pos322641
.pdf61
где r – расстояние от оси кабеля до точки, в которой определяется Н.
Эта формула верна при постоянном токе I. Рассчитаем магнитное потокосцепление внутри внутреннего провода (жилы) через площадку 0mnp, где l
– длина кабеля. Магнитное потокосцепление через заштрихованную площад-
ку dS:
dψ = |
|
|
|
= B COSdS = |
Irµ0µrldr |
, |
|||||
BdS |
|||||||||||
2πr2 |
|||||||||||
вн |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
а через всю площадь 0mnp: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lIµ µ |
r1 |
lIµ µ |
|
|
|
|||
ψBH = |
|
0 r |
∫ rdr = |
|
0 r |
|
. |
|
|||
2πr2 |
|
4π |
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
Магнитное поле обратного провода не учитывается в соответствии с законом полного тока.
Рис.2.11. К расчету магнитного потокосцепления в слое изоляции
Индуктивность кабеля:
Расчет магнитного потокосцепления в слое изоляции r1 < r < r2, т.е. через площадку pnkc (рис. 2.11.).
Напряженность магнитного поля в слое изоляции Нн в соответствии с законом полного тока определяется как в примере 2.1.:
H |
|
= |
I |
. |
H |
|
|||
|
|
2πr |
Магнитное потокосцепление в слое изоляции:
|
|
|
|
|
|
r2 |
lIµ |
lIµ |
|
r |
||
ψH = ∫ |
BHdS = ∫ |
|||||||||||
0 |
dr = |
0 |
2 |
|||||||||
|
|
LN |
|
|||||||||
2πr |
2π |
r |
||||||||||
S |
из |
|
|
|
|
r |
|
|
|
1 |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
.
L ≈ |
ψ |
+ψ |
= |
lµ |
|
µ |
+ LN |
r |
|
|
вн |
н |
0 |
= |
r |
2 |
. |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
I |
|
|
2π |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
r |
|
62
2.2.3 Идеальный конденсатор
В параграфе 1.1.1 уже рассматривалось понятие емкости одного заряженного тела. В данном параграфе рассмотрим емкость двух проводящих заряженных тел разделенных диэлектриком.
Электрическая емкость вообще характеризует свойство проводящих тел заряжаться под влиянием электрического поля, а также накапливать в поле этих тел электрическую энергию.
Конструктивно конденсаторы представляют собой две пластины, называемые обкладками (рис. 2.12.). Обкладки разделены диэлектриком. Их заряжают, присоединив к разноименным зажимам одного источника. Тогда заряды этих тел будут равны по величине и противоположны по знаку (q1 = - q2, причем |q1| = |- q2| = |q|). Образование зарядов на двух телах в этом случае можно рассматривать как перенос электронов с тела, заряжаемого положительно, на тело, заряжаемое отрицательно. Заряд каждого тела будет пропор-
ционален разности потенциалов ϕ1 −ϕ2 :
q =C (ϕ1 −ϕ2). |
(2.9) |
Тогда:
C = |
|
q |
|
, |
(2.10) |
|
|
|
|||
|
ϕ |
−ϕ |
|
||
1 |
|
2 |
|
|
следовательно, емкость численно равна отношению заряда одного из тел к разности потенциалов между ними. Емкость системы в этом случае, как и в случае уединенного проводника, зависит от формы, размеров, поверхности тел, их взаимного расположения, а также от диэлектрической проницаемости среды εr . При постоянном значении всех перечисленных величин, от которых зависит потенциал тел, величина С также постоянна. В общем случае, когда все эти величины под влиянием каких-либо причин изменяются, емкость не остается постоянной.
63
Идеальным конденсатором будем называть устройство, состоящее из двух проводящих пластин, разделенных диэлектриком, для которого учиты-
вают только емкость С (способность накапливать заряды) и энергию в электрическом поле.
Свойством проводимости диэлектриком тока (электронной, ионной и т.д.) с преобразованием электрической энергии в тепловую пренебрегают, как и наличием коэффициента самоиндукции и взаимной индукции. Другими словами: R = 0, L = 0, M = 0.
