РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ

Практика №7.nb 11

u 3u 0; 2b

Общее решение канонического вида:

Clear v ;

3

DSolve , v , v , 0, v , , , Flatten 2 b

v

,

3

1

K

1

K

1

C

2

2 b C

1

Общее решение исходного уравнения :

ClearAll u, f, g, x, y

;

u x_, y_

f

x, y

3

x,y

g x, y

Apart

b x

2 b

1

3 a x

3 y

f

a

3 y

2 b 2

2 g

c d

x

y

3

Определение функций f, g:

Clear Equ ;

a

0; c

0; b

3; d

1;

Equ FullSimplify u x, 0 x , y u x, y . y 0 x

f x x 2 g x x , 3 f x 1 x 2 3 g x 2 g x x

2

Решаем первое уравнение, чтобы выразить функцию f:

Clear solf, prf ;

solf Solve Equ 1 , f x . x z Flatten Simplify

f z z 2 g z z

prf D solf, z Simplify

f z 1 z 2 g z z 2 g z z

2

Подставляем найденную функцию f'(x) во второе уравнение и находим функцию g(x):

Clear Equ1, solg ;

z 2 z 2 g z

3

z

. prf

Simplify

Equ1

Equ

2

. x

z

3

g z

C 1

DSolve

K

z

K 1

K 1

solg

Flatten

Equ1, g

, z

z

1

K 1

1

2

2

f(z):

1

Записываем явное определение функций g(z) и

Clear f, g ;

f z_ FullSimplify f z . solf

z 2 g z z

g z_ FullSimplify g z . solg

z 1 K 1

C 1 2 K 1 3 K 1 K 1

1 2

12 Практика №7.nb

Получаем решение задачи Коши:

Clear Uout ;

Uout

x_, y_

K 1

3

K

FullSimplify u

x, y

x 3 y

x y 1

K 1

x 3 y 1

K 1

x 3 y1

2

1

2

2 2

2

1

K 1

2

K 1

3

K 1

K 1

Проверка:

A11 x,x Uout x, y 2 A12 x,y Uout x, y

A22 y,y Uout x, y A1 x Uout x, y A2 y Uout x, y FullSimplify

0

Uout x, 0

x

y Uout x, y . y 0 Expand

x

Используя формулу Ньютона-Лейбница, решение можно преобразовать к виду:

1	x	3 y	x 3 y
	2	2	2 3 x 3 y

2x y

0.0.5Задача №5.

y x,y u x, y

y,y u x, y

y u x, y

0,

(0.11)

u

x, y

y 0

x2

,

y u

x, y

y 0

Sin x

.

(0.12)

2 Решение задачи №5:

Определим тип уравнения по знаку дискриминанта:

Clear A11, A12, A22, ;

1

Print " ", A12 A12

A11 A22 . A11 0,

A22 1,

A12

y Simplify

2

2 y

4

> 0 для любых x, y R, следовательно, данное уравнение является уравнением гиперболического типа во всем пространстве

R2.

Приведение к каноническому виду:

Off General::"spell" ;

Off General::"spell1" ;

Clear A11, A12, A22, A1, A2, A0, r , r , , , a, b, c, d, , ;

1

A11 0; A12 y; A22 1; A1 0; A2 1; A0 0; 2

Вычисление общих интегралов:

r FullSimplify CompleteIntegral A22 D x, y , y A12 Sqrt D x, y , x 0,

2 y

x, y , x, y , IntegralConstants F , 0 4

1

x, y

y

2 y

2 x F 1 F 2

2

Практика №7.nb 13

Находим первую функцию замены переменных:

x_, y_ r 1 1 2 . F 1 a . F 2 b

1

b a y 2 y 2 x 2

Аналогично находится вторая функция замены переменных с поизвольными постоянными c, d:

r FullSimplify CompleteIntegral A22 D x, y , y A12 Sqrt D x, y , x 0,

2 y

x, y , x, y , IntegralConstants G , 0 4

1

x, y y 2 y 2 x G 1 G 2

2

x_, y_ r 1 1 2 . G 1 c . G 2 d

1

d c y 2 y 2 x 2

Проверяем невырожденность преобразования:

Factor Det D x, y , x , D x, y , y , D x, y , x , D x, y , y 0

a c

2 y

0

Преобразование переменных невырожденно, если ac 0.

