Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

ограниченность		H означает сходимость ряда i2 , так	как				q				2H i2 , в силу
	q
											i
изометрического изоморфизма H и l 2 . Но приведенный факт,			по сути, доказывает и другое
важное утверждение:

Всякая бесконечная последовательность сильно ограниченного множества в гильбертовом

пространстве H содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.

Следующее определение развивает это понятие.

Множество называется компактным, если из всякой принадлежащей ему последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Если речь идет о слабой сходимости, то множество слабо компактно. Если сходимость понимается в смысле нормы, то множество сильно компактно или просто – компактно.

Приведенное выше утверждение можно сформулировать теперь так.

Ограниченное множество слабо компактно.

1.1.4 Линейные операторы

Линейный оператор A преобразует функции, принадлежащие банахову, в частности гильбертову, пространству X в другие функции, принадлежащие, вообще говоря, другому банахову (например, гильбертову) пространству Y . Множество этих операторов образует линейное многообразие, которое обозначаем [ X Y ].

Напомним:

область определения оператора A обозначается DA ;

область значений оператора A обозначается Im A ;

множество элементов из области определения, отображающиеся в ноль, есть ядро оператора и обозначается Ker A.

Свойство линейности означает, что область определения оператора A : D A есть линейное пространство и f1, f2 D A X : A 1 f1 2 f2 1 A f1 2 A f2 Y . В

частности пространства X и Y могут совпадать и тогда говорят, что оператор A отображает пространство X в себя. В другом частном случае X и Y могут быть специального вида гильбертовыми пространствами и также совпадать либо не совпадать.

Следующие необходимые и достаточные условия непрерывности оператора A

эквивалентны.

1)прообраз A 1 (G) любого множества G содержащего внутреннюю точку также содержит внутреннюю точку.

2)если G B Im(A) , то A 1 (G) ( A 1(G));

61

) A(N ) .

3)

если N X , то A(N

Если отображения A и A 1

одновременно непрерывны, то f называется взаимно-

непрерывным отображением.

Взаимно-непрерывное

и

взаимно-однозначное

отображение

называется

гомеоморфизмом.

Нормой линейного оператора A называется величина:

A

sup

A f

Y

sup

A f

.

f D A

f

f D ,

Y

X

f

X 1

Далее, говоря о том,

что линейный оператор A отображает элемент f

в некоторый

элемент из

Y будем записывать

двумя равнозначными способами. Общим способом,

справедливым и для нелинейных операторов:

A f

и способом,

подчеркивающем линейность

оператора: Af , который не годится для нелинейных операторов. Для линейных операторов – это одна и та же запись. Ее общая, пригодная в нелинейном случае форма A f используется лишь для того чтобы подчеркнуть – какой элемент во что отображается.

Если эта величина конечна, то оператор называется ограниченным. Для линейных операторов из ограниченности следует непрерывность. Однако с обратным утверждением следует быть осторожным. Здесь многое зависит от того как определено понятие непрерывности.

Условие того, что каждое ограниченное множество в пространстве образов имеет ограниченный прообраз – подходит для определения непрерывности в пространстве функций. Однако для операторов это тоже означает непрерывность и ограниченность одновременно. Такая непрерывность – сильная непрерывность. Но непрерывность может быть определена и по другому. Например, можно принять, что непрерывное это такое отображение, которое переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся. Но на пространстве функций может быть определена слабая сходимость из которой еще не следует сильная. Тогда и непрерывность линейного оператора может быть определена как свойство, согласно которому каждая слабо сходящаяся последовательность переводится в слабо сходящуюся. Это означает, что в пространстве линейных операторов может быть определено много разных свойств отражающих

особенности непрерывности. Одно из них – свойство замкнутости оператора.