Величина тока в идеальном конденсаторе обусловлена исключительно величиной плотности тока электрического смещения δсм = ∂D /∂t, где D -
вектор электрического смещения. Если охватить одну из обкладок замкнутой поверхностью в виде параллелепипеда (рис. 2.12.), то в соответствии с первым законом Кирхгофа:
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δпрdS + |
δсмdS = iпр |
−iсм |
|
|
|||||||||||||
δdS = |
|
|
= 0, |
(2.11) |
|||||||||||||||
S |
LFMP |
|
|
|
|
|
OKNQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
где δпр - плотность тока проводимости.
Следовательно: iпр = iсм .
Когда по проводнику, пересекающему поверхность LFMP направлен к обкладке ток проводимости iпр, в диэлектрике образуется ток смещения, проходящий сквозь поверхность OKNQ изнутри наружу в точности равный току iпр в проводнике. Линии тока смещения в диэлектрике являются продолжением линий тока в проводнике. Таким образом, цепь электрического тока является замкнутой.
Величина тока iпр численно равна количеству электрических зарядов, пересекающих сечение проводника в единицу времени. Очевидно, на токае же
количество зарядов в единицу времени должен измениться заряд q пластины:
i |
|
= |
dq |
=C |
du |
, |
(2.12) |
пр |
|
|
|||||
|
|
dt |
|
dt |
|
64
где dq - скорость изменения заряда q. dt
Если напряжение источника энергии изменяется по синусоидальному закону u(t)=UmSIN(ωT +α), то:
i |
|
=C |
d |
U |
|
SIN(ωt +α) =CωU |
|
|
COS(ωt +α) = |
|
|||
пр |
|
m |
m |
|
|||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
(2.13) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
||
|
|
|
|
=CωU |
|
SIN ωt +α + |
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Амплитуда синусоидального тока:
I |
|
= |
Um |
, |
(2.14) |
m |
|
||||
|
1 |
|
|
||
|
|
|
ωC |
|
где 1ωC = xC - сопротивление конденсатора синусоидальному току.
Соотношение (2.14) называют законом Ома для амплитудных значений тока и напряжения на конденсаторе.
В соответствии с формулами
(2.12) и (2.14) можно сказать, что ве-
личина сопротивления идеального кон-
денсатора току обратно пропорцио-
нальна произведению величины емкости и скорости изменения напряжения на конденсаторе.
Для постоянного напряжения и тока идеальный конденсатор оказывает бесконечное сопротивление.
Таким образом, физическая природа сопротивления идеальных пассивных элементов (резистора, ка-
тушки индуктивности и конденсатора) существенно различна.
65
Пример 2.6.
Рассчитать емкость плоского конденсатора в общем виде (рис. 2.12.), пренебрегая искажением поля у краев пластин и считая поле между пластинами однородным.
Решение.
Для случая l >> d; b >> d можно считать при параллельном расположении пластин и идеальном диэлектрике, что в любой плоскости между пластинами и параллельной пластинам все точки одинаково расположены по отношению к заряженным пластинам и, следовательно, имеют равные потенциалы и характеристики E и D. Если воспользоваться теоремой Гаусса для параллелепипеда LFMPNQOK, учитывая, что поток вектора D через грань LFMP равен нулю, из-за отсутствия поля вне объема конденсатора, поток вектора электрической индукции будет равен:
∫ DdS = ∫ DdS = σS =Q ,
OKNQ
где σ - поверхностная плотность электрических зарядов пластины; S – площадь поверхности электрода.
Так как величина заряда пластины Q не зависит от размера LO, следовательно, учитывая D = const, приходим к выводу о равномерности поля для всех точек внутри конденсатора. Уменьшая размеры параллелепипеда до элементарного объема, можно получить равенство D S = σ S , или D = σ для любой точки на поверхности пластины.
По определению:
C = |
Q |
= |
σS |
= |
|
σS |
|
= |
ε ε S |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
r |
|
, |
|
|
|
||||
U |
Ed |
|
σd |
|
|
d |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε0εr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Е – напряженность электрического поля, равная |
D |
ε ε |
= |
σ . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε ε |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
r |
|
0 r |
66
Пример 2.7.
