часть 1

Откуда молярная масса:

R

8,31

кг

0,032

.

cp

cv

260

моль

2. Молярная теплоёмкость при постоянном объёме:

Cv

i

R ,

2

где i 5– число степеней свободы 2х атомной молекулы.

Удельная теплоёмкость при постоянном объёме, учитывая формулу (1):

cv

i

R .

(3)

2

С учётом (2):

c

i

c

c

5 260 650

Дж

.

v

p

v

2

2

кг К

Молярная теплоёмкость при постоянном давлении:

Cp

i 2 R .

2

Удельная теплоёмкость при постоянном давлении, учитывая формулу (1):

сp

i 2

R .

(4)

2

С учётом (2):

с

i 2

c

c

5 2

260 910

Дж

.

p

p

v

i

2

кг К

Ответ: 0,032

кг

, cv

650

Дж

, сp 910

Дж

.

моль

кг К

кг К

Рекомендуемое задание № 2

Каковы удельные теплоемкости c и cp смеси газов, содержащей кислород массой m1 10г и азот массой m2 20г ?

41

		Дано:						СИ:		Решение:
m1	10г							10 2 кг	1.	Количество теплоты необходимое	для
m2	20г							2 10 2 кг		нагревания смеси газов при постоянном
2	28 10 3			кг						объёме на температуру T равно:
				моль						Q cv m1 m2 T .	(1)
	32 10 3			кг
1				моль						С другой стороны, для нагревания ка ж-
1.	сv	?							дого газа смеси на ту же температуру в сумме
2.	c p	?							им необходимо передать то же самое колич е-
									ство теплоты:
		Q cv1 m1 T cv 2							m2	T cv1 m1 cv2 m2 T .	(2)
		Здесь		c	– удельная теплоёмкость смеси; c 1 - удельная теплоёмкость
кислорода; c 2					- удельная теплоёмкость азота. Приравняем правые части (1) и
(2) и сократив на T получим:

cv m1 m2 cv1 m1 cv 2 m2 .

Отсюда выразим удельную теплоёмкость смеси при постоянном объёме:

	c	v		cv1 m1 cv 2 m2															c			v1				m1		c			v 2			m2				.
									m m						2									m m			2						m m			2
											1														1									1
Удельная теплоёмкость при постоянном объёме кислорода и азота со-
ответственно:
	cv1		i1						R			,
			2					1
	cv2		i2							R			,
					2				2
где число степеней свободы кислорода и азота соответственно (2 х
атомные молекулы):
	i1 i2				5.
Тогда удельная теплоёмкость смеси при постоянном объёме:
			i				R							m					i	2		R				m	2					i m					i		m		2			R
c		1												1																				1 1			2											(3)
												m m						2								m m																		2 m m
	v		2													2							2						2						1					2					2
								1 1																		1																		1

42

Произведём вычисления:

		5 10 2		5 2 10 2					8,31			5			10				10	2			8,31
c
		32 10 3		28 10 3			2 10 2		2 10 2			32			28				10			2 1	2 10
																				3				2
0,15625 0,35714 1,385 103									0,711 103		711				Дж				.
														кг К

2.Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоёмкости смеси при постоянном давлении.

Количество теплоты необходимое для нагревания смеси газов при постоянном давлении на температуру T равно:

Q cр m1 m2 T

(4)

С другой стороны, для нагревания каждого газа смеси на ту же темп е- ратуру в сумме им необходимо передать то же самое количество теплоты:

Q cр1 m1 T cр 2 m2 T cр1 m1	cр 2	m2 T	(5)
Здесь cp – удельная теплоёмкость смеси;	cp1	- удельная теплоёмкость

кислорода; cp 2 - удельная теплоёмкость азота. Приравняем правые части (4) и (5), и сократив на T получим:

cр m1 m2 cр1 m1 cр2 m2 .