Clear LinearPDE, u, v, res, Equ ;

LinearPDE A11 D u x, y , x, x 2 A12 D u x, y , x, y

A22 D u x, y , y, y A1 D u x, y , x A2 D u x, y , y A0 u x, y u 0,1 x, y u 0,2 x, y y u 1,1 x, y

u x_, y_ v x, y , x, y ;

res FullSimplify Coefficient LinearPDE,

Derivative 2, 0 v x, y , x, y , Derivative 1, 1 v x, y , x, y , Derivative 0, 2 v x, y , x, y , Derivative 1, 0 v x, y , x, y , Derivative 0, 1 v x, y , x, y , v x, y , x, y

0, a c 2 y, 0, 0, 0, 0

Записываем левую часть преобразованного уравнения:

Equ Plus		res
				u , u , u , u , u , u
a c 2 y u

Разделим обе части на a c 2 y:

Expand Equ a c 2 y

u

Получаем канонический вид:

u 0;

Общее решение канонического вида:

Clear v ;

DSolve , v , 0, v , , , Flatten

v , C 1 C 2

Общее решение исходного уравнения -- сумма двух произвольных функций:

ClearAll u, f, g, x, y ;

14 Практика №7.nb

f b

a

x, y

2 x

g d

c

2 x

u x_, y_

f

g

x, y

1

y

2 y

1

y

2 y

2

2

Определение функций f, g:

Clear Equ ;

a

1; c

1; b

0; d

0;

Equ FullSimplify u x, 0

x2

, y u x, y . y

0 Sin x

2

x2 2 f 1 x 2 g x 0, Sin x f 1 x 0

Интегрируем второе уравнение, чтобы выразить функцию f:

Clear solf, equf ;

equf Equ 2 1 x 0

Cos x f 1 x 0

solf Solve equf, f 1 x . x z 1 Flatten

f z Cos 1 z

Подставляем найденную функцию f(x) в первое уравнение и находим функцию g(x):

Clear Equ1, solg ;

Equ1 Equ 1 . solf . z 1 x

x2 2 Cos x 2 g x 0

solg Solve Equ1 1 , g x . x z Flatten

1

g z z2 2 Cos z

2

Записываем явное определение функций g(z) и f(z):

Clear f, g ;

f z_ FullSimplify f z . solf

Cos 1 z

g z_ FullSimplify g z . solg

z2

Cos z 2

Получаем решение задачи Коши:

Clear Uout ;

Uout x_, y_ FullSimplify u x, y

1

2 y

2

Cos

1

2 y

2 y

2 x

Cos

1

2 y

2 x

y

2 x

y

8

2

2

Проверка:

A11 x,x Uout x, y 2 A12 x,y Uout x, y

A22 y,y Uout x, y A1 x Uout x, y A2 y Uout x, y FullSimplify

0

Практика №7.nb 15

Uout x, 0

x2

2

y Uout x, y . y 0 Expand

Sin x

u	x, y			1	y			2 y	2 x	2		1	y			2 y	2 x				1		y		2 y		2 x
											Cos	2								Cos	2								.
				8								2

0.0.6 Задача №6.

u

x,

y

2Sin x

u x, y

3 Cos2

x

u

x, y

Cos

x

u

x, y

0,

(0.13)

uxx,x, y

y Cos x

Sin xx,y,

y u

x, y

y Cos x

yx,y.

y

(0.14)

Решение

задачи

№6:

2

Определим тип уравнения по знаку дискриминанта:

Clear

A11, A12, A22,

;

Print " ",

2

A12 A12

A11 A22

.

A11

1, A22

3

Cos

x

, A12

Sin

x

Simplify

4

> 0 для любых x, y R, следовательно, данное уравнение является уравнением гиперболического типа во всем пространстве

R2.

Приведение к каноническому виду:

Off General::"spell" ;

Off General::"spell1" ;

Clear A11, A12, A22, A1, A2, A0, r , r , , , a, b, c, d, , ;

A11 1; A12 Sin x ; A22 3 Cos x 2 ; A1 0; A2 Cos x ; A0 0;

Вычисление общих интегралов:

r FullSimplify CompleteIntegral A11 D x, y , x A12 Sqrt D x, y , y 0,

x, y , x, y , IntegralConstants F

x, y F 1 2 x y Cos x F 2

Находим первую функцию замены переменных:

x_, y_ r 1 1 2 . F 1 a . F 2 b

a b 2 x y Cos x

Аналогично находится вторая функция замены переменных с поизвольными постоянными c, d:

r FullSimplify CompleteIntegral A11 D x, y , x A12 Sqrt D x, y , y 0,

x, y , x, y , IntegralConstants G

x, y G 1 2 x y Cos x G 2

x_, y_ r 1 1 2 . G 1 c . G 2 d

c d 2 x y Cos x

Проверяем невырожденность преобразования:

Factor Det D x, y , x , D x, y , y , D x, y , x , D x, y , y 0

4 b d 0

Преобразование переменных невырожденно, если bd 0.

