решения задач 2

Пример. Фильтр верхних частот. Нормированная передаточная функция простого

аналогового RC-фильтра нижних частот имеет вид

H (s)	1
	s 1

Необходимо с помощью билинейного z-преобразования определить передаточную функцию цифрового эквивалентного фильтра верхних частот. Частота дискретизации равна 150Гц, а частота среза 30Гц.

Решение. Частота среза фильтра c 2 30 рад/с. После деформации частота среза будет

равна

	0	` tg ( c T )
		2
При Т=1/150Гц, c ` tg( / 5) =0,7265

Используя преобразование «ФНЧ» «ФВЧ», получим следующую ненормированную аналоговую передаточную функцию:

H `(s) H (s)		s c `/ s			1			s
				0	`/ s 1			s 0,7265

Для получения передаточной функции цифрового фильтра применим билинейное z- преобразование

H `(s) H (s) s z 1

z 1

	(z 1) /( z 1)
	(z 1) /( z 1) 0,7265

Упрощая, получим

H (z) 0,5792		1 z 1		y(z)
		0,1584z 1		x(z)
1

Отсюда соответствующее разностное уравнение

y(n) 0,5792x(n) 0,5792x(n 1) 0,1584y(n 1)

и коэффициенты фильтра:

a0 0,5792 ;

a1 0,5792 ;

b1 0,1584

Пример. Полосовой фильтр. Необходимо получить передаточную функцию полосового фильтра Баттерворта, удовлетворяющего следующим требованиям:

Полоса пропускания – 200-300 Гц Частота дискретизации – 2 кГц Порядок фильтра N - 2

Решение. В качестве фильтра-прототипа возьмем аналоговый ФНЧ первого порядка

(преобразование полосы частот для полосовых фильтров s s 2 c 2 удвоит порядок фильтра)

B s

со следующей(уже известной) передаточной функцией.

H (s) 1 s 1

Деформированные граничные частоты полосового фильтра будут равны:

		` tg ( п1	T ) tg (		2 200			) 0,3249
	п1
		2				2 200
		` tg ( п2	T ) tg (			2 200			) 0,5095
	п2
		2					2 200
		2		` `			0,1655
		0		п1 п2
		B п2 ` `п1 0,1846

Используя преобразование «ФНЧ» «полосовой фильтр», получим

H `(s) H (s)									B(z 1) /( z 1)
				z 1
			s					z 1		2	B(	z 1		2
							(		)				)
				z 1										0
								z 1				z 2
Подставляя значения	2	и B , после упрощений получим
	0

H (z) 0,1367	1 z 2
	1 1,2362z 1 0,7265z 2

На практике БИХфильтры высоких порядков (например N>3), как уже отмечалось, реализуются последовательным(накладным) или параллельным соединением фильтрующих звеньев второго и/или первого порядка, что позволяет снизить влияние конечной разрядности на быстродействие фильтра. С этой целью после преобразования аналогового фильтра в дискретную форму полученную передаточную функцию H(z), если она имеет большой порядок, нужно выразить в фиксированном виде (для каскадной реализации) или как сумму членов второго и/или первого порядка (для параллельной реализации).

Следует отметить, что деформирование частотной шкалы и билинейное z-преобразование для повышения вычислительной эффективности можно объединить в одно преобразование:

s ctg ( T ) z 1
2	z 1

Далее, для ФНЧ и ФВЧ порядок H(z) равен порядку передаточной функции H(s) аналогового фильтра. Например, если функция H(z) получена из функции H(s) аналогового фильтра второго порядка, то и H(z) также будет описывать систему второго порядка. Для полосовых и режекторных(заградительных) фильтров порядок H(z) будет вдвое больше порядка H(s).

Кроме того, на практике иногда бывает так, что передаточную функцию H(s) существующего аналогового фильтра нужно преобразовать в функцию эквивалентного фильтра дискретного времени. В подобных ситуациях аналоговая передаточная функция реального фильтра уже дана, так что билинейное z-преобразование можно применять сразу после предварительной деформации и прямого масштабирования характеристики аналогового фильтра в характеристику цифрового фильтра.

Пример 2.10. С помощью метода взвешивания найдем коэффициенты КИХ-фильтра нижних

частот, который удовлетворяет следующим требованиям:

граничная частота полосы пропускания	–	1,5 кГц,
ширина переходной полосы	–	0,5 кГц,
затухание в полосе подавления		–	> 50 дБ,
частота дискретизации		–	8 кГц.

Решение. Идеальная импульсная характеристика hu (n) для ФНЧ:

hu (n) 2 fc sin(n c ) , n 0, n c

hu (n) 2 fc , n = 0,

Из таблиц, где представлены основные характеристики оконных функций, следует, что требованиям к затуханию в полосе подавления удовлетворяют функции Хемминга, Блэкмана или Кайзера. Для простоты выберем функцию Хемминга. Тогда нормированная ширина

полосы	перехода f	0,5/8 0,0625.					Поскольку	для окна	Хемминга
N 3,3/ f 3,3/ 0,0625 52,8.			Положим			N 53. Тогда		коэффициенты	импульсной
характеристики будет равны
	h(n) hu (n) w(n), 26 n 26,
где
		h (n) 2 f		c	sin(n c )		, n 0
		u			n c

hu (n) 2 fc , n 0,

w(n) 0,54 0, 46cos 2 n , 26 n 26.

53

Вследствие эффекта сглаживания характеристики фильтра, вносимого весовой функцией, частота среза получающегося фильтра будет отличаться от заданной. Чтобы учесть этот эффект,

используем fc – центр полосы перехода.

fc fc	f	(1,5 0,25) кГц 1,75 кГц 1,75/ 8 0,21875.
	2

Поскольку h(n) – симметричная функция, можно вычислить только значение h(0), h(1), ..., h(26), а

остальные можно получить из условия симметрии.

n 0

n 1

n 2

hu (0) 2 fc 2 0,21875 0,4375

w( ) 0,54 0,46cos(0) 1,

h(0) hu (0) w(0) 0,4375.

h (1)	2 0,21875		sin(2 0,21875)			sin(360 0,21875)
u	2 0,21875
		2
w(1) 0,54 0, 46					0,99677,
		53

h(1) h( 1) hu (1) w(1) 0,31118.

h (2)		2 0,21875		sin(2 2 0,21875)				sin(157,5 )
u	2	2 0,21875						2
w(2) 0,54 0, 46cos					2 2		0,98713,
					53

h(2) h( 2) hu (2) w(2) 0,06012.

0,31219,

0,06013,

... ... ...

... ... ...