Отсюда выразим удельную теплоёмкость смеси при постоянном давлении:

cр		cр1 m1 cр2 m2								m				m
		m m								cр1 m m		cр2 m m .
										1					2
				1					2	1	2	1				2
Удельная теплоёмкость при постоянном давлении кислорода и азота
соответственно:
cр1		i1 2				R	,
		2
					1
cр 2		i2 2				R		,
		2				2
где число степеней свободы кислорода и азота со ответственно (2х
атомные молекулы):
i1 i2		5.

43

Тогда удельная теплоёмкость смеси при постоянном давлении:

cр i1 2		R		m1		i2 2		R		m2
				m1 m2
2		1				2		2		m1 m2

	i 2 m				i		2 m					R
	1		1			2			2						(6)
											2 m m
			1					2
											1	2

Подставим численные значения:

			5 2 10 2									5 2 2 10					2					8,31
cp
				32 10 3									28 10 3							2 10 2		2 10	2
	7			14				10 2					8,31			0,21875						0,5 1,385 10				3
	32							10 3				2 1 2 10
					28										2
0,995 103						995					Дж			.
										кг
													К
Ответ: cv 711									Дж				; сp 995					Дж			.
									кг К
																		кг К

Рекомендуемое задание № 3

Азот нагревался при постоянном давлении, причем ему было сообщено к о- личество теплоты Q 21 103 Дж (рис.1). Определить работу A, которую совершил при этом газ, и изменение U его внутренней энергии.

	Дано:		СИ:			Решение:
P const					1.	Первое начало термодинамики для
						конечного состояния системы - ко-
i 5
						личество теплоты Q , переданное
Q 21 103 Дж
						системе (газу) идёт на изменение её
1.	A ?
						внутренней	энергии U и	совер-
2.	U ?
						шение ею	(газом) работы	A над

внешними телами:

Q U A .

Q

рис.1

(1)

44

Работа газа:

A P V .

Уравнение Менделеева – Клапейрона для 2х состояний газа:

P V			m R T					и		P V	2	m	R T	2	.
		1			1
Вычтем из второго первое:
PV	2	PV m RT				2	m RT					=>	P V	2	V	m R T	2	T
				1				1							1			1
или
							P V m R T ,											(2)
тогда формула работы газа:
								A	m	R T .								(3)

Изменение внутренней энергии, по определению:

U m cv T .

Связь удельной теплоёмкости с молярной при постоянном объёме:

cv Cv .

Молярная теплоёмкость при постоянном объёме:

Cv		i			R ,
	2
тогда удельная теплоёмкость при постоянном объёме:
cv	i				R ,
	2
тогда формула изменения внутренней энергии газа:
					U	i	m R T .	(4)
						2

Разделим выражение (3) на (4):

45

			m R T
A							2	,
U		i		m			i
					R T
		2

откуда изменение внутренней энергии через работу:

	U	i	A.	(5)
		2

Подставим это выражение в формулу (1):

Q i A A i 2 A , 2 2

отсюда работа, совершаемая газом с учётом того что число степеней свободы i 5 , т.к. азот 2х атомная молекула:

	A	2	Q	2		21 103	6 103 ( Дж) .
		i 2		5	2

2. Из формулы (5) работа газа:

A 2i U . Тогда выражение (1):

	Q U		2 U i 2 U ,
				i		i
	отсюда изменение внутренней энергии:
	U	i		Q	5		21 103	15 103	( Дж) .
		i 2			5	2

Ответ: А 6кДж, U 15кДж .

Рекомендуемое задание № 4

Аргон при давлении 0,8атм изменил объем с 1л до 2л . Как изменяется величина внутренней энергии, если расширение газа произв одилось при различных процессах: изобарическом, адиабатическом ?

46

Дано:

CИ:

Решение:

P1 0,8атм

0,8 1,01 105 Па

1. Изобарный

процесс

V1 1л

10 3 м3

( P const )

–

процесс

V2

2л

2 10 3 м3

при

постоянном

давле-

i 3

нии

(рис.2).

Q

Изменение

внутрен-

1.

P const

2.