16 Практика №7.nb

Clear LinearPDE, u, v, res, Equ ;

LinearPDE A11 D u x, y , x, x 2 A12 D u x, y , x, y

A22 D u x, y , y, y A1 D u x, y , x A2 D u x, y , y A0 u x, y

Cos x u 0,1 x, y 3 Cos x 2 u 0,2 x, y 2 Sin x u 1,1 x, y u 2,0 x, y

u x_, y_ v x, y , x, y ;

res FullSimplify Coefficient LinearPDE,

Derivative 2, 0 v x, y , x, y , Derivative 1, 1 v x, y , x, y , Derivative 0, 2 v x, y , x, y , Derivative 1, 0 v x, y , x, y , Derivative 0, 1 v x, y , x, y , v x, y , x, y

0, 16 b d, 0, 0, 0, 0

Записываем левую часть преобразованного уравнения:

Equ Plus res u , u , u , u , u , u

16 b d u

Разделим обе части на 16 b d:

Expand Equ 16 b d

u

Получаем канонический вид:

u 0;

Общее решение канонического вида:

Clear v ;

DSolve , v , 0, v , , , Flatten

v , C 1 C 2

Общее решение исходного уравнения -- сумма двух произвольных функций:

ClearAll u, f, g, x, y ;

u x_, y_ f x, y g x, y FullSimplify

f a b 2 x y Cos x g c d 2 x y Cos x

Определение функций f, g:

Clear Equ ;

a 0; c 0; b 1; d 1;

x

Equ FullSimplify u x, Cos x Sin x , y u x, y . y Cos x 2

f 2 x g 2 x Sin x , x 2 f 2 x g 2 x

Интегрируем второе уравнение, чтобы выразить функцию f:

Clear solf, equf ;

equf Equ 2 2 x x x

f 2 x g 2 x x

z

solf Solve equf, f 2 x . x Flatten 2

f z z 2 g z

Подставляем найденную функцию f(x) в первое уравнение и находим функцию g(x):

Практика №7.nb 17

Clear Equ1, solg ;

Equ1 Equ 1 . solf . z 2 x

x 2 g 2 x Sin x

z

solg Solve Equ1 1 , g 2 x . x Flatten 2

g z	1	z 2 Sin	z
	2		2

Записываем явное определение функций g(z) и f(z):

Clear f, g ;

f z_ FullSimplify f z . solf

z 2 g z

g z_ FullSimplify g z . solg

1	z 2 Sin	z
2		2

Получаем решение задачи Коши:

Clear Uout ;

Uout x_, y_ FullSimplify u x, y

Cos

1

y Cos

x

Sin

x

x Sinh

1

y Cos

x

2

2

Проверка:

0 A22

A11 x,x Uout

x, y

2 A12 x,y Uout

x, y

y,y Uout x, y

A1 x Uout x, y

A2 y Uout x, y

FullSimplify

Uout x, Cos x

Sin x

yx Uout x, y . y Cos x Expand

2

u x, y Cos

1

1

y Cos x .

y Cos x Sin x

x Sinh

22

0.0.7Задача №7.

u

x,

y 2Sin x

u x, y

3 Cos2 x

u x, y

u

x, y

2 Sin x

Cos x

u

x, y

0,

(0.15)

uxx,x, y

y Cos x

0,

xy,yu x, y

y Cos x

2x

Cosy,y

x .

x

y

(0.16)

Решение задачи №7:

по знаку дискриминанта:

Определим тип

уравнения

Clear

A11, A12, A22,

;

Print " ",

2

A12 A12

A11 A22

.

A11

1, A22

3

Cos

x

, A12

Sin

x

Simplify

4

18Практика №7.nb

> 0 для любых x, y R, следовательно, данное уравнение является уравнением гиперболического типа во всем пространстве

R2.

Приведение к каноническому виду:

Off General::"spell" ;

Off General::"spell1" ;

Clear A11, A12, A22, A1, A2, A0, r , r , , , a, b, c, d, , ;

A11 1; A12 Sin x ; A22 3 Cos x 2 ; A1 1; A2 2 Sin x Cos x ; A0 0;

Вычисление общих интегралов:

r FullSimplify CompleteIntegral A11 D x, y , x A12 Sqrt D x, y , y 0,

x, y , x, y , IntegralConstants F

x, y F 1 2 x y Cos x F 2

Находим первую функцию замены переменных:

x_, y_ r 1 1 2 . F 1 a . F 2 b

a b 2 x y Cos x

Аналогично находится вторая функция замены переменных с поизвольными постоянными c, d:

r FullSimplify CompleteIntegral A11 D x, y , x A12 Sqrt D x, y , y 0,

x, y , x, y , IntegralConstants G

x, y G 1 2 x y Cos x G 2

x_, y_ r 1 1 2 . G 1 c . G 2 d

c d 2 x y Cos x

Проверяем невырожденность преобразования:

Factor Det D x, y , x , D x, y , y , D x, y , x , D x, y , y 0

4 b d 0

Преобразование переменных невырожденно, если bd 0.

