Механика 2-8

Контрольные вопросы

1.Датьопределение силы тяготения (гравитации) F через закон всемирного тяготения.

2.В чем заключается физический смысл гравитационной постоянной γ?

3.Какая сила называется силой тяжести G, весом тела P? Назовите точки приложения этих сил и их направление. Всегда ли сила тяжести G равна весу тела P ?

4.Какое различие имеется между весом тела P и силой притяжения F тела к Земле, если учесть суточное вращ ение Земли?

5.Опишите опыты по измерению гравитационной постоянной. Можно ли провести опыт Кавендиша в условиях невесомости? Как это сделать? Изменится ли при этом результат?

6.Что называется ускорением си лы тяжести? Как ускорение силы тяжести варьирует: а) от полюса к экватору; б). при удалении от поверхности Земли? Записать формулу Клеро.

7.Докажите, что ускорение силы тяжести не зависит от массы падающего тела.

8.Что собой представляет математический маятник? Вывести формулу для определения периода T колебаний математического маятн ика.

Индивидуальные задания

1.Найти амплитуду А, период Т, частоту ν и начальную фазу φ0 колебания заданного уравнением

x 5 sin	39,2 t 5,2	(см).
	5

Вычислить скорость данного маятника при t 1c.

2.Начертить на одном графике два гармонических колебания, имеющих одинаковую амплитуду А, период Т, но имеющих разность фаз 4 , 2, .

3.Какой наименьшей длины l надо взять нить, к которой подвешен однородный шарик диаметром D=4 см, чтобы при определении периода малых колебаний T шарика рассматривать его как математический маятник? Ошибка при таком допущении не должна превышать 1%. Ответ: l=0,069 м.

4.Однородный шарик подвешен на нити, длина которой l равна радиусу

шарика R. Во сколько раз период малых колебаний T1 математического маятника больше периода малых колебаний T2 математического маятника с таким же расстоянием от центра масс до точки подвеса. Ответ: T1/T2=1,05.

5.Определить напряженность G гравитационного поля на высоте h=1000 км

над поверхностью Земли. Считать известными ускорение g свободного падения у поверхности Земли и ее радиус R. Ответ: 7,5 м/с2.

6.Какая работа A будет совершена силами гравитационного поля при падении

на Землю m=2 кг: 1) с высоты	h=1000 км; 2) из бесконечности.
Ответ:А1=3,8·107 Дж, А2=1,46·108 Дж.

7.Из бесконечности на поверхность Земли па дает метеорит массой m=30 кг. Определить работу A, которая при этом будет совершаться силами гравитационного поля Земли. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными. Ответ:1875 МДж.

8.По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом T=90 мин. Определить высоту спутника. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

Ответ:280 км.

9.На каком расстоянии от центра Земли находится точка, в которой напряженность суммарного гравитационного поля Земли и Луны равна нулю. Принять, что масса Земли в 81 раз больше Луны и что расстояние от центра Земли до центра Луны равно 60 радиусам Земли.

Ответ: 54R3.

10.Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте h=520 км. Определить период обращения спутника. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

Ответ: 94,9 мин.

11.Определить линейную и угловую скоро сти спутника Земли, обращающегося по круговой орбите на высоте h=1000 км. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать

известными.

Ответ: 7,35 км/с, 0,99 с-1.

12.Какова масса Земли, если известно, что Луна в течение года совершает 13

обращений вокруг Земли и расстояние от Земли до Луны равно Ответ: 5,7·1024 кг.

Библиографический список

Трофимова Т.И. Тяготение. Элементы теории поля./Т.И.Трофимова //Курс физики:Учеб.--М; 2000.--Гл.5.,§22-27.--С.46-52.

Федеральное агентство по образованию РФ Ухтинский государственный технический университет

7

Определение модуля сдвига методом кручения

Методические указания к лабораторной работе для студентов всех специальностей дневной и заочной формы обучения

Ухта

2007

УДК 53 (075) Л 24

ББК 22.3 Я7

Лапина, Л.Н. Определение модуля сдвига методом кручения. [Текст]: метод. указания/ Л.Н. Лапина. – Ухта: УГТУ, 2007. – 10с.: ил.

Методические указания предназначены для выполнения контрольных работ по теме «Механика твердого тела» для студентов специальностей 290700, 290300 и направлению 550100.

Содержание методических указаний соответствует рабочей учебной программе.

Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой физики от 19.02.07., пр.№ 5.

Рецензент: Серов И.К., доцент кафедры физики Ухтинского государственного технического университета.

Редактор: Северова Н.А., доцент кафедры физики Ухтинского государственного технического университета.

В методических указаниях учтены предложени е рецензента и редактора.

План 2007 г., позиция 34. Подписано в печать16.04.2007.

Компьютерный набор: Илюшина Н.Н., гр. ИСТ 1 -05.

Обьем 10 с. Тираж 60 экз. Заказ № 209.

© Ухтинский государственный технический университет, 200 7 169300, г. Ухта, ул. Первомайская, 13 .

Отдел оперативной полиграфии УГТУ. 169300, г. Ухта, ул. Октябрьская, 13.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ИЗ КРУЧЕНИЯ

2

Краткая теория работы

Если проволоку, закрепленную с одного конца, закручивать, прилагая к другому концу пару сил FF с моментом, равным М, то угол кручения по закону

Гука оказывается равным:

CM ,

где C – коэффициент, зависящий от вещества проволоки. Модуль кручения f, равный:

	f	1		M ,	(1)
		C
	показывает, какой момент сил нужно приложить, чтобы				закрутить про-

волоку на угол в один радиан.

При закручивании проволоки происходи т чистая деформация сдвига (рис.1)

F

F

F

S

F

Рис. 1

При деформации сдвига, как показывает само название, происходит сдвиг одного слоя тела относительно другого. Примерно такая деформация возникает при перерезывании ножницами листа железа в момент предшествующий разрезу. Модуль сдвига N, равный:

	N	F	,	(2)
		S

определяет величину касательного усилия на единицу поверхности,

которое нужно приложить, чтобы сдвинуть один слой относительно другого на угол в один радиан.

Между модулем кручения f и модулем сдвига N материала проволоки существует простое соотношение:

	f			N r 4			,		(3)
					2L
	где r – радиус цилиндрической проволоки,								L – её длина.
	Размерность модуля сдвига N:		F					F		.
	N
		S				S

Таким образом в системе СИ модуль сдвига измеряется в Н/м 2.

3

Измерение модуля кручения может быть выполнено статическим или динамическим методом. В первом случае измеряется угол закручивания проволоки под действием определенного закручивающего момента. Во втором случае измеряется период крутильных колеба ний маятника, подвешенного на исследуемой проволоке. Рассмотрим второй метод.

Экспериментальная установка и вывод расчетных формул

Экспериментальная установка состоит из вертикально - висящей проволоки, к нижнему концу которой прикреплен горизонтальный металлический стержень с двумя симметрично расположенными грузами. Верхняя часть проволоки может быть зажата винтом в любом месте, что позволяет изменять длину деформируе мого (закручивавшегося) участка проволоки.

Рис. 2

Возбудим в системе крутильные колебания, для чего закрутим проволоку на некоторый угол поворотом горизонтального стержня.

Для описания этих колебании можно использовать основной закон

динамики вращательного движения M I :
	M I	d 2	.	(4)
Здесь M -		dt 2
	момент сил, обязанный своим происхожд ением упругим
деформациям,	I - момент инерции стержня с грузами,			- угол поворота

стержня.

Если амплитуда колебаний невелика, то для определения момен та сил М можно воспользоваться законом Гука в форме (1). Момент М в этом случае

вызван деформацией проволоки и стремится умень шить угол , поэтому:

M f .

После подстановки формула (4) приобретает вид:

	d 2		f	0 .	(5)
	dt 2		I

4

Обозначая If через 2 , получим линейное однородное дифференциальное

уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами .
Можно убедиться подстановкой, что его решением будет :
0 Sin( t ) ,	(6)

где амплитуда 0 и угол определяется начальными условиями. Таким

образом, является угловой частотой крутильных колебаний стержня, период которых T равен:

2			I
T	2			.		(7)
			f

Формула (7) получена для незатухающих колебаний, в то время как на самом деле колебания стержня всегда затухают. Если, однак о, затухание невелико, т.е. изменение амплитуды колебаний за период много меньше самой амплитуды, то формулой (7) можно пользоваться и для таких затухающих колебаний.

Как видно из формулы (7) период Т не зависит от амплитуды 0 . Однако

при больших амплитудах закон Гука нарушается и такая за висимость может появиться. Поэтому работа должна выполняться при таких амплитудах 0 ,

при которых T=const.

Из формулы (7) периода колебаний системы:

f		4 2 I		,			(8)
из формул (3) и (8):		T 2
		f 2L			8 LI
N						,	(9)
					r 4T 2
		r 4
где I - момент инерции системы равен сумме моментов инерции стержня и
двух грузов, закрепленных на стержне.

Моментом инерции материальной точки называется величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния от оси вращения:

Iточки mi ri				2 .	(10)
Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции всех
материальных точек, составляющих это тело :
I ri			2 dmi .		(11)
Для момента инерции стержня относительно					оси, перпендикулярной его
середине, формула (11) дает следующее выражение:
I	1		mстlст2 ,		(12)
12

где m – масса стержня, l – его длина.

Момент инерции двух грузов, находящихся на стержне на одинаковом расстоянии от оси вращения, можно вычислить по формуле момента инерции материальной точки:

5

			I mг Rг2 ,				(13)
где m - масса груза, а			R - расстояние от оси вращения. Таким образом,
момент инерции системы равен:
I	1		mстlст2 2mг Rг2 .				(14)
12

2r L

2R

Рис. 3

Выполнение работы

1.Измерить длину проволоки линейкой. Деформируемым участком проволоки будет участок проволоки между винтами (см. рис . 3)

2.Расположить грузы на концах стержня. Измерить длину стержня l и расстояние между грузами 2R (см. рис.3). Записать в таблицу R, l и r.

3.Повернуть стержень на угол 10 - 15° и отпустить. Придерживая проволоку вблизи стержня рукой добиться чисто крутильных колебаний маятника.

4.Включить секундомер на счет "ноль" и выключить на счет 10. Записать в таблицу время n=10 полных колебаний маятника. Найти среднее время и

период колебаний по формуле:	T	tcp	.
		n

5.Повторить опыт по измерению периода колебаний для другого расстояния между грузами 2R .

6.По результатам трех опытов вычислить три раза модуль сдвига N и найти

среднее значение Nср. По формуле:

2

N

2

L 2

I 2

r 2

T

N

L

I

16

r

4

T

,

6

вычислить относительную погрешность измерения модуля сдвига для одного из опытов.

По формуле:

I

2

2

2

2

mст

4

lст

mг

4

Rг

I

m

l

m

R

г

ст

ст

г

вычислить относительную погрешность измер ения момента инерции системы (стержень – грузы).

Таблица измерений

Измеряемая			1	2	3
	величина
π ± Δπ
L ±	L
r ±	r
n
t1
t2
t3
tср ±Δt
T±ΔT
mст ±		mст
lст ±		lст
mг ±		mг
Rг ±	Rг
I ±	I
N
N/N
N
Ncp ±		N

7

Контрольные вопросы

1.Какие виды деформаций вы знаете ?

2.Что показывает численное значение модулей сдвига и кручения?

3.Как определить модуль сдвига статическим методом?

4.От чего зависит модуль сдвига ?

5.Запишите закон Гука для деформации сдвига и поясните входящие в него величины. Сделайте соответствующий рисунок.

6.Что называется модулем кручения ?

7.Запишите зависимость угла отклонения от времени для нашего крутильного маятника.

8.Запишите связь момента силы с угловым ускорением.

9.Запишите момент инерции крутильного маятника, если считать стержень невесомым.

10.В результате изменения положения грузиков период колебаний увеличился в 2 раза. Как и во сколько раз изменился момент инерции системы?

Индивидуальные задания

1.Определить момент инерции J материальной точки массой m=0,3 кг

относительно оси, отстоящей от точки на r=20 см. Ответ: 0,012 кг · м2.

2.Три маленьких шарика массой m=10 г каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной a=20 см и скреплены между собой. Определить момент инерции J системы относительно оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности и одну из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шары,

пренебречь.

Ответ: 2 · 10-4 кг·м2.

3.К ободу однородного сплошного диска радиусом R=0,5 м приложена постоянная касательная сила F=100 Н. При вращении диска на него действует

момент сил трения Mтр=2 Н·м. Определите массу m диска, если известно, что его угловое ускорение ε постоянно и равно 16 рад/с2.

Ответ: m=24 кг.

4.Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J=1 кг·м2, вращается с частотой n=240 об/мин. Через t=1 мин после начала действия сил

торможения он остановился. Определите : 1)Момент M сил торможения; 2)число оборотов маховика от нача ла торможения до полной остановки.

Ответ:1) M=62,8 Н·м 2) N=120.

8