Малые_колебания.pdf_(310_Кб)

11

Представляя ее также в виде B = be{ , где b – модуль, а – фаза комплексного числа B, запишем полученное решение (29) как

(t) = be({!t+ ):

Вещественная и мнимая части этого выражения дают соответственно

x= b cos(!t + ) и x = !b sin(!t + ):

При t > T вынуждающая сила не действует и система совершает свободные гармонические колебания с законом движения (8). При этом смещение x(t) = a cos(!t + ), а скорость x(t) = a! sin(!t + ). Сравнивая эти стандартные выражения с предыдущими, видим, что

a2 =	b2	=	jBj2	=	j j2	:	(30)
!2		!2		!2

Постоянная 0 в данном случае вследствие начальных условий обращается в нуль: 0 =

(0) = x(0) + {x(0), поэтому B = R0T m1 F ( )e {! d : При постоянной силе F = F0 интеграл вычисляется элементарно и дает

B = m!{F0 (e {!T 1):

Отсюда

jaj = m!2F02 j sin !T2 j:

При тех же, что и в предыдущей задаче значениях T амплитуда конечных колебаний обращается в нуль.

3Колебания систем со многими степенями свободы

3.1Теория

см. §23 учебника и главу 5 моего электронного конспекта.

3.2Задачи

Задача 1 (КС 6.8 а)

Найти свободные колебания системы (рис. 5), если в начальный момент одна из частиц имеет скорость v, скорость другой и отклонения обеих частиц от положения равновесия равны нулю.

Решение. Пусть имеющая s степеней свободы замкнутая механическая система характеризу-

ется ”хорошими” обобщенными координатами qi, ее потенциальная энергия U(qi) – известная

1 P

функция координат, а кинетическая энергия равна T (qi; qi) = 2 k;l akl(qm)qk ql, где функции akl(qm) также известны. Общая схема решения задачи о колебаниях такой системы состоит из следующих пунктов:

						12
1. Определяем положение устойчивого равновесия системы.
(a) Для этого решаем уравнения			@U	= 0: Если решение qi0		существует, то
			@qi
							@2U
(b) вычисляем в найденных точках вторые производные kik								j ql0 .
							@qi@qk
(c) Если квадратичная форма			i;k kik xi xk, где xi = qi		qi0 , положительно опреде-
лена (узнать это помогут	критерии Сильвестра), то qi					– положение устойчивого
		P			0

равновесия системы и колебания вблизи него возможны. 1

2.Заменяем функции координат aik(ql) постоянными mik = aik(ql0 ). Все дальнейшее рассмотрение основывается на матрицах kik и mik, симметричных и задающих положительно определенные квадратичные формы.

3.Из дифференциальных уравнений движения (23,5) (см. ЛЛ) при подстановке частного решения xk = Ake{!t получается система линейных однородных алгебраических уравнений Pk( !2mik + kik)Ak = 0 для определения неизвестных Ak и !. Составляем характеристическое уравнение этой системы j!2mik +kikj = 0 и находим его решения

!2 , где = 1; :::; s:

4.Если все !2 различны, то общее решение задачи дается соотношением

X	(31)
xk = c k cos(! t + );

где c и – произвольные постоянные, а k – алгебраические дополнения к соответствующим элементам матриц ( !2 m k + k k).

5.Вычисление этих алгебраических дополнений и составляет содержание следующего действия. При этом нужно иметь в виду, что при изменения номера изменяется не только номер элемента матрицы, к которому вычисляется это дополнение, но и сама матрица.

6.При наличии кратных корней характеристического уравнения нужно вернуться к алгебраической системе Pk( !2 mik + kik)Ak = 0 и искать ее решения Ak известными из линейной алгебры методами.

Применим данный алгоритм к решению нашей задачи. Поскольку прямо в условии сказано, что в начальный момент времени обе частицы находились в положении равновесия, то проверять его существование нет необходимости. Пусть x1 – отклонение от положения равновесия первой частицы, а x2 – отклонение второй. Потенциальная энергия системы, т.е. потенциальная энергия трех деформированных пружин, в соответствии с законом Гука рав-

на U =	1	(kx12 + k1(x1	x2)2 + kx22) =	1		((k + k1)x12 2k1x1x2	+ (k + k1)x22). Приравнивая к нулю
	2			2

1Мы не рассматриваем здесь возможного вырождения, когда в положении устойчивого равновесия имеется минимум потенциальной энергии более высокого порядка и гармонического приближения не существует.

