- •1* Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.
- •7* Цилиндрические и сферические координаты. Переход в тройном интеграле от декартовых к цилиндрическим и сферическим координатам
- •8* Приложения тройного интеграла — объемы тел, масса тел, центр тяжести
- •9* Криволинейный интеграл 1-го рода (КрИ-l): определение, свойства, вычисление, приложения
- •10* Криволинейный интеграл 2-го рода (КрИ-ll): определение, свойства, вычисление, приложения
- •11* КрИ-ll по замкнутому контуру. Формула Грина. Независимость КрИ-ll от формы пути интегрирования
- •12* Общие понятия числового ряда. Геометрическая прогрессия и гармонический ряд
- •13* Основные свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости рядов
- •14* Признаки сравнения
- •15* Признаки Даламбера и Коши
- •16* Интегральный признак Коши. Ряд Дирихле
- •17* Знакопеременные ряды. Признак Лейбница
- •17. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница.
- •18. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •29.Виды уравнений матем.Физики.Метод Фурье.Метод сеток.
- •26. Сходимость ряда Фурье.Теорема Дирихле.
- •24. Приложение степенных рядов:приближённое вычисление значений функции, приближенное вычисление определенных интегралов, решение ду с помощью степенных рядов.
- •23.Разложение и ряд Тейлора-Макларена элементарных функций
- •21. Свойства степенных рядов.
- •20.Степенные ряды.Теорема Абеля.
- •19.Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерносходящихся рядов.
1* Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.
Вычисление объёма цил. тела приводит нас к понятию ДИ Цилиндр телом называют тело, где пространство тела ограниченно цилиндр. пов-ю., плоскостью перпендик. образующей ц.т. и поверхностью, пересекающ. цил.пов-ть и не пересекающ. указанную плоскость.
Vпрям.цил.=S*h
Vц.т. = i=1∑nf(xi, yi)∆vi точность рав-ва будет зависеть от размеров столбиков
Объём цил. Vц.т. = limd→0 i=1∑nf(xi, yi)∆vi
2* Определение, теоремы существования двойного интеграла. Свойства двойного интеграла
Если ф-ция f(x,y) непрерывна в огранич. замкнутой обл-ти D, то для этой ф-ции сущ.ДИ, т.е. сущ. предел интегр. суммы и этот придел не зависит не от сп-ба разбиения, не от выбора точек.
1*постоянный множитель выносится
2*интеграл от суммы равен сумме интегралов
3*если функция >=0 в области D,то и интеграл >=0.
4*область D можно разбить на D1,… и интегралы сложить…
5*даны 2 функции. Если 1>=2, то и интеграл 1>=2
3* Вычисление двойного интеграла в декартовой с-ме коор.
Сводится к повторным.
1) чертим область интегрирования исходя из уравнений
2)определяем порядок интегрирования
3)находим верхние (левые) и нижние (правые) точки
4)определяем пределы внешнего интеграла
5)для нахождения пределов внутреннего интеграла проводим прямую II оси, одноименной с внутренней переменной.
4* Замена переменных в двойном интеграле. Переход в ДИ от декартовых к полярным координатам.
При вычислении интегралов часто бывает удобно сделать замену переменных. , где,непрерывны в некоторой областиПусть при этом формулызадают взаимно-однозначное отображение областей:.Кроме того, не стремясь к минимальности условий, потребуем, чтобы всюду на области:
При сформулированных выше условиях для непрерывной на D функции справедливо:
Формула перехода от Декартовой к полярной системе:
5* Приложения двойного интеграла - площадь плоской фигуры, объемы тел, статические моменты и центр тяжести. Момент инерции плоской фигуры
6* Тройной интеграл: определение, свойства, вычисление в декартовых координатах
Рассмотрим фигуру, представляющую собой пространственное тело V. Мерой этого тела будет являться его объем, который обозначим также буквой V. В теле V определена функция. Введем понятие тройного интеграла по этому телу. Для этого разобьем телоV произвольным образом на части . В каждом из полученных объемовпроизвольно выберем точку, вычислим значение функции в этих точкахи составим интегральную сумму. Обозначим черези перейдем к пределу в интегральной сумме при. Предел данной интегральной суммы назовемтройным интегралом от функции по телуV:
Для тройного интеграла остаются справедливыми все свойства интеграла по фигуре: линейность, аддитивность, теорема об оценке, теорема о среднем, и т.д.
7* Цилиндрические и сферические координаты. Переход в тройном интеграле от декартовых к цилиндрическим и сферическим координатам
Положение точки в пространстве можно однозначно задать проекцией точки на плоскость x0y и аппликатой z. Проекцию же точки на плоскости x0y можно задать как в декартовых, так и в полярных координатах. Если проекцию точки задавать в полярных координатах, то в пространстве полученные координаты точки назовем цилиндрическими.
В цилиндрических координатах:
В сферических координатах: