Введение

буждаемого магнитными сторонними токами в этом пространстве, достаточно применить принцип перестановочной двойственности.

Рассмотрим методы решения уравнений Максвелла при заданных источниках электромагнитного поля. Известные точные и приближенные методы решения различных задач основаны, как правило, на предварительном преобразовании уравнений Максвелла. Целью подобного преобразования является переход от системы дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных, содержащей несколько неизвестных переменных, к дифференциальному уравнению второго порядка в частных производных для одной из величин, характеризующих электромагнитное поле.

От уравнений Максвелла можно перейти к так называемым волновым уравнениям [2] для векторов E и H электромагнитного поля, вспомогательных электродинамических потенциалов, электрического и магнитного векторов Герца. Методы преобразования рассмотрим для линейной изотропной среды, ограничившись случаем гармонических полей.

Чтобы получить волновые уравнения относительно векторов E и H , используем метод исключения. Из уравнений Максвелла (В.21) взаимной подстановкой исключается вектор E или H .

Подействуем оператором ротор на уравнения (В.21):

rot rot H = iωεа rot E + rot jст ,

rot rot E = −iωμа rot H − rot jстм .

Подставив в первое из этих уравнений второе уравнение системы (В.21), а во второе – первое уравнение системы (В.21), получим

	rot rot H = ω		2 ~ ~	~	м
			εаμа H −iωεа jст + rotjст ,			(B.24)
	rotrot E = ω	2 ~ ~		~	м
			εаμа E −iωμа		jст − rotjст.

Уравнения (В.24) с учетом уравнений непрерывности для сторонних токов можно преобразовать к виду

2		2 ~ ~	э	,		(B.25)
		E + ω εаμа E = −M
2		2 ~ ~	м		,	(B.26)
	H + ω εаμа H = −M

где M э и M м — векторные функции сторонних электрических и магнитных токов:

M э

M м

~	~		м
= −iωμа jст + (1/ iωεа )grad divjст			− rotjст ,
~	~	м

= −iωεа jст + (1/ iωμа )grad divjст − rotjст.

Уравнениями (В.25), (В.26) не всегда удобно пользоваться из-за сложности их правых частей, поскольку функции объемных плотностей сторонних токов приходится дифференцировать для определения

M э и M м . Возможны случаи, когда величины M э и M м нельзя вычислить на заданной границе области. Поэтому часто используются методы преобразования уравнений Максвелла, которые позволяют получить в правой части непосредственно сторонние токи или сторонние заряды. Примером является метод электродинамических потенциалов.

Вводим комплексную амплитуду электрического векторного потенциала, считая, что в рассматриваемой области отсутствуют сто-

ронние магнитные токи и заряды:
H ′ = (1/ μа )rot Aэ.			(B.27)
Из второго уравнения (В. 11) следует		э	= 0 . Приравнивая
	rot E′+iω A

выражение в скобках к градиенту от комплексной амплитуды скаляр-

ного потенциала

ϕэ обратным знаком, имеем

E′ = −grad ϕэ

−iω Aэ.

(B.28)

Подставив (В.27) и (В.28) в первое уравнение Максвелла найдем

э

~

~

ϕ

э

−

2

A

э

−ω

2

~

~

A

э

~

j

.

grad div A

+iωε

μ

ε

μ

= μ

а

а

а

а

а

ст

Использовав для

Aэ и

ϕэ

условие Лоренца [1]

div A э + iωε~а μ~аϕэ

= 0,

получим волновое уравнение

2 ~ ~

~

2

A

э

+ ω

A

э

(B.29)

εаμа

= −μа jст.

Чтобы найти уравнение, определяющее скалярный потенциал,

подставим (В.28) в уравнение (В.6в):

~

э

~

э

= ρст.

− εаdiv gradϕ

−iωεаdiv A

С учетом условия Лоренца имеем

(B.30)

2ϕэ + ω2εаμаϕэ = −ρст / εа.

Решать уравнение (В.З0) нет необходимости, поскольку комплексную амплитуду скалярного потенциала можно найти из условия Лоренца. После решения уравнения (В.29) напряженность электрического поля с учетом условия Лоренца определяется из (В.28) как

E′ = −iω A	э	~ ~	э	.
		+ (1/ iωεаμа )grad div A

Если в рассматриваемой области задано распределение только объемных плотностей магнитных токов и зарядов, то для определения

векторов электромагнитного поля используются уравнения Максвелла в виде (В.23).

Введя комплексные амплитуды магнитных векторного Aм и скалярного ϕм потенциалов, записываем

~	м	;	(B.31)
E′′ = −(1/ εа ) rot A
H ′′ = −gradϕм −iω Aм.			(B.32)

После подстановки (B.31) во второе уравнение системы (В.23) получим

− grad div A

м

+

2

A

м

~ ~

м

−ω

2 ~ ~

м

~ м

= iωεаμа gradϕ

εаμа A

− εа jст.

Используем условие Лоренца. Тогда

div A

м

~ ~

м

= 0

(B.33)

+iωεаμаϕ

Находим волновое уравнение для магнитного векторного потенциала:

	2	A	м	+ ω	2 ~ ~	м	~ м	(B.34)
					εаμа A		= −εа jст.

Аналогично (В.З0) получим волновое уравнение для скалярного потенциала ϕм :

2ϕ“ + ω2εаμаϕ“ = −ρ“ст / μа.

Из выражения (В.32) с учетом (В.33) следует формула, связывающая напряженность магнитного поля с векторным потенциалом

A м :

H ′′ = −iω A	м	~ ~	м	.
		+ (1/ iωεаμа )grad divA

Если в рассматриваемом пространстве одновременно задано распределение объемных плотностей сторонних электрических и магнитных токов, то, пользуясь принципом суперпозиции, значения векторов

E = E′+ E′′, H = H ′+ H ′′ суммарного поля можно определять как решение уравнений (В.21). В таком случае

E = −iω A		э	~ ~		э	~	м	;
			+ (1/ iωεаμа )grad div A			−(1/ εа )rot A
H = −iω A	м		~ ~	м		~	э	.
			+ (1/ iωεаμа )grad div A			+ (1/ μа )rot A

(B.35)

(B.36)

Векторные потенциалы Aэ и Aм при этом находятся из решения урав-

нений (В.29) и (В.34).

Иногда при решении задач электродинамики вместо векторных

потенциалов используют вспомогательные функции Z э и Z м и комплексные амплитуды векторов Герца для электрических и магнитных токов, связанные с комплексными амплитудами векторных потенциа-

лов:

A

э

~ ~

э

,

“

~ ~

м

.

Из уравнений (В.29) и (В.34) полу-

= iωεаμаZ

A

= iωεаμаZ

чаем волновые уравнения для Z э и Z м :

2

Z

э

+ ω

2 ~ ~

аZ

э

~

(B.37)

εаμ

= −(1/ iωεа )jа ;

2

Z

м

+ ω

2 ~ ~

м

~

м

(B.38)

εаμаZ

= −(1/ iωμа )jст.

Если функции Zэ и Zм

известны, то векторы E и H определяются по

формулам

2 ~ ~

~

E =ω

э

+ grad div Z

э

м

;

(B.39)

εаμаZ

−iωμаrot Z

H =ω

2 ~ ~

м

+ grad div Z

м

~

э

.

(B.40)

εаμаZ

−iωεаrot Z

Волновые уравнения (В.25),

(B.26), (В.29), (В.З0), (В.34), (В.37) и

(В.38) являются уравнениями Гельмгольца.

§ B.4. Электромагнитное поле в среде с дисперсией. Фазовая и групповая скорости волн

Электромагнитное поле, возникающее в некоторой области пространства, не заполняет его мгновенно, а распространяется с конечной скоростью, зависящей от свойств среды. Следствие этого – волновой характер распространения электромагнитного поля, когда изменение поля в точке A по закону f(t) в простейшем случае будет отмечено в точке B на расстоянии r в виде f(t-r/υ), где υ - скорость распространения.

Важнейшие свойства электромагнитных волн рассмотрим на примере плоской однородной волны, распространяющейся вдоль оси z в однородной изотропной среде. Возьмем за основу уравнения (В.25), (В.26), которые для области, не содержащей источников, примут вид

	2	2 ~ ~	;	(B.41)
		E + ω εаμа E = 0
2		2 ~ ~		(B.42)
	H + ω εаμа H = 0 .

Предварительно введем ряд определений. Фазовым фронтом волны называют поверхность, проходящую через точки с одинаковыми фазами. У плоской волны эквифазная поверхность представляет собой плоскость.

Волна называется однородной, если ее амплитуда постоянна во всех точках фазового фронта, и неоднородной, если ее амплитуда зависит от координат точек фазового фронта.

Анализ однородной плоской волны естественно проводить в декартовой системе координат. Ее поле, по определению, не зависит от поперечных координат х и у, и, следовательно, д /дх=0, д /ду=0.

При этих условиях волновые уравнения (В.41), (В.42) превращаются в одномерные скалярные уравнения

d

2 E

x

+ω2ε

μ

E

= 0,

dz2

а

а

x

(B.43)

d

2 E

y

+ω2ε

μ

E

= 0,

dz2

а

а

y

d2 H

x

+ω

2ε

μ

H

= 0,

x

dz2

а

а

d2 H

y

+ω

2ε

μ

H

= 0.

y

dz2

а

а

Решение подобных уравнений

хорошо

известно. Запишем его для

(В.43):

Ex = A1e−ikz + A2eikz ,Ey

= B1e−ikz + B2eikz .

(B.44)

Величина k = ω

~ ~

называется коэффициентом распростране-

εа

μа

ния.

В общем случае ε~а , μ~а - комплексные величины, которые можно

~

=

~

e

−i

~

~

e

−i

. Из (В.8), (В.10) следует, что

представить в виде εа

εа

,μа =

μа

~

=

2

+ (σ/ ω)

2

+ 2εаσsinδ/ ω,

εа

εа

(B.45)

ε

= arctg [(εа sinδ + σ/ ω)/ εа cosδ];

~

=

(μ′а )

2

2

.,

= arctg(μ′′а / μ′а ).

(B.46)

μа

+ (μ′′а )

μ

С учетом (В.45), (B.46) коэффициент распространения может быть записан как

	k = k ′ − ik ′′,			(B.47)
~	~	μа	×sin [( ε +	μ )/ 2]. Величины
где k′ = ω εа	μа cos [( ε + μ )/ 2]; k′′ = ω εа

k ′ и k ′′ имеют четкий физический смысл: k ′ — коэффициент фазы, k ′′ - коэффициент затухания. Их смысл становится ясным после подстановки (B.47) в (В.44), например:

′′ ′	′′ ′′	(B.48)
Ex = A1e−k z e−ik z + A2 ek z e−ik z .

Из полученного выражения следует, что коэффициент k ′′ определяет амплитуду составляющих поля, а коэффициент k ′ — фазу колебания.

Как видно из (В.45), (B.46), коэффициент распространения k является функцией частоты для среды с потерями.

При помощи уравнений Максвелла определим комплексные амплитуды компонент вектора напряженности магнитного поля плоской однородной волны. Из второго уравнения (В.19) имеем

( ~ )

H = − 1/ iωμа rotE.

Подставим сюда (В.44). Тогда

		Hx = (1/ Z0 )(− B1e−ikz + B2 eikz ),			(B.49)
		H y = (1/ Z0 )(A1e−ikz − A2 eikz ).
Величина	~	~	~	~
	Z0 = μа / εа =		μа	εа exp [−i ( μ − ε )/ 2] называется характе-

ристическим сопротивлением среды.

Полученные решения для составляющих поля содержат два слагаемых. Для выяснения физического смысла каждого из слагаемых целесообразно перейти от комплексных амплитуд к мгновенным значениям векторов поля. В качестве примера используем выражение

(В.48):

Ex (t) = Re (Exe	iωt	)= A1e	−k′′z	′	k′′z	′	(B.50)
				cos (ωt − k z)+ A2 e		cos (ωt + k z).

Рассмотрим аргументы косинусов ωt − k ′z и ωt + k ′z . Зафиксируем время t = t1 и точку на оси z = z1. Тогда первый аргумент (или фаза) примет значение ωt1 − k ′z1 , второй—значение ωt1 + k ′z1 . Давая времени t приращение dt, находим, на какое расстояние dz переместятся точки с

фазами				′	и	′	,	т. е. потребуем выполнения		равенств
	ωt1 − k z1					ωt1 + k z1
ω (t1 + dt) k		′	(z1			′		Отсюда	′	′	Про-
				+ dz) = ω t1 k z1.					ω dt k dz = 0 , dz / dt = ±ω / k .

изводные dz/dt представляют собой скорость перемещения фазового фронта волны вдоль оси z. Эту скорость называют фазовой скоростью. Соответствующая фазе ωt − k′z , фазовая скорость определяется выра-

жением	(B.51)
υф =ω / k ′.

Эта скорость положительна, т. е. первое слагаемое в (В.50) соответствует волне, распространяющейся в сторону положительных значений оси z. Такую волну называют прямой (падающей). В среде с потерями

ее амплитуда убывает по закону						exp (− k ′′z) .		Векторы поля данной
волны связаны между собой соотношениями
		/ Z0		,	E = Z0			(B.52)
H =	ez × E						H ×ez .
′			′		( υф отрицательна). Следовательно, второе
Для фазы ωt + k zυ™ = −ω / k

слагаемое в (В.50) соответствует волне, распространяющейся в сторону отрицательных значений z. Такую волну называют обратной (отраженной). Она возникает в результате отражения прямой волны от

какого-либо препятствия.
Подставляя в	(В.51) выражение для	k ′ из (B.47), получаем
vф =1/ εа μа cos [(	ε + μ )/ 2]. Это означает,	что фазовая скорость вол-

ны, распространяющейся в среде с потерями, зависит от частоты. Явление зависимости фазовой скорости от частоты называют дисперси-

ей, а соответствующие среды — диспергирующими. Существование дисперсии необходимо учитывать, оценивая распространение электромагнитных сигналов.

При заданной форме (временном законе) сигнала электромагнитный процесс можно представить с помощью преобразования Фурье как суперпозицию плоских однородных гармонических волн (спектральных волновых компонент). В диспергирующих средах фазовая скорость зависит от частоты. Следовательно, проходя один и тот же путь, гармонические волны, образующие сигнал, получают различные по величине фазовые сдвиги. В результате меняется форма сигнала — сигнал искажается.

Для подтверждения сказанного рассмотрим распространение сигнала в диспергирующей среде (пренебрегая поглощением), используя преобразование Фурье. Напряженность электрического поля при этом имеет вид

	E	(z,t)=	1	Re∞∫E (ω)ei(ωt−k′z)dω.	(B.53)
			π
				0
	Так как волновое число				(k ′ = k ′(ω)), то в
		k ′есть функция частоты

(В.53) вместо интегрирования по ω можно перейти к интегрированию по k ′:

	1	∞		i(ωt−k′z)	′
		′
E (z,t)=		Re∫E (k	)e		dk .	(B.54)
	π
		0

Пусть действительный спектр сигнала ограничен частотами ω0 − ω и

ω0 +

ω и,

кроме того,

ω ω0 ,

где ω0 -

средняя частота спектра. То-

гда

интегрирование в

(В.53)

будет

происходить

по промежутку

[ω0 −

ω,ω0

+ ω], а в (B.54) — по промежутку [k0′

−

k′,k0′ + k′]. Здесь

k0′ =ω0

/ υ0

- среднее значение коэффициента фазы,

соответствующее

средней частоте ω0 , и фазовой скорости на ω0

, а

k k

′

. На основании

′

этого вместо (B.54) запишем

k0′ +

k

1

i(ωt−k′z)

′

′

E (z,t)=

Re

∫

E (k

)e

dk .

(B.55)

π

k′ −

k

0

Сигнал, определяемый интегралом, называется волновым пакетом,

или группой волн.

	Рассматривая ω как функцию				переменной	k ′, раскладываем
	ω(k ′)в ряд по степеням k ′ − k0′:	dω
	ω(k′)= ω0 +			k′=k′	(k′− k0′)+...;	(B.56)
		dk′
				0

подставим ω(k ′)в (В.55). При малом промежутке интегрирования в разложении (B.56) можно ограничиться двумя первыми членами. В данном случае интеграл (В.55) принимает вид

1

k′

+

k′

dω

E(z,t)=

Re{exp [i(ω0t − k0′z )]}×

0

∫

E (k′)exp i

(k′− k0′)t −(k′− k0′)z

dk′,

π

k′

−

k′

dk0′

0

dω

k′=k′ =

dω

.

dk′

0

dk0′

Введя новую переменную интегрирования ξ = k ′ − k0′ , получаем

1

k′

dω

E(z,t)=

Re exp [i (ω0t − k0′z)]× ∫

t − z

ξ dξ .

π

E (ξ)exp i

dk′

− k′

Будем полагать, что E (ξ)

— непрерывная медленно меняющаяся

функция. Тогда ее на малом интервале [− k ,

k ]

можно считать по-

′

′

стоянной, равной

E (k0′). В этом случае

2

dω

E(z,t)=

E(k0′)

sin

dω

t − z

k′ ×cos (ω0t − k0′z + ϕ0 )/

t − z , (B.57)

π

dk0′

dk0′

где ϕ0 — аргумент комплексной

величины E (k0′).

Выражение

(В.57), таким образом, определяет рассматриваемый сигнал в любой точке z ≥ 0.

Функция

F(z,t)=

2

E(k0′)

dω

dω

(B.58)

sin

t − z

k′

/

t − z

π

dk0′

dk0′

вследствие того, что k ′

мало, — медленно меняющаяся функция пе-

ременных t и z. Ее можно считать амплитудой волны (ω0t − k0′z + ϕ0 ). При z = const функция F (z,t) является огибающей сигнала E (z, t) с уз-

ким частотным спектром. Из (В.58) видно, что с течением времени огибающая перемещается вдоль оси z. О ее движении удобно судить но перемещению максимума, находящегося в точке (dω/ dk0′)t − z = 0. С

течением времени, что очевидно, максимум движется вдоль оси со скоростью

υгр = ddkω′ k′=k0′ .

Это так называемая групповая скорость, определяющая скорость распространения сигнала типа «волновой пакет».

Установим связь между групповой и фазовой скоростями. Дифференцируя (В.51) по ω получаем

dυф

d ω

dk ′

=

= k

′ −ω

/ k ′2 ,

dω

dω k ′

dω

(B.59)

dω

ω

dυф

υгр =

−

dk ′

=υф / 1

υф

dω

.

Таким образом, в зависимости от знака производной dυф / dω группо-

вая скорость может быть как меньше, так и больше фазовой скорости. При отсутствии дисперсии dυф / dω = 0 и υгр =υф.

Понятие групповой скорости в большинстве случаев оказывается полезным до тех пор, пока дисперсия не приводит к существенному искажению сигнала. В общем же случае процесс распространения сигнала в среде с дисперсией не может быть полностью охарактеризован величинами фазовой и групповой скоростей.

§ В.5. Теорема Пойнтинга для гармонических полей Комплексный вектор Пойнтинга.

При анализе энергетических соотношений для гармонических электромагнитных полей воспользуемся уравнениями Максвелла (В. 11) для комплексных амплитуд векторов поля. Первое из них запишем

в комплексно-сопряженной форме и умножим на E :

ErotH		~	E
		= −iωεа			E + jстE,

второе же уравнение умножим на H :

H

~

H

rotE = -iωμа H

Проведя вычитание, получим

~

~

H

rotE − ErotH

E

(B.60)

= −iωμа H

H +iωεа

E − jстE.

Поскольку

(B.61)

ArotB − B rotA = div

A× B

выражение (В.60) можно записать в виде

H )

div E × H

= iω

( εа E

E

− μа H

− jстE.

(В.62)

Уравнение (В.62) называют теоремой Пойнтинга в дифференциальной форме для комплексных амплитуд векторов поля. Можно показать [3], что данное уравнение включает в себя закон сохранения энергии для гармонических полей. Чтобы облегчить анализ физиче-

ского смысла соотношения (В.62), перейдем к интегральным величинам.

Производя интегрирование по некоторому объему V с границей S, применяя теорему Остроградского Гаусса, представляем уравнение (В.62) в интегральной форме:

∫		E × H		ds = iω ∫	(ε		E − μа H		H ) dυ − ∫ jстEdυ.	(В.63)
						а E
S				V					V

Смысл уравнения (В.63) становится ясным после разделения его на

вещественную					и	мнимую части с		учетом того,			что
~		~			= μ′а −iμ′′а	. В развернутой форме (В.63) записывается как
εа	= ε′а +iε′′а , μа
два соотношения:
	Re	1		∫[E × H ]ds = − ω∫ (ε′′а E E +μ′′а H H )dυ− Re					1	∫ jстEdυ;	(B.64)
		2 S				2 V			2V
	Im	1	∫ [E × H ]ds =			ω∫ (ε′а E E −μ′а H H )dυ− Im	1	∫ jстEdυ.			(B.65)
		2 S				2 V	2V

Умножение каждого равенства на 1/2 имеет определенный смысл, как будет показано далее.

Для интерпретации полученных уравнений введем в рассмотрение средние энергетические характеристики электромагнитного поля. Отметим при этом, что метод комплексных амплитуд, пригодный во всех случаях, когда векторы поля связаны линейной зависимостью, непосредственно не применим к вычислению энергии и других квадратичных величин. Действительно, поскольку, Re(A1 A2 )≠ ReA1 ReA2 , то произведение векторов отличается от вещественной части произведе-

ния их комплексных амплитуд: A1 A2 ≠ ReA1 A2 . Если же требуется в нелинейном соотношении заменить вектор его комплексной амплиту-

дой, то используется очевидное равенство			Отметим
	A = A + A	/2.
также, что средним значением функции f(t)	за период T		называют

1 T

значение fср = T ∫0 f (t)dt . Следовательно мы можем записать, напри-

мер, выражение для среднего значения вектора Пойнтинга:

Пср = 1 T∫1 [(Ek + Ek )×(Hk + Hk )]dt. T 0 4

где Ek = Eeiωt ;Ek = Eeiϕc ;Hk = Heiωt ;Hk = Heiϕh . Интегрирование приводит к результату Пср = (1/ 2)[E × H ]×cos (ϕe −ϕh ). Переписав последнее выра-