13

частные производные @U , получаем заранее очевидный результат – потенциальная энергия

@xi

имеет экстремум при x1 = x2 = 0. Вычисляя в положении равновесия вторые производные

@2U	j0, определяем элементы матрицы
@xi@xk

	kik =	k + k1	k1	:					(32)
		k1	k + k1
	Кинетическая энергия системы T =				mx2		mx2		. Сравнивая с общим видом кинетической
					1	+		2
					2		2

энергии, приведенным ранее, видим, что матрица aik постоянна и, следовательно, совпадает с матрицей

mik =

m

0

:

(33)

0

m

Составим характеристическое уравнение

k1

!2m + (k + k1)

1

!2m + (k + k1)

k1

= (

!2m + (k + k1))2

k2 = 0:

(34)

2

k

2

k + 2k1

Из него находим квадраты собственных частот !1

=

и !2 =

. Поскольку собствен-

m

m

ные частоты различны, переходим к расчету алгебраических дополнений матриц

k1

! m + (k + k1)

!2 mik + kik =

!2 m + (k + k1)

2

k1

:

(35)

Для !1 отсюда получается матрица

k1	k1 ;	(36)
k1	k1

из которой можно получить алгебраические дополнения 11 и 21 (второй индекс у алгебраического дополнения должен совпадать с номером собственной частоты, для которой получена указанная матрица). Очевидно, что 11 = 21 = k1.

Для !2 из (35) получается матрица

k1	k1	:	(37)
k1	k1

Из нее находим алгебраические дополнения 12 = k1 и 22 = k1 (второй индекс у алгебраического дополнения снова совпадает с номером выбранной собственной частоты).

Подставляя найденные величины в общее решение уравнений движения (31), получаем

закон движения системы:

	x1(t) =	a1 cos(!1t + 1) + a2 cos(!2t + 2);	(38)
	x2(t) =	a1 cos(!1t + 1) a2 cos(!2t + 2);

где a1 = c1k1; a2 = c2k1 – новые постоянные. Таким образом, движение каждой из частиц представляет собой суперпозицию двух гармонических колебаний с известными частотами

14

!1;2 и произвольными амплитудами a1;2 и начальными фазами 1;2. Последние мы определим из начальных условий позже, а пока рассмотрим вопрос о нормальных колебаниях системы.

Движение вдоль каждой из нормальных координат должно представлять собой одно простое гармоническое колебание с одной определенной частотой, а не суперпозицию двух колебаний. В общем случае для нахождения нормальных координат (колебаний) нужно решать задачу о приведении пары квадратичных форм к диагональному виду, используя соответствующие методы. Однако в нашей задаче легко проверить, что переменные

	1	(x1 + x2)=2 и	(39)
	2 (x1 x2)=2
	меняются по простым гармоническим законам
	1	= a1 cos(!1t + 1);	(40)
	2	= a2 cos(!2t + 2)

с соответствующими частотами. Следовательно, они являются нормальными координатами, а соотношения (40) определяют преобразование от исходных переменных к нормальным координатам.

Нормальные координаты 1 и 2 имеют простой физический смысл: 1 описывает отклонение центра инерции системы от его первоначального положения, а 2 – половину относительного смещения частиц. Независимость нормальных колебаний означает в данном случае независимость движения системы как целого и относительного движения составляющих ее частиц.

Найдем амплитуды и фазы колебаний из начальных условий. Это проще сделать, переписав их для нормальных координат

	1(0) =	a1 cos 1	= 0;	(41)
	2(0) =	a2 cos 2 = 0

и соответствующих скоростей

_1(0) =	a1!1 sin 1	= v=2;	(42)
_2(0) =	a2!2 sin 2	= v=2:

Отсюда находим 1 = 2 = =2, a1 = v=2!1 и a2 = v=2!2. Окончательно закон движения системы в первоначальных переменных имеет вид:

x1;2 =	v	(	1		sin !1t	1		sin !2t):
	2		!1			!2

Задача 2 (КС 6.4)

Найти свободные колебания системы, функция Лагранжа которой

L =	x2	+ y2		!12x2 + !22y2	:
		2		2

Как выглядит траектория точки с декартовыми координатами (x; y) ?

15

Решение. Очевидно, что в данном случае обе матрицы mik и kik диагональны, причем первая из них единичная, а на диагонали второй матрицы находятся величины !12 и !22. Диагональность обеих матриц означает, что первоначальные переменные x; y являются нормальными координатами, вдоль каждой из которых, в соответствии с определением нормальных координат, совершает простое гармоническое колебание с соответствующей частотой. Следовательно, решение задачи имеет вид

x(t) = a cos(!1t + '); y(t) = b cos(!2t + );

где постоянные a; b; ' и находятся из начальных условий.

Более интересным является вопрос о траектории точки при таком движении. Процитируем без изменений пояснения из задачника КС. ”Траектория расположена внутри прямоугольника (рис. 6)

a x x; b y b:

Вообще говоря, траектория ”заполняет” весь прямоугольник. Точнее, если !1 и !2 несоизмеримы, она проходит как угодно близко к любой точке этого прямоугольника. Движение точки в этом случае не является периодическим (хотя движение ее проекций на оси координат периодическое). Если же !1 и !2 соизмеримы (l!1 = n!2, где l и n целые числа), то траектория представляет собой замкнутую кривую, называемую фигурой Лиссажу. Движение в этом случае периодическое, период равен 2 n=!1.”