

Θ(t) = P(t) · Θ0 · PT (t), Θ0 = − (r − rX) × E × (r − rX) d m(r). (5.5.2)

(m)

Тензоры инерции B0 и Θ0 не зависят от движения и являются характеристиками рассматриваемого тела, но они по-прежнему зависят от выбора полюса в теле. Атрибутом тела является его центр масс. Если последний выбрать в качестве полюса, то тензор B0 обращается в нулевой тензор, а эйлеров тензор инерции Θ0 в этом случае называется центральным тензором инерции, который может служить паспортной характеристикой тела. Посмотрим как меняется эйлеров тензор инерции при замене полюса. Наряду с полюсом X

5.5. Тензоры инерции твердого тела и их свойства

197

рассмотрим другой полюс Y. Тогда имеем

Θ0 = − (r − rX − rY + rY ) × E × (r − rX − rY + rY ) d m =

(m)

= −m (rY − rX) × E × (rY − rX) − (r − rY ) × E × (r − rY ) d m. (5.5.3)

(m)

Последнее слагаемое в правой части есть эйлеров тензор инерции, вычисленный относительно нового полюса Y. Чтобы выяснить смысл первого слагаемого в правой части равенства (5.5.3), рассмотрим частный случай твердого тела. Пусть абсолютно твердое тело состоит из безмассового стержня, длина l которого равна |rY − rX|, и прикрепленной к одному концу стержня сосредоточенной массы m. Свободный конец стержня закреплен с помощью сферического шарнира в точке rX. В отсчетном положении конец стержня с массой m расположен в точке rY . Эйлеров тензор инерции рассмотренного тела в отсчетном положении вычисляется по формуле (5.5.2), в которой интегрирование по массе должно пониматься в смысле интеграла Стилтьеса [48]

Θ0 = −m l2e × E × e = ml2(E − e e), e = (rY − rX)l−1.			(5.5.4)
Таким образом, эйлеровы тензоры инерции Θ(X)	и Θ(Y)	, вычисленные от-
0	0

носительно полюсов X и Y, т.е относительно точек rX и rY , соответственно, связаны между собой простой зависимостью

Θ0(X) = ml2(E − e e) + Θ0(Y),

(5.5.5)

где единичный вектор e направлен от точки rX к точке rY , а l есть расстояние между этими точками, т.е. l = |rX − rY |.

Представление (5.5.5) в некоторых книгах по механике [39] называют теоремой Гюйгенса–Штейнера.

Вернемся к выражению для кинетической энергии абсолютно твердого тела

(5.3.4) и перепишем его в следующем виде

2ω ·

Θ − mBT · B

· ω.

K = 2

v + mB · ω

·

v + mB · ω

+

m

1

1

1

1

Нетрудно видеть смысл величин, входящих в это уравнение

1

v + mB · ω = v + (RX − RC) × ω = vC,

где vC есть скорость центра масс.

198	Глава 5. Тела и их динамические структуры

Для тензора инерции, входящего во второе слагаемое в кинетической энергии, имеем

Θ(X) − m1 BT · B ≡ Θ(X) + m (RX − RC) × E × (RX − RC) = Θ(C), (5.5.6)

где тензор Θ(C) есть центральный тензор инерции.

Подставляя выражение (5.5.6) и предыдущее равенство в формулу для кинетической энергии, получаем

	m		1	ω · Θ(C) · ω =	m		1	Ω · Θ0(C) · Ω, (5.5.7)
K =		vC · vC +				vC · vC +
	2		2		2		2

где использован левый вектор угловой скорости Ω, введенный в предыдущей главе, а тензор Θ(0C) есть центральный тензор инерции, вычисленный в отсчетном положении.

В представлении (5.5.7) легко узнается частный случай теоремы Кенига. На первый взгляд кажется, что выражение (5.5.7) проще, чем выражение (5.3.4), но это не всегда так. Например, при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в качестве полюса удобно выбирать именно неподвижную точку. Тогда скорость полюса v = 0 и выражение (5.3.4) принимает совсем простой вид

K =	1	ω · Θ(X) · ω =	1	Ω · Θ0(X) · Ω,	ω = P(t) · Ω,	(5.5.8)
	2		2

где тензор инерции вычислен относительно неподвижной точки X.

Введем в рассмотрение важное понятие момента инерции относительно оси, натянутой на единичный вектор n и проходящей через ту точку тела, относительно которой вычислен тензор инерции

Jn(X) ≡ n · Θ(X) · n = n0 · Θ0(X) · n0, n = P(t) · n0.

(5.5.9)

Смысл момента инерции сразу же усматривается из выражения для кинетической энергии, например, (5.5.8). Действительно, представим вектор угловой скорости в виде

ω = ωn, Ω = ωn0,

где единичный вектор n определяет мгновенную ось вращения. Тогда кинетическая энергия (5.5.8) принимает вид

K = 12 J(nX)ω2.

Из этого выражения видим, что момент инерции определяет инерционность тела по отношению к спинорному движению точно так же, как масса определяет инерционность тела по отношению к трансляционному движению. Однако

5.5. Тензоры инерции твердого тела и их свойства

199

здесь имеется существенная разница: масса тела не зависит от движения, а момент инерции зависит от движения, т.е. зависит от времени. Может показаться, что это утверждение противоречит формуле (5.5.9), поскольку вектор n0 и тензор Θ0 не зависят от времени. Здесь следует обратить внимание на следующее обстоятельство. В выражение (5.5.9) входит мгновенная ось вращения n(t), проходящая через полюс тела. В момент времени t она совпадает с тем материальным волокном тела, которое в отсчетной конфигурации определяется вектором n0(t). В другой момент времени мгновенная ось вращения выделяет другое материальное волокно в теле. Поэтому равенство (5.5.9) относится только к одному моменту времени и по нему нельзя судить о зависимости момента инерции от времени.

Момент инерции зависит от точки, относительно которой вычисляется тензор инерции. Изменение момента инерции при изменении полюса сразу же следует из определения момента инерции (5.5.9) и формулы (5.5.5). Точнее говоря, ниже используется не формула (5.5.5), справедливая для тензоров в отсчетном положении, а формула, получающаяся из (5.5.5) после скалярного умножения этого равенства слева на тензор поворота P и справа на транспонированный тензор поворота. Иными словами, после записи представления (5.5.5) в актуальном состоянии и скалярного умножения получившегося уравнения на вектор n слева и справа, получим

J(X) = J(Y) + m D2		, D2	= l2 sin2 α,	(5.5.10)
n	n

где D есть расстояние между осями, натянутыми на единичный вектор n и проходящими через полюса X и Y, α есть угол между векторами n и RX − RY , l есть расстояние |RX − RY |.

Величина D зависит от времени и потому не очень удобна в приложениях. Ниже мы рассмотрим все эти понятия в отсчетном положении и укажем их

связь. Выражение (5.5.10) фигурирует в учебниках по механике под названием

теоремы Гюйгенса–Штейнера.

Как уже отмечалось, работать с величинами, зависящими от движения, не очень удобно. Вместе с тем, в соответствии с формулами (5.5.2), вместо тензора инерции в актуальном положении можно изучать эйлеров тензор в отсчетном положении. Именно так мы и будем поступать ниже. Эйлеров тензор инерции в отсчетном положении и вычисленный относительно произвольно выбранного полюса X определен второй из формул (5.5.2). Как видно из определения этот тензор симметричен и неотрицательно определен. Перепишем

выражение для эйлерова тензора инерции в эквивалентном виде				(5.5.11)
Θ0 =			|r − rX|2E − (r − rX) (r − rX) d m.

(m)

200 Глава 5. Тела и их динамические структуры

Покажем, что этот тензор действительно неотрицательно определен

a · Θ0 · a =		|r − rX|2 a2(1 − cos2 α)d m ≥ 0, a : a = 0,
	(m)

где α есть угол между векторами a и r − rX.

Как известно, любой симметричный тензор второго ранга допускает спектральное разложение

Θ0 = Θ1d1 d1 + Θ2d2 d2 + Θ3d3 d3, di · dk = δik.

(5.5.12)

Оси, натянутые на собственные векторы dk, называются главными осями инерции. Главные оси инерции пересекаются в точке rX. Собственные числа Θk называются главными моментами инерции. Они вычисляются относительно главных осей инерции. Главные моменты инерции тела будем нумеровать так, чтобы выполнялись неравенства

0 ≤ Θ1 ≤ Θ2 ≤ Θ3.

(5.5.13)

Если все главные моменты инерции тела различны, то собственные диады di di определяются однозначно. Если два главных момента инерции совпадают, то однозначно находится только та собственная диада, которая соответствует некратному собственному числу. Пусть, например, Θ1 = Θ2 ≤ Θ3. Тогда вместо (5.5.13) будем иметь

Θ0 = Θ1 (E − d3 d3) + Θ3d3 d3.

(5.5.14)

Такой тензор называется трансверсально изотропным с осью изотропии, натянутой на вектор d3. Объяснение смысла подобного названия будет дано позднее. Если все три главных момента инерции совпадают, то тензор инерции приобретает совсем простой вид

Θ0 = Θ1 E.

(5.5.15)

Тензор вида (5.5.15) называется изотропным или шаровым.

Помимо неотрицательности тензор инерции обладает еще одним замечательным свойством. Главные моменты инерции вычисляются по тензору инерции следующим образом

Θi = di · Θ0	· di		Θi =	|r − rX|2 (1 − cos2 αi)d m,	(5.5.16)
			(m)

где αi есть угол между векторами di и r − rX.

5.5. Тензоры инерции твердого тела и их свойства

201

Составим комбинацию
Θi + Θj − Θk = 2		|r − rX|2 cos2 αk d m ≥ 0, i = j = k = i.
	(m)
Таким образом, получили неравенства
Θ1 + Θ2 ≥ Θ3,		Θ2 + Θ3 ≥ Θ1, Θ1 + Θ3 ≥ Θ2.	(5.5.17)

Из неравенств (5.5.17) следует, что тензор инерции может иметь не более одного нулевого момента инерции. Более того, в случае одного нулевого главного момента инерции два других момента инерции обязаны совпадать между собой. Примером тензора инерции такого рода является тензор (5.5.4).

Главные моменты инерции являются объективными характеристиками тела и не зависят от движения тела. Через главные моменты инерции легко вычислить момент инерции относительно произвольной оси, натянутой на единичный вектор n и проходящей через полюс, т.е. через точку тела, относительно которой вычисляется тензор инерции. Имеем очевидную формулу

Θ(n) = n · Θ0 · n = Θ1 cos2 α1 + Θ2 cos2 α2 + Θ3 cos2 α3,

n = cos α1d1 + cos α2d2 + cos α3d3.

(5.5.18)

Из равенств (5.5.18) и (5.5.13) следуют минимаксные свойства главных моментов инерции

Θ1 ≤ Θ(n) ≤ Θ3.

Следует обратить внимание, что зависимость тензора инерции от выбора полюса, относительно которого он вычисляется, является весьма серьезным фактором. Например, центральный тензор инерции шара из однородного материала является шаровым. Но тензор инерции того же шара, вычисленный относительно точки, отличной от центра инерции, будет уже трансверсально

изотропным.

Теорема: для любого тела существует такой полюс, относительно кото-

рого тензор инерции является трансверсально изотропным. Доказательство. Выберем некоторый полюс и вычислим соответствую-

щий ему тензор инерции Θ. Представим его в виде спектрального разложения (5.5.12). Выберем теперь другой полюс и вычислим соответствующий ему тензор инерции Θ . Между тензорами Θ и Θ существует связь, установленная формулой (5.5.5)

Θ = ml2(E − e e) + Θ1d1 d1 + Θ2d2 d2 + Θ3d3 d3,

(5.5.19)

где e направлен от старого полюса к новому, l — расстояние между полюсами.