Clear LinearPDE, u, v, res, Equ ;

LinearPDE A11 D u x, y , x, x 2 A12 D u x, y , x, y

A22 D u x, y , y, y A1 D u x, y , x A2 D u x, y , y A0 u x, y

2 Cos x Sin x u 0,1 x, y 3 Cos x 2 u 0,2 x, y

u 1,0 x, y 2 Sin x u 1,1 x, y u 2,0 x, y

u x_, y_ v x, y , x, y ;

res FullSimplify Coefficient LinearPDE,

Derivative 2, 0 v x, y , x, y , Derivative 1, 1 v x, y , x, y , Derivative 0, 2 v x, y , x, y , Derivative 1, 0 v x, y , x, y , Derivative 0, 1 v x, y , x, y , v x, y , x, y

0, 16 b d, 0, 0, 4 d, 0

Записываем левую часть преобразованного уравнения:

Equ Plus	res
			u , u , u , u , u , u
4 d u 16 b d u

Разделим обе части на 16 b d:

Expand Equ 16 b d

u

u

4 b

Получаем канонический вид:

Практика №7.nb 19

u u 0; 4b

Общее решение канонического вида:

Clear v ;

v ,

DSolve , v , 0, v , , , Flatten 4 b

v

,

4 b

C

1

K

1

K

1

C

2

1

Общее решение исходного уравнения:

ClearAll u, f, g, x, y ;

f a

b

2 x

y

Cos

x,y

4 b

FullSimplify

u x_, y_

f

x, y

g

x, y

x

a b

2 x y Cos x

g

c d

2 x y Cos

x

4 b

Определение функций f, g:

Clear Equ ;

a

0; c

0; b

1; d

1;

x

Equ FullSimplify u x, Cos x 0, y u x, y . y Cos x 2 Cos x

f 2 x x 2 g 2 x 0, 4 f 2 x x 2 4 Cos x g 2 x 4 g 2 x 0

Решаем первое уравнение, чтобы выразить функцию f:

Clear solf, solf1, equf ;

equf Solve Equ 1 , f 2 x Flatten

f 2 x x 2 g 2 x

z

solf1 equf . x Flatten 2

f z z 4 g z

Подставляем производную функции f(x) во второе уравнение и находим функцию g(x):

Clear Equ1, prf ;

prf D equf, x Expand

2 f 2 x 1 x 2 g 2 x 2 x 2 g 2 x 2

Equ1 Equ 2 . f 2 x 1 x 2 g 2 x x 2 g 2 x FullSimplify 4

x 2 Cos x 2 g 2 x 0

Находим функцию g:

Clear solg, equg ;

z

equg DSolve Equ1 . x , g z , z Flatten 2

z

g z C 1 Sin

2

20 Практика №7.nb

solg equg 1 . C 1 0

z g z Sin 2

solf solf1 . solg . z z

z

f z z 4 Sin

2

Записываем явное определение функций g(z) и f(z):

Clear f, g ;

f z_ FullSimplify f z . solf

zz 4 Sin

2

g z_ FullSimplify g z . solg

z

Sin 2

Получаем решение задачи Коши:

Clear Uout ;

Uout x_, y_ FullSimplify u x, y

1

Cos x

Cos

x

Sin

1

y Cos

x

2 4

2 x y

2

Проверка:

0 A22

A11

x,x Uout

x, y

2 A12 x,y Uout

x, y

FullSimplify

y,y Uout

x, y A1 x Uout x, y

A2 y Uout x, y

Uout x, Cos x

0

y Uout x, y . y Cos x Expand

x 2 Cos x

u	x, y		1	2 x y Cos x Cos x		Sin	1	y Cos x		.
			2 4				2

0.0.8 Задача №8.

u

x,

y 2Sin x

u x, y

Cos2

x

u x, y

u x, y

1

Sin x

Cos x

u

x, y

0,

(0.17)

uxx,x, y

y Cos x

1

x,2Siny x ,

y u x,

y

y,yy Cos x

Sinx

x .

y

(0.18)

Решение задачи

№8:

Определим

тип уравнения по

дискриминанта:

знаку

Clear

A11, A12, A22, ;

A12

2

Print "

",

A12

A11 A22

.

A11

1, A22

Cos

x

, A12

Sin

x

Simplify

1

> 0 для любых x, y R, следовательно, данное уравнение является уравнением гиперболического типа во всем пространстве

R2.

Приведение к каноническому виду: