Ekzamen_2_semestr_2012-2013_programma
.pdfВычитая из последнего равенства первое уравнение системы, получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = ¡ |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = ¡ |
|
|
; |
|
A = |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
5 |
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||
Таким |
образом, интеграл |
|
12x2+16 |
|
dx равен сумме трех интегралов |
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
5 |
(x¡2)(x |
+1) |
|
|
|
|
|
x2 + 1dx ¡ 5 Z |
x2 + 1dx = I1 + I2 + I3: |
|||||||||||||||
Z |
(x ¡ 2)(x2 + 1)dx = |
Z |
|
x ¡ 2 |
¡ 5 Z |
||||||||||||||||||||||||
|
12x |
|
+ 16 |
|
|
64 |
|
|
dx |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
x |
8 |
|
|
1 |
|
||||||
Интеграл I1 сводится к табличному, одна из первообразных равна |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 = Z |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln jx ¡ 2j: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ¡ 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
Одна из первообразных для интеграла I2 равна |
5 ln jx2 + 1j: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
I2 = ¡5 Z |
|
x2 + 1dx = ¡5 Z |
|
x2 |
+ 1 = ¡ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
d(x2 |
+ 1) |
|
2 |
|
|
|
Наконец, последний интеграл также табличный. Одна из первообразных для
интеграла I3 равна |
8 |
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
I3 = ¡ |
|
|
Z |
|
|
dx = ¡ |
|
arctg x: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
5 |
x2 + 1 |
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Z |
4x4 |
|
|
4x2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
||||||||||
|
|
dx = |
|
+ 8x + ln jx ¡ 2j ¡ |
|
ln jx2 + 1j ¡ |
|
arctg x + C; |
||||||||||||||||||
|
x3 ¡ 2x2 + x ¡ 2 |
5 |
5 |
5 |
||||||||||||||||||||||
где C - произвольная постоянная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Задача 7. Вычислить неопределенный интеграл R |
3 1 |
|
dx |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
p |
x |
+p |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
R |
Решение. |
Данный |
интеграл |
относится |
|
к |
интегралам |
вида |
||||||||||||||||||
R(x; xm1=n1 ; : : : ; xmk=nk )dx, где m1 |
; : : : ; mk - целые числа, n1; : : : ; nk - натуральные |
|||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
числа, а R - рациональная функция своих аргументов. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Такие интегралы приводятся |
к интегралам от |
рациональных функций с |
помощью замены переменной t = x1=N , где N наименьшее общее кратное чисел n1; : : : ; nk.
|
|
|
|
|
m1 |
1 |
m2 |
1 |
|
|
|
|
||||
В рассматриваемом интеграле n1 |
= 3 , |
n2 |
= 2 . Н.О.К. f3; 2g = 6. Поэтому |
|||||||||||||
следует сделать замену переменной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
£t = x1=6; x = t6; dx = 6t5dt; p3 |
|
= t2; p |
|
= t3:¤ |
||||||||||||
x |
x |
|||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
t5 |
|
|
|
|
|
t3 |
||||||
Z |
p3 |
|
+ p |
|
dx = 6 Z |
|
|
dt = 6 Z |
|
dt: |
||||||
t2 + t3 |
1 + t |
|||||||||||||||
x |
x |
11
Чтобы упростить знаменатель сделаем еще одну замену переменной
Z |
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
[z = 1 + t; t = z ¡ 1; dt = dz] : |
Z µ |
¡ |
|
|
|
¡ z |
¶ |
|||||||||||||||||
|
1 + t |
|
|
z |
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6 |
|
|
t3 |
dt = 6 |
(z ¡ 1)3 |
dz = 6 |
|
|
z3 |
¡ 3z2 + 3z ¡ 1 |
dz = |
|
|
6z2 |
|
18z + 18 |
1 |
dz: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Последний интеграл есть сумма табличных: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
z3 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z µ6z2 ¡ 18z + 18 ¡ |
|
|
¶dz = 6 |
|
¡18 |
|
+18z¡ln jzj+C = 2z3¡9z2+18z¡ln jzj+C; |
||||||||||||||||||||||||||||
z |
3 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
где C - произвольная постоянная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Возвращаясь к исходным переменным z = 1 + p6 |
|
, получаем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ 9 ¡1 + p6 x¢ |
|
+ 18 ¡1 + p6 x¢ ¡ ln j1 + p6 xj + C; |
|
||||||||||||||||||||||
|
Z |
p3 x + pxdx = 2 ¡1 + p6 x¢ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где C - произвольная постоянная.
Задача 8. Вычислить определенный интеграл R2 x log2 xdx.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Решение. Применим метод интегрирования по частям. |
|||||||||||||||||||
u = log2 x; |
|
|
|
|
|
dv = xdx |
|||||||||||||
· du = |
1 |
|
; |
v = |
|
xdx = |
21 x2: ¸ |
||||||||||||
x ln |
2 |
|
|||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
¯ |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Z x log2 xdx = µlog2 |
x ¢ |
|
x2 |
¶ |
¯ |
x=1¡ Z |
|
|
|
xdx = |
|||||||||
2 |
¯ |
|
2 ln 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 ¡ |
µ4 ln 2x2¶¯x=1= 2 ¡ |
|
4 ln 2: |
||||||||||||||||
|
1 |
|
¯ |
x=2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
Ответ. |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x log2 xdx = 2 ¡ |
|
: |
|
|
|
|
|||||||||||||
4 ln 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
Задача 9. Вычислить определенный интеграл R0 |
sin x sin x2 dx. |
Решение. Воспользуемся тригонометрической формулой
sin ® ¢ sin ¯ = 12 [cos (® ¡ ¯) ¡ cos (® + ¯)] :
Следовательно,
sin x ¢ sin x=2 = 12 [cos (x=2) ¡ cos (3x=2)] :
12
Поэтому
¼ |
|
|
|
x |
¼ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Z0 |
sin x sin |
|
|
dx = Z0 |
|
[cos (x=2) ¡ cos (3x=2)] dx = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
¼ |
1 |
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
¯ |
|
|
4 |
|||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x=¼ |
|
|||||||||||
= Z cos (x=2)d(x=2) ¡ |
|
Z |
cos (3x=2)d(3x=2) = µsin (x=2) ¡ |
|
sin (3x=2)¶ |
¯ |
|
= |
|
|
: |
|||||||||||
3 |
3 |
¯ |
x=0 |
|
3 |
|||||||||||||||||
Ответ. |
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
sin x sin |
|
dx = |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 10. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 1; x + y ¡ 3 = 0.
Решение. Найдем точки пересечения кривых, ограничивающих область. Для этого решим систему уравнений
½y = x2 + 1;
x + y ¡ 3 = 0:
Подставляя y = 3 ¡ x из второго уравнения в первое, получаем
x2 + x ¡ 2 = 0:
Корни этого уравнения x1 = ¡2; x2 = 1. На отрезке [¡2; 1] график функции x+y¡ 3 = 0 выше графика функции y = x2 + 1, поскольку последняя кривая - выпуклая вниз. Поэтому площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 1; x + y ¡ 3 = 0, равна:
S = |
Z |
(3 ¡ x) ¡ (x2 |
+ 1) dx = |
Z |
|
2 ¡ x ¡ x2 dx = ·2x ¡ 2x2 ¡ |
3x3¸ x=¡2: |
||||||
|
1 |
£ |
¤ |
1 |
£ |
¤ |
1 |
|
1 |
¯ |
|
||
|
¡2 |
¡2 |
|
x=1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
Производя подстановку, получаем
Ответ.
S = 92:
Задача 11. Найти среднее значение издержек K(x) = x2 + 5, выраженных в денежных единицах, если объем продукции x изменяется от x1 = 1 до x2 = 5.
Решение. Среднее значение издержек при объемах продукции, изменяющихся от x1 = 1 до x2 = 5, вычисляется по формуле
Kcp = 5 ¡ 1 Z1 |
(x2 |
+ 5)dx: |
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
13
Вычисляя последний интеграл, получаем |
3¡ |
|
+ 5(5 ¡ 1)¶ = 3 : |
||||||
Kcp = 4 |
µ |
3 |
+ 5x¶¯x=1= |
4 |
µ |
|
|||
1 |
|
x3 |
¯ |
x=5 |
1 |
|
125 |
1 |
16 |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
Ответ.
16
Kcp = 3 :
Задача 12. Распределение доходов в регионе описывается функцией Лоренца f(x) = 0; 96x2 + 0; 04x. Какую часть дохода получают 10% наиболее низко оплачиваемого населения? Вычислить коэффициент неравномерности распределения совокупного дохода.
Решение. Функция Лоренца выражает зависимость процента доходов от процента имеющего их населения. Поэтому 10% наиболее низко оплачиваемого населения имеет доход равный f(0; 1) ¢ 100% = (0; 96(0; 1)2 + 0; 040; 1) ¢ 100% = 1; 36%.
Коэффициент неравномерности распределения совокупного дохода (коэффициент Джини) вычисляется по формуле
k = 1 ¡ 2 Z |
f(x)dx = 1 ¡ 2 Z |
(0; 96x2 |
+ 0; 04x)dx = 1 ¡ 2 µ0;396x3 + 0;204x2¶ x=0: |
|
1 |
1 |
|
¯ |
|
0 |
0 |
|
x=1 |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
Производя подстановку, получаем
k = 1 ¡ 2 ¢ 0; 34 = 0; 32:
Значение коэффициента Джини достаточно невелико, что говорит о несущественной неравномерности распределения совокупного дохода.
Ответ.
10% наиболее низко оплачиваемого населения получает доход 1; 36% от общего объема совокупного дохода.
Значение коэффициента Джини k = 0; 32, что говорит о несущественной неравномерности распределения совокупного дохода.
Задача 13. В течение рабочего дня производительность труда меняется по закону f(t) = 32 + 4t ¡ t2. Сколько продукции будет изготовлено за второй час работы?
Решение. Объем продукции, выпущенной за второй час работы (т.е. за время от t = 1 до t = 2) вычисляется по формуле
2 |
4 |
1 |
|
|
¯ |
|
|
1 |
|
|||||
1 |
|
|
t=2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
Q = Z |
(32 + 4t ¡ t2)dt = µ32t + |
2 |
t2 |
¡ |
3 |
t3 |
¶ t=1 |
= 32(2 ¡ 1) + 2(4 ¡ 1) ¡ |
3 |
(8 ¡ 1): |
||||
Производя вычисления, получаем |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Q = |
107 |
: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
14
Ответ. Q = 1073 :
Задача 14. Исследовать сходимость ряда P1 2n2¡n 1 .
n=1
Решение. Данный ряд имеет положительные члены an = 2n2¡n 1 , поэтому можно применить признак Даламбера. Для этого следует вычислить
|
|
|
|
lim |
an+1 |
= |
lim |
|
(2n + 1)2n |
= |
lim |
|
|
(2 + 1=n) |
= |
|
1 |
< 1: |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n!+1 |
an |
n!+1 (2n ¡ 1)2n+1 |
|
|
n!+1 (2 ¡ 1=n)2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
Следовательно, ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ответ. Ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
nP |
Задача |
15. |
Исследовать |
на абсолютную |
и |
условную |
сходимость |
ряд |
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1(¡1)n¡1 n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. Данный |
ряд |
является |
|
|
знакочередующимся |
1 |
|
1 |
= |
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
=1(¡1)n¡1 n |
||||||||||||||||||||||
|
n |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nP |
1 |
|
|
|||||
P |
|
|
¡ bn, где bn = n > 0. Кроме того, последовательность bn = n монотонно |
|||||||||||||||||||||||
n=1(¡1) |
|
|||||||||||||||||||||||||
стремится к |
0 (т.е. bn |
= 1 > |
bn+1 = |
1 |
; |
n |
|
|
|
; lim bn |
= |
|
lim |
1 = 0). |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n+1 |
8 2 N |
n!+1 |
|
|
n!+1 n |
|
||||||||||
Следовательно, рассматриваемый ряд сходится по признаку Лейбница. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Для исследования ряда на абсолютную сходимость следует рассмотреть ряд из |
|||||||||||||||||||||||||
модулей |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
¯ |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X¯ |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 ¯(¡1)n¡1 |
n |
¯ = n=1 |
n |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последний ряд расходится, поскольку является гармоническим.
Ответ. Ряд сходится условно (т.е. сходится, но не сходится абсолютно).
Задача 16. Найти область сходимости степенного ряда P1 (x¡5)2n .
n=1
n2
Решение. Данный ряд можно представить в виде
1 |
(x ¡ 5)2n |
= |
1 |
a [(x 5)2 |
]n; a = 1 : |
||
X |
|
|
X |
n ¡ |
n |
|
|
n=1 |
n2 |
|
n=1 |
n2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
Для определения интервала сходимости применим формулу Коши-Адамара
R = lim |
janj |
= lim |
|
(n + 1)2 |
= |
lim |
n2(1 + 1=n)2 |
= 1: |
|
|
|
n2 |
n2 |
||||||
n!+1 jan+1j |
n!+1 |
|
|
n!+1 |
|
||||
Следовательно, ряд сходится для все x |
|
|
|
|
|||||
|
|
¯(x ¡ 5)2¯ |
< 1 () jx ¡ 5j < 1; |
|
|||||
т.е. на интервале (4; 6). |
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
15
Остается исследовать сходимость ряда при x = 4 and x = 6. При таких значениях аргумента ряд имеет вид
X1 n12 :
n=1
Данный ряд сходится в силу интегрального признака сходимости, поскольку сходится несобственный интеграл
Z |
x2 |
= A!+1 Z |
x2 |
A!+1 µ |
|
¡ A¶ |
|
||
1 |
dx |
A |
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
lim |
|
= |
lim |
1 |
|
|
= 1: |
11
Ответ. Ряд сходится на отрезке [4; 6].
Задача 17. Разложить функцию f(x) = x+21 в ряд Тейлора в окрестности точки x = ¡5.
Решение. Представим функцию f(x) в виде
f(x) = |
1 |
|
= ¡ |
1 |
1 |
: |
||
|
|
|
|
|
|
|||
(x + 5) ¡ 5 + 2 |
3 |
1 ¡ (x+5)3 |
Для разложения последней функции в ряд Тейлора воспользуемся формулой суммы геометрической прогрессии
1 |
1 |
(x + 5)n |
||
f(x) = ¡ |
|
X |
|
: |
3 |
n=0 |
3n |
Ответ. Разложние функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x = ¡5 имеет вид
f(x) = X1 ¡1 (x + 5)n:
n=0 3n+1
Задача 18. Найти значение частных производных и дифференциала функции u = zy¡¡xz в точке M0(2; 1; 3).
Решение. Частные производные функции u равны
|
@ u |
= |
y ¡ z |
( 1) = |
z ¡ y |
; |
@ u |
= |
1 |
; |
@ u |
= |
(¡1)(z ¡ x) ¡ 1 ¢ (y ¡ z) |
= |
x ¡ y |
: |
|
@ x |
(z ¡ x)2 |
(z ¡ x)2 |
@ y |
z ¡ x |
@ z |
(z ¡ x)2 |
(z ¡ x)2 |
||||||||
|
|
¢ ¡ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Значение этих производных в |
точке M0(2; 1; 3) равны |
|
|
|
@ u |
(M0) = |
3 ¡ 1 |
= 2; |
|
@ x |
(3 ¡ 2)2 |
|||
|
|
Дифференциал функции u =
@ u
d u(M0) = @ x(M0)dx
|
@ u |
(M0) = |
|
1 |
|
= 1; |
@ u |
(M0) = |
2 ¡ 1 |
= 1: |
|||
|
@ y |
3 ¡ 2 |
|
(3 ¡ 2)2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
@ z |
|
|||||||
y¡z |
в точке M0(2; 1; 3) равен |
|
|
||||||||||
z¡x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
@ u |
|
|
@ u |
|
|
|
|
|||||
+ |
|
(M0)dy + |
|
(M0)dz = 2dx + dy + dz: |
|||||||||
@ y |
@ z |
16
Ответ. Частные производные функции u = |
y¡z |
в точке M0(2; 1; 3) равны |
||||
|
|
|
|
|
z¡x |
|
@ u |
(M0) = 2; |
@ u |
(M0) = 1; |
@ u |
(M0) = 1: |
|
|
|
|
|
|||
|
@ x |
@ y |
@ z |
Дифференциал функции u = zy¡¡xz в точке M0(2; 1; 3) равен d u(M0) = 2dx + dy + dz:
Задача 19. Вычислить производную функции z = 2(x + y) ¡ x2 ¡ y2 в точке A(0; 0) по направлению к точке B(2; 3).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
равен ¡!l = |
2 |
; |
3 |
|
||||||
Решение. Единичный вектор |
направления ¡! |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
Вычислим градиент функции z = 2(x + y) ¡ x2 ¡ y2 в точке A(0; 0): |
³p13 |
|
p13 |
´ |
||||||||||||||||||||
grad A |
|
@ z |
|
@ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
µ@ x |
(A); @ y (A)¶ = (2 ¡ 2x; 2 ¡ 2y) x=0;y=0= (2; 2) : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
¡¡!( ) = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная по направлению вычисляется по формуле ¯¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
@ u |
|
|
grad |
A |
|
|
2 |
|
3 |
|
10 |
: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
@ l (A) = |
¡¡!( |
|
) ¢ |
¡!l = 2 ¢ p13 + 2 ¢ p13 |
= p13 |
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
10 |
|
||
@ u |
|
|||
|
|
(A) = p |
|
: |
|
@ l |
|||
|
13 |
Задача 20. Найти направление максимального роста функции z = 2(x + y)2 ¡ xy ¡ y в точке A(1; 1).
Решение. Направление максимального роста функции в точке совпадает с
направлением градиента этой функции в точке. |
¯ |
|
|||||
¡¡!( ) = µ |
@ z |
|
@ z |
(A)¶ = (4(x + y) ¡ y; 4(x + y) ¡ x ¡ 1) |
|
||
(A); |
¯ |
x=1;y=1= (7 6) |
|||||
@ x |
@ y |
||||||
grad A |
|
|
|
|
¯ |
; : |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. Направление максимального роста функции z = 2(x + y)2 ¡ xy ¡ y в
¡!
точке A(1; 1) совпадает с направлением вектора a = (7; 6).
Задача 21. Найти частные производные второго порядка и дифференциал второго порядка функции f(x; y) = .
Решение. Вычислим производные первого порядка в произвольной точке
(x; y); x 6= ¡y:
@ f |
= |
1 ¢ (x + y) ¡ 1 ¢ (x ¡ y) |
|
= |
2y |
; |
@ f |
= |
(¡1) ¢ (x + y) ¡ 1 ¢ (x ¡ y) |
= |
|
¡2x |
: |
||||||||||||||
|
@ x |
|
|
|
(x + y)2 |
@ y |
|
|
|
|
(x + y)2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x + y)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + y)2 |
|
|
|
|
|||||||||
Производные второго порядка равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
@2f |
= |
¡4y |
; |
@2f |
= |
|
2(x + y)2 ¡ 4y(x + y) |
= |
2x ¡ 2y |
; |
@2f |
= |
4x |
|
: |
|
||||||||
|
|
|
|
(x + y)3 |
|
|
(x + y)3 |
@ x2 |
(x + y)3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
@ x2 |
@ x@ y |
|
|
|
|
(x + y)4 |
|
|
|
|
|
|
|
17
Дифференциал второго порядка вычисляется по формуле |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
d2f = |
@2f |
dx2 + 2 |
|
@2f |
dxdy + |
@2f |
dy2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
@ x2 |
@ x@ y |
@ x2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и равен |
|
¡4y |
|
|
|
|
4x ¡ 4y |
|
|
|
|
4x |
|
|
|
||||||||
|
d2f = |
|
|
dx2 + |
dxdy + |
|
dy2 |
: |
|
||||||||||||||
|
(x + y)3 |
(x + y)3 |
(x + y)3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ. Производные второго порядка равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
@2f |
= |
|
¡4y |
; |
|
|
@2f |
|
= |
2x ¡ 2y |
; |
@2f |
= |
|
4x |
|
: |
|||||
@ x2 |
(x + y)3 |
|
|
|
@ x@ y |
|
(x + y)3 |
|
@ x2 |
|
|
(x + y)3 |
|
||||||||||
Дифференциал второго порядка вычисляется по формуле равен |
|
||||||||||||||||||||||
|
d2f = |
|
¡4y |
|
dx2 + |
4x ¡ 4y |
dxdy + |
|
4x |
dy2 |
: |
|
|||||||||||
|
|
(x + y)3 |
(x + y)3 |
(x + y)3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 22. Исследовать на экстремум функцию z(x; y) = x2 ¡ xy + y2 + 9x ¡
6y + 20.