Q 0

ней энергии (задача 3 фор-

рис. 2

мула 4):

U ?

U m cv T

i

m

R T .

2

С учётом формулы (2) задачи 3:

P V

2

V P V m R T ,

1

изменение внутренней энергии:

U 2i P (V2 V1 ) .

Произведём вычисления (аргон одноатомный газ и число степеней св о- боды i 3):

	U 3 0,808 105 (2 10 3 10 3 ) 1,212 102 121,2( Дж) .
	2
	2. Адиабатический процесс (Q 0 ) – процесс без теплооб-
	мена с окружающей средой (рис.3).
	1й способ. Изменение внутренней энергии:
	U	i	m R T	i	m R T T .
		2		2		2	1
									рис.3
	Найдём разность температур конечной T2							и начальной
	T1 . Используем уравнение Пуассона (адиабаты):
					P V	const ,			(1)

47

где – показатель адиабаты (коэффициент Пуассона) равен отнош е- нию удельной (молярной) теплоёмкости при постоянном давлении к удел ь- ной (молярной) теплоёмкости при постоянном объёме (см. задачу № 1, с.40):

	cp		Cp		i 2			R	i 2 .
					2
	cv		Cv
						i		R	i
					2

Учтём уравнение Клапейрона - Менделеева: PV m RT ,

выразим давление:

P m RT

V

и подставим в формулу (1):

m RT V const .

V

Перенесём постоянные m R в правую часть, тогда получим:

T V 1 const

или распишем её:

T1 V1 1 T2 V2 1 .

Откуда конечная температура через начальную и объёмы:

T	T	V		1
		1	.
2	1
		V2

Тогда изменение температуры:

Т T T	T	V	1		,
		1		1
2 1	1
		V2

учтя, что:

1 i 2	1	2	,
i		i

(2)

(3)

48

изменение температуры:

		V	2
Т T T T			i	1 .
		1			(4)
2 1 1
		V2

Из уравнения Менделеева – Клапейрона для начального состояния сист емы:

												P1		V1			m R T1																										(5)
выразим некоторые величины:
													m			R			P1				V1					.															(6)
																					Т1
С у чётом формул (4) и (6) изменение внутренней энергии:
															2																			2
	i			P1 V1						V1				i										i								V1		i
U						T										1											P V										1			.
	2 Т1						1																2					1	1
										V2																						V2
Подставим численные значения:																	3
																							2																	2
	3														10																						1
																									3
							5				3																														3
U			0,808		10			10																			1		1,212·10І·													1
	2															2 10				3																	2

1,212·10І·(0,63 -1) - 0,448·10І - 44,8( Дж).

2й способ. Первое начало термодинамики для конечного состояния системы:

Q U A . Учтём процесс, тогда:

U A

или

A U 2i m R T .

Подставим выражения (3) и (4), получим известную формулу работы системы:

49

																		1					R T							V				1
		1												V
A						m R T										1			1							1 m			1			1				.
									1
		1																					1
														V2																V2
Итак, само решение по нахождению изменения внутренней энергии ч е-
рез работу системы:
U A .
Из формулы (5) выразим некоторые величины:
m	R		P V				,
	Т1			1		1
тогда изменение внутренней энергии:
				P V							V					1					P V					V		1
U				1		1			1					1				=		1			1				1		1			.
				1																	1
											V2															V2
Учтя формулу (3) 1												2		получим:
												i
												2
		i P1 V1							V1		i
ΔU =														1			,
				2
									V2
что совпадает с конечной формулой 1 го способа решения.
Ответ: U 121,2 Дж ,																U 44,6 Дж.
										Рекомендуемое задание № 5
Водород занимает объем V 10м3																				при давлении									P 0,1МПа (рис.4, а). Газ
														1															1
нагрели при постоянном объеме до давления P2																												0,3МПа (рис.4, б). Опреде-
лить изменение U внутренней энергии газа, работу																														A, совершенную газом,
и теплоту Q , сообщенную газу.

50