Пределы_Дифференциальное исчисление

С5 С4 Мо

С3 М1

С2

С1 Рис 5.1. К условному экстремуму

стороны убывает. Таким образом точка соприкосновения линии связи и линии уровня дает подозрение на наличие экстремума. Подозрение, но не уверенность, т.к. точкой соприкосновения будет и М1 . Однако при переходе через М1 значения функции строго возрастают. И потому в М1 нет экстремума.

Вывод. В точке условного экстремума линия связи касается некоторой линии уровня, проходящей через эту точку. Отсюда получим соотношения для поиска точек возможного экстремума.

Условием соприкосновения является наличие общей касательной. Т.е. равенство их угловых коэффициентов. Для линии связи ф(х;у)=а угловой

коэффициент равен Кф= −

ф'

(Мо)

,

а

для

линии

уровня Kf= −

f ' (Мо)

.

x

x

фy'

(Мо)

f y'

(Мо)

Приравняем эти отношения и получим

ф' (Мо)

=

f ' (Мо)

=-l. Откуда получаем

x

x

'

(Мо)

'

фy

f y (Мо)

необходимые условия существования условного экстремума

f’x(Mo)+l ф’x(Mo)=0,

Константа l носит название

множи-

f’у(Mo)+l ф’у(Mo)=0,

теля Лагранжа. Если ввести

обозна-

ф(Мо)=0.

чение U(x;y;l)=f(x;y)+lф(х;у), то

необходимые условия принимают вид

U’x(Mo)=0,

U’y(Mo)=0, ф(Мо)=0.

Достаточные условия. Пусть z=f(x;y) и ф(x;y) имеют в Мо частные производные до 2-го порядка включительно. Если

=	0	ф'x	ф' y	<0 ,то Мо – точка минимума, если >0, то Мо – точка
	ф'x	U ''xx	U ''xy
	ф' y U ''xy U '' yy

максимума. Естественно, в качестве точки Мо берут точку из необходимых условий.

Установим смысл параметра l в необходимых условиях. Пусть константа а (правая часть уравнения линии связи) меняется непрерывно. Тогда вместе с ней меняются и координаты точки Мо(хо;уо) экстремума и

само значение zэкстр . Найдем

дzэкстр

=

дz

дx

о

+

дz

дy

о

. По аналогии от линии

да

дx

да

дy

да

связи

дф

дxо

+

дф

дyо

=1.

дx да

дy да

Используем тот факт, что

дz

=-l

дф

и

дz

=-l

дф

и получим l=

дzэкстр

- т.е.

дx

дx

дy

дy

да

параметр l указывает скорость изменения экстремума в направлении изменения а. Но этом основан метод наискорейшего спуска для поиска экстремума приближенным методом.

Т.к. решить систему необходимых .условий затруднительно, то начинают поиск приближения с произвольной точки Мо. В этой точке z убывает быстрее всего в направлении –grаdZ. Тогда двигаются в указанном направлении и находят минимум f(xo-f’xt;yo-f’yt) при некотором t. Затем все повторяют из точки нового минимума.

Если же нужно отыскать экстремум в ограниченной замкнутой области D с границей Г – глобальный экстремум, то из двух вышеперечисленных задач для работы отбирают : системы необходимых условий существования локального и условного экстремумов. Затем для полученных точек, подозрительных на наличие экстремума, вычисляют значения функции и из полученных величин выбирают нуэное экстремальное значение.