Решение. Необходимое условие экстремума частные производные функции z(x; y):
@ z |
= 0; |
@ z |
= 0. Вычислим |
@ x |
|
@ y |
|
|
@ z |
= 2x ¡ y + 9; |
@ z |
= ¡x + 2y ¡ 6: |
||
|
|
|
|
|||
|
@ x |
@ y |
||||
Решим систему уравнения |
½ |
2x ¡ y + 9 |
|
|||
|
|
|
= 0; |
|||
|
|
|
¡x + 2y ¡ 6 = 0: |
Решение это системы x = ¡4; y = ¡3. Это - точка, “подозрительная” на экстремум. Для выяснения, является ли эта точка точкой локального экстремума и
определения ее типа вычислим вторые производные функции в точке (¡4; ¡3)
@2z |
= 2; |
|
@2z |
= ¡1; |
|
@2z |
= 2: |
@ x2 |
@ x@ y |
@ y2 |
Составим матрицу из вторых производных (матрицу Гессе)
µ2 ¡1 ¶ ¡1 2
Эта матрица положительно определена, поскольку ее главные миноры положительны: ¢1 = 2 > 0, ¢2 = 2 ¢ 2 ¡ (¡1) ¢ (¡1) = 3 > 0. Следовательно, точка (¡4; ¡3) является точкой локального минимума.
Ответ. (¡4; ¡3) - точка локального минимума, zmin = z(¡4; ¡3) = 15.
Задача 23. Найти условный экстремум функции z = 8¡2x¡4y при x2 +2y2 =
12.
18
Решение. Выпишем функцию Лагранжа
L(x; y; ¸) = 8 ¡ 2x ¡ 4y ¡ ¸(x2 + 2y2 ¡ 12):
Необходимые условия экстремума имеют вид |
|
|
|||||
|
@ L |
= 0; |
@ L |
= 0; |
@ L |
= 0: |
|
@ x |
@ y |
@ ¸ |
|||||
|
|
|
|
Таким образом, для определения точек “подозрительных” на экстремум решим
систему уравнений |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
¡ |
2¸x = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡4 |
4¸y = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
¡x2¡ |
2y2 + 12 = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x = |
|
1 |
; y = |
|
1 |
Подставляя в последнее уравнение получаем |
1 |
|
= 4, или |
||||||||||||||
Отсюда |
|
¸ |
|
¸ . |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
¡ |
|
¡ |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|||||||
¸1 |
= 1 |
, |
¸2 = |
1 |
|
|
|
|
точки “подозрительные” на экстремум: (x1; y1; ¸1) = |
||||||||||||||||||
¡ |
2 |
|
1 |
¢ |
¡ |
2 |
. Получаем две |
|
1 |
¢ |
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
¡2; ¡2; |
2 , (x2; y2; ¸2) = 2; 2; ¡ |
2 . |
|
|
¡¡ |
2; |
|
2; |
1 |
¢ |
Вычислим |
второй |
|||||||||||||||
|
Рассмортрим первую |
|
точку (x1; y1; ¸1) = |
¡ |
|
||||||||||||||||||||||
дифференциал функции в точке (x1; y1) |
|
|
|
|
|
|
|
d2L(x; y; ¸1) = ¡2¸1dx2 ¡ 4¸1dy2 = ¡dx2 ¡ 2dy2:
Этот дифференциал - отрицательно определенная квадратичная форма. Следовательно, точка (x1; y1) - точка локального условного максимума.
Рассмортрим вторую точку (x2; y2; ¸2) = |
2; 2; |
¡ |
1 |
. Вычислим второй |
дифференциал функции в точке (x2; y2) |
¡ |
2 |
¢ |
d2L(x; y; ¸2) = ¡2¸2dx2 ¡ 4¸2dy2 = dx2 + 2dy2:
Этот дифференциал - положительно определенная квадратичная форма. Следовательно, точка (x2; y2) - точка локального условного минимума.
Ответ.
(¡2; ¡2) - точка локального условного максимума, zmax = 20. (2; 2) - точка локального условного минимума, zmin = ¡4.
Задача 24. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 10+2xy ¡ x2 в замкнутой области D = f(x; y) : 0 · y · 4 ¡ x2g.
Решение. Найдем сначала тщчки экстремума внутри области D. Необходимые
условия экстремума |
½ |
@ z |
|
|
|
|
= 2y |
¡ |
2x = 0; |
||
|
@ z |
|
|
||
|
@x |
= 2x = 0: |
|||
|
@y |
Решение этой системы x = 0; y = 0. Эта точка не лежит внутри области (лежит на границе!). Следовательно внутри области D нет точек “подозрительных” на экстремум.
Исследуем функцию z = 10 + 2xy ¡ x2 на экстремум на границе области. Граница области состоит из двух кривых: 1) отрезка прямой y = 0; ¡2 · x · 2, 2) дуги параболы y = 4 ¡ x2; ¡2 < x < 2.
19
Исследуем функцию z = 10 + 2xy ¡ x2 на экстремум на интервале y = 0; ¡2 < x < 2. Значение функции на этом интервале равно z = 10 ¡ x2. Необходимое
условие экстремума:
@@xz = ¡2x = 0:
Получаем (x1; y1) = (0; 0) - точка, “подозрительная” на экстремум, лежащая на интервале y = 0; ¡2 < x < 2.
Исследуем функцию z = 10+2xy¡x2 на экстремум на открытой дуге параболы y = 4¡x2; ¡2 < x < 2. Значение функции на этой дуге равно z = 10+8x¡x2 ¡2x3. Необходимое условие экстремума:
@@xz = 8 ¡ 2x ¡ 6x2 = 0:
Корни этого уравнения x2 = ¡4=3; x3 = 1. Эти точки лежат на интервале ¡2 < x < 2. Имеем еще две точки, “подозрительных” на экстремум: (x2; y2) =
(¡4=3; ¡4=3); (x3; y3) = (1; 3).
Кроме этого, к точкам, “подозрительным” на экстремум, следует отнести угловые точки границы области (точки пересечения граничных кривых): (x4; y4) =
(¡2; 0); (x5; y5) = (2; 0).
Значение функции z = 10 + 2xy ¡ x2 в найденных точках равно:
74
z(x1; y1) = 10; z(x2; y2) = 9 ; z(x3; y3) = 15; z(x4; y4) = 6; z(x5; y5) = 6:
Следовательно, наибольшее значение функции z = 10 + 2xy ¡ x2 в замкнутой области D = f(x; y) : 0 · y · 4 ¡ x2g равно 15 и достигается в точке (x3; y3), а наименьшее значение равно 6 и достигается в точках (x4; y4) и (x5; y5).
Ответ. zmax = z(1; 3) = 15; zmin = z(¡2; 0) = z(¡2; 0) = 6. |
|
|
|
|
Задача 25 |
|
y2 |
+ 1dx = |
|
xydy. |
. Найти общее решение дифференциального уравнения p |
|
|
Решение. Данное уравнение относится к типу уравнений с разделяющимися переменными (т.е. может переписано так, что одна из частей уравнения зависит только от независимой переменной, а вторая - только от неизвестной функции).
Найдем сначала “особые” решения уравнения. Таковыми могут быть функции, обращающие в нуль одну из частей уравнения. x = 0 является особым решением, поскольку обращает в нуль как правую, так и левую часть уравнения, а y = 0 особым решением не является.
pИсключив из рассмотрения эти функции, разделим обе части уравнения на
xy2 + 1. Уравнение перепишется в виде
|
dx |
= |
|
ydy |
: |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
p |
|
|
|
||||
|
y2 + 1 |
|
|||||||
Интегрируя это выражение получаем |
|
|
y2 + 1: |
||||||
Z |
x |
= Z |
|
|
|||||
|
dx |
|
|
|
|
ydy |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
20