Оператор называется замкнутым, если множество, образованное всевозможными

парами элементов f D A , A f ) ,

которые называются графиком оператора, замкнуто

относительно нормы

f , A f

f

X

A f

Y . Линейный сильно непрерывный

(ограниченный) оператор замкнут. Но тогда, замкнутым является и обратный к A оператор A 1 ,

62

определенный на Im A условием	A 1 A( f ) f ,	поскольку он имеет тот-же график, что и
исходный оператор.
В [ X Y ] выделяется	подмножество	(подпространство) X ,Y линейных

ограниченных операторов. Это само по себе линейное пространство, в котором может быть введена структура сходимости и, следовательно, оно может рассматриваться как самостоятельное банахово пространство. Очевидными являются три типа сходимости. Последовательность

линейных ограниченных операторов Ai ,i 1, 2,... X ,Y сходится								к A :
1.	слабо, если для всех		f H последовательность Ai f Af					слабо;
2.	сильно, если для всех		f H последовательность Ai f Af					в норме пространства Y ;
3.	равномерно, если		A				0 .
		Ai

Понятно, что из равномерной последовательности следует сильная, а из сильной – слабая.

Линейный оператор определенный в гильбертовом пространстве H называется вполне непрерывным, если каждое ограниченное множество он переводит в компактное. Линейный ограниченный оператор, определенный на гильбертовом пространстве H переводит ограниченные множества в ограниченные. Таково определение непрерывности (сильной непрерывности). Но поскольку всякое ограниченное множество в гильбертовом пространстве H

слабо компактно, то и любой линейный ограниченный оператор с областью определения H

слабо вполне непрерывен.

Поскольку образ каждого ограниченного множества при отображении вполне непрерывным оператором есть компактное множество (несколько не строго – компакт,

включающий в себя дополнительно условие замкнутости), то он уже чем просто ограниченное множество. В нем каждая бесконечная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность, в то время как в ограниченном множестве из Y имеются последовательности, не содержащие сходящихся подпоследовательностей (определение компактности). Следовательно, для вполне непрерывного оператора Im A Y , хотя его замыкание совпадает с Y . Это означает, что все Y не может рассматриваться как область определения для обратного оператора. В Y содержаться предельные элементы, которые не являются образами из X . Следовательно, обратный оператор не является непрерывным. Отсюда следует критерий для существования непрерывного обратного к A оператора.

Теорема о непрерывности. Если A [ X Y ] и Im A Y то A 1 Y , X .

Иными словами, если образ линейного оператора есть полное нормированное пространство, то обратный оператор непрерывен.

Этот результат можно сформулировать с использованием понятий внутренней точки.

63

Следствие. Если Im A содержит внутренние точки, то A 1 Y , X .

Касаясь проблемы непрерывности необходимо рассмотреть и вопрос о том, что можно сделать с оператором обратный к которому на всем пространстве не является непрерывным, так чтобы он оказался непрерывным. Естественный ответ состоит в том, чтобы рассматривать обратный не на всем Y что ведет к неограниченным значениям, и не на всем Im A , что также ведет к неограниченности, а лишь на некоторых специальных подмножествах в Im A . Ответ на

то, каковы должны быть эти подмножества состоит в следующем.

Теорема о гомеоморфизме. Взаимно-однозначное и непрерывное отображение компакта

на гильбертово (более обще сепарабельное банахово) пространство есть гомеоморфизм.

Значение приведенного результата состоит в том, что им гарантируется непрерывность

обратного к A отображения A 1 , определенного на образе Y компакта M X ; Y Im A(M ) ,

если A – взаимно-однозначен и непрерывен из M в Y . Иными словами, из взаимной

однозначности, непрерывности «туда» следует и непрерывность «обратно». Обратим внимание,

что этот результат относится не только к линейным, но и нелинейным операторам. Он дает ключ к ответу на вопрос – как «поправить» исходный оператор, обратный к которому не ограничен так,

чтобы сделать его непрерывным. Ответ прост – изменить, сузить область определения оператора так, чтобы она стала компактом.

Вопрос о непрерывности обратного оператора является одним из ключевых при моделировании строения геологических сред по геофизическим данным. Он служит основой для построения вычислительных схем извлечения информации из наблюдаемых данных. Эти операции должны быть непрерывными. Приведем поэтому еще несколько критериев

непрерывности линейного оператора.

Теорема 2. Если A [ X Y ] и область значений Im A – имеет внутреннюю точку в Y, то

1)	Im A Y ;
2)	существует такая постоянная m 0 , что	y Y , x DA и:

yAx; x X m yY ;

3)если существует обратное преобразование (А – взаимно-однозначен), то оно ограничено.

Отсюда, в частности, следует:

если A [ X Y ] , ImA=Y и А – взаимно-однозначен, то A 1 ;

если A [ X Y ] и D(A) содержит внутренние точки в Х, то D(A)=Х, и A ;

64

если A [ X Y ] и А не ограничен,	то D(A) не может совпадать со всеми Х, а в лучшем случае
образует лишь плотное в Х подмножество.
Множество X , X линейных ограниченных операторов, отображающих пространство
X в себя имеет структуру алгебры.	Это значит,	что для любых двух элементов A и B из
X , X определены: их линейная	комбинация	– A B, , ; произведение –

A B f , обозначаемое AB , переводящие операторы из X , X в себя, единица I , и для некоторых из них обратные операторы A 1 : A 1 A I . Обратный оператор существует не для всех элементов из X , X . Наиболее интересна для изучения групповых свойств операция умножения. Она, совместно с существованием единицы, наделяет множество X , X

структурой группы, которая будет рассмотрена отдельно. Для мультипликативной операции AB

вообще говоря AB BA . Это означает что соответствующая группа некоммутативна.

Перейдем к определению одного из важнейших понятий вычислительной математики.

Сопряженный по Гильберту оператор. С Этой целью рассмотрим линейный непрерывный оператор A действующий в паре гильбертовых пространств: из X в Y , ( A X ,Y ) имеющий

				X и плотную в Y область значений:		Y .
плотную в	X область определения:		D A		Im A
Далее для	f X рассмотрим y	Af	Y . Здесь индекс при скалярном произведении указывает на

то что скалярное произведение рассматривается именно в гильбертовом пространстве Y . Еще более оттеним это обстоятельство, считая что X это пространство функций переменного v V

из		области	V , а Y это				пространство	функций переменного s S	из области	S :
y		Af Y	y s		A f v	. Последнее выражение можно рассматривать двояко. Во-первых,
						Y
это		скалярное		произведение			– линейный	непрерывный функционал в	пространстве	Y

образующим элементом которого служит q s A f v . Но с другой стороны это же самое выражение каждому f v X линейным и непрерывным образом ставит число – является линейным и непрерывным функционалом на Y . Следовательно, по теореме Риса ему соответствует некоторый образующий элемент u v и

u v		f v X y s		A f v Y .	(1.1.4)

65

Таким образом, каждый элемент y s Y отображается по правилу (1.1.4) ставится в элемент u v X . Это отображение называется сопряженным к A оператором и обозначается

A* . Правило для определения сопряженного оператора таково:

A* y s		f v		y s		A f v		.		(1.1.5)
			X					Y
			f v X			если			X
Это правило определено для		всех					D A			и оно определено

однозначно, если Im A Y . Но эти условия введены при определении сопряженного по Гильберту оператора. Поскольку для операторов иных сопряженных как по Гильберту нет, то сопряженный по Гильберту часто называем просто – сопряженным.

Следующие свойства сопряженного оператора легко доказываются: - для A X ,Y выполнено A* * A ;

- если A X ,Y то и A* A вполне непрерывен, то и A вполне непрерывен;

- если A X ,Y и B Y , Z , где Z гильбертово пространство, то AB * B* A* ;

-если A X , X , то A A* ;

-если A X ,Y , то A* 1 A 1 * .

Последнее равенство доказывается так. Поскольку A* ( A* ) 1 I где I – единичный

оператор и потому самосопряженный, то A* ( A* ) 1 * I * I . Далее поскольку сопряженный к произведению операторов есть произведение в обратном порядке сопряженных (третье из

перечисленных свойств) то I A* ( A* ) 1 * ( A* ) 1 * A		но это означает, что ( A* ) 1 * A 1 .
Снова	выполняя сопряжение и учитывая правило 2	из приведенных выше, получаем
( A* ) 1	A 1 * , что и требовалось доказать.

Оператор A называется самосопряженным, если A A* .

Оператор A называется унитарным, если A 1 A* .

Оператор A X X называется нормальным, если AA* A* A .

Оператор A X X называется положительным, если

f X : Af		f 0 .

Оператор A X X называется строго положительным, если

66

f X : Af		f k				f				.

Легко видеть, что оператор A* A ,

построенный

как

произведение

исходного и

сопряженного оператора всегда положителен. Действительно

A* Af

f Af

Af

Af

2 0 .

Также очевидно, что унитарный оператор A сохраняет норму элемента:

2 Af

f

f

2 .

Af

Af

f

A*Af

f

A-1Af

f

Унитарные операторы чаще всего возникают в связи с преобразованием базиса

гильбертова пространства.

Исключительно важным для конкретных приложений и понимания сути решаемых задач

является следующее свойство сопряженного оператора, которое называется теоремой о ядре3

Теорема о ядре. Пусть A X ,Y и Ker A f X : A f 0 . Тогда

ортогональное дополнение к ядру оператора совпадает с множеством значений сопряженного

оператора Ker A Im A*
							.
Доказывается				этот	важнейший			результат в одну строчку.	Пусть f Ker A . Тогда
A f 0 и	q		A f		A*q		f 0 .	Но последнее означает, что	A*q Im A* и f взаимно

ортогональны. Что и требовалось показать.

Если AA* A* A то оператор A называется нормальным.

Подобно тому, как теорема Ф. Риса устанавливает общий вид линейного ограниченного функционала на гильбертовом пространстве H можно установить общий вид оператора

A L2 , , L2 , 4.

Теорема об общем виде оператора из L2 , , L2 , .

	A f s	d
			G s,t f t dt,
		ds
	s , : G s,t L2 , ; 5 G 0,t 0;				G s,t		2dt
где									A		2 s.

3

На самом деле приводимая ниже теорема справедлива в банаховых пространствах и именно там

раскрываются все ее замечательные следствия.

f s L2 , если

4

f s

2

f s

2 ds .

67

Выбрав в пространстве X ортонормированную последовательность

fi , а в пространстве

Y

последовательность

e ,

рассмотрим

элементы a Af

i

e

j

f

i

A*e

j

. Если

i

ij

aij2

A

2

A*

2 ,

то

A

2 называется

абсолютной нормой оператора6. Оператор с

ij

2

2

2

абсолютной нормой вполне непрерывен.

Этот результат оправдывает введение нового понятия. Однако важнейшая причина, по которой оно введено, служит то, что операторы с абсолютной нормой – вполне непрерывные операторы из A L2 , , L2 , образуют класс операторов Гильберта-Шмидта

имеющих следующий общий вид:

A f t K s,t f					t dt;
		K s,t		2 dsdt.

Таким образом, можно сделать вывод, что операторы Гильберта-Шмидта в качестве своего эквивалента имеют бесконечные матрицы с конечной суммой квадратов элементов матрицы. Это очевидное обобщение на бесконечномерный случай матричных операторов.

Собственные числа и собственные элементы.

Для	операторов,	отображающих гильбертово пространство	X в себя конструктивно
важным является понятие собственных чисел и собственных элементов.
Определение 1. Пусть замкнутый оператор A X X и для некоторых чисел
уравнение	A f f	имеет нетривиальное (не равное нулю)	решение. Тогда число

называется собственным числом (значением) а решение этого уравнения называется собственным элементом. Совокупность всех собственных чисел будем обозначать A .

Заданному собственному число может соответствовать не одно, а много собственных элементов.

Поэтому воспользуемся эквивалентным определением, состоящем в том, что для заданного

оператор A I тимеет нетривиальное ядро. Размерность подпространства	Ker A I
называется кратностью собственного числа.

5 Читается так: для любого s ,	G s,t L	, по переменной t .
	2

6 Нижний индекс «2» указывает на то, что рассматривается абсолютная норма.

68

Определение 2. Значения , для которых A I 1 X , X называется

регулярным (регулярной точкой). Остальные значения кроме регулярных называются спектром

оператора.

В общем случае спектр включает в себя во первых все собственные числа – это

изолированные точки спектра, во вторых те значения

для которых A I 1 неограничен

(как следствие определен не всюду в X ).

Теорема об ограниченности спектра.

Пусть A X , X .

Тогда из

A следует

A

. Эквивалентная формулировка такова – модуль спектра непрерывного оператора

содержится в круге радиуса не более нормы оператора.

Теорема о спектре самосопряженного вполне

непрерывного оператора.

Пусть A

самосопряженный вполне непрерывный

оператор7

из X

в X .

Тогда

существует

ортонормированный базис ei состоящий из собственных векторов A .

Доказательство. Прежде всего, доказывается ортогональность собственных элементов для различных собственных чисел. Различные собственные элементы, принадлежащие одному собственному числу (их число называется кратностью) могут быть ортогонализованы по

описанной ранее процедуре. Значит можно считать, что собственные числа, например i и j

различны и им соответствуют различные собственные элементы ei

и e j : Aei

iei

и

Ae j iej .

Тогда

e

e

j

Ae

e

j

e

A*e

j

*

e

e

j

, что в силу

различия

и

j

ведет к

i

i

i

i

2

i

i

0 . Теперь следует показать, что для всякого подпространства H в

ei

ej

X на H существует

хотя бы один собственный элемент и соответствующее собственное число. Рассмотрим

последовательность

нормированных

элементов

gi H

такую, что она сходится и

lim A gi

gi

.

Этот

предел

существует,

поскольку

i

A g

g

A g

M есть норма оператора А, суженного на H и

sup

sup

g

1, g H

g

1, g H

она не превышает обычной нормы

A на всем

пространстве. Далее, поскольку

A

вполне

непрерывен и переводит всякую ограниченную последовательность (в том числе и

gi

H ) в

последовательность в которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то

обозначим предел этой подпоследовательности h lim A gi . Поскольку

i

7 Оператор Гильберта Шмидта.

69

A gi gi 2 A gi 2 2 A gi gi 2 ,

то

lim

A g

g

i

2

h

2 2 2 2

h

2 2 .

i

i

Но

A gi M gi M .

Следовательно

h

и lim

A g

g

i

2 0 .

i

i

Следовательно

lim

A gi

h / .

i

Существование собственного элемента

доказано. Рассматривая оператор A на

последовательности подпространств, каждый член которой получается сужением предыдущего подпространства получаемого исключением из него подпространства найденных собственных элементов и вычерпав таким образом все подпространства получим полную систему собственных элементов.

Теорема о положительном спектре. Если оператор положителен, то его собственные

числа неотрицательны. Собственные числа сильно положительного оператора положительны.

Доказательство очевидно. Если Aej iej то	Aei		ei ei		ei	. Последнее равенство
можно читать в обе стороны.
Следующий результат очевидный вывод из определения. Если						0 A то Ker A

содержит не только нулевой элемент.

С теоремой о положительном спектре тесно связан следующий результат.

Теорема о квадратном корне. Пусть A X , X и неотрицателен. Тогда существует единственный неотрицательный оператор B X , X и B2 A и коммутирует с любым оператором, коммутирующим с A .

Оператор B называется неотрицательным корнем из A : B A . Применив эту теорему к неотрицательному оператору A* A определим абсолютную величину оператора A :

A A* A .

70