Получить формулу для емкости одножильного кабеля (рис. 2.13.) в общем виде. Размеры указаны на чертеже. R1 – радиус внутреннего электрода (жилы), а R2 – внутренний радиус второго электрода (оболочки). Диэлектри-
ческая проницаемость диэлектрика - εr . L – длина кабеля.
Решение.
Рассмотрим сечение кабеля на рис. 2.14. Внутренняя жила кабеля 1 подключена к положительному зажиму источника питания, а оболочка 2 подключена к отрицательному зажиму источника питания. В результате происходит зарядка жилы зарядом + q и оболочки зарядом – q.
Рассмотрим характер электростатического поля, созданного электродами. Выбираем произвольную точку а в диэлектрике и соединим центральную точку 0 с точкой а отрезком 0а.так, как свободные электрические заряды жилы и оболочки противоположного знака, то под действием сил притяжения они перемещаются на поверхность. Так как система проводников носит коаксиальный характер (соосный), то заря-
ды располагаются по поверхности
Рис. 2.13. К примеру 2.7.
проводников равномерно с плотностью σ1 и σ2 .
Выбираем на поверхности жилы на расстоянии х две одинаковые пло-
щадки S1 |
и |
S2, симметрично расположенные относительно точки к. цен- |
|||
тры этих площадок – |
точки р и f. Заряды на площадках |
S1 |
и S2, соответ- |
||
ственно q1 |
= |
S1σ1 |
и q2 = S2σ1 , одинаковы: q1 = q2 |
= q . |
Прямоугольные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67 |
|
треугольники |
рка и |
|
fка равны друг другу, так как рк = кf = х, а сторона fа |
|||||||||||||||||
общая, следовательно, fa = pа = r. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Напряженность электрического поля в точке а, созданная зарядами q1 и |
|||||||||||||||||||
q2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
= E1 +E2 , |
|
|
|
||||||||
где E |
|
= |
q1 |
|
= E |
|
= |
q2 |
, так как q |
|
= q |
|
. |
|||||||
1 |
4πε ε r2 |
2 |
4πε ε r2 |
1 |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
r |
|
|
|
0 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, Et1 +Et2 = 0, а вектор E имеет только радиальную со-
ставляющую, совпадающую по направлению с отрезком 0а.
Если окружность с радиусом 0а разбить на симметричные пары участков, то все пары внесут в вектора напряженности электрического поля в точке а только радиальные составляющие.
Все точки окружности с радиусом 0а, как и все точРис. 2.14. Сечение кабеля ки цилиндрической поверхности, имеют одинаковую на-
пряженность электрического поля в связи с одинаковым расположением относительно заряженных поверхностей. Такое поле называют осесимметрич-
ным. Так как вектор электрической индукции D = ε0εrE , то воспользуемся теоремой Гаусса для определения вектора напряженности электрического поля по потоку вектора D через цилиндрическую поверхность S0 единицы длины кабеля:
∫ DdS = ∫ DCOSθdS = D2πR = ∫ δdS = τ,
S0 |
S0 |
S |
68 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где S0 - площадь поверхности цилиндра с радиусом 0а; |
Sж - площадь по- |
||||||||||||||||||||||
верхности жилы; τ - заряд жилы на единицу длины, τ = σж2πR1 . |
|||||||||||||||||||||||
Следовательно, D = |
τ |
|
, а E = |
|
|
|
τ |
.. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2πR |
|
|
|
|
|
2πRε0ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Разность потенциалов между жилой и оболочкой (точки 1, 2 рис. 2.14.): |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
τdR |
|
|
|
|
τ |
|
R |
||||
U12 = ∫ EdR = ∫ |
|
= |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LN |
2 |
. |
||||||||||||
|
|
2πε ε |
2πε ε |
R |
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
0 |
r |
|
|
|
|
0 r |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
τ |
|
|
= |
2πε ε |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 r |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
LN |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.8.
Получить выражение для емкости единицы длины двухпроводной линии передачи электрической энергии длиной l с цилиндрическими проводами (рис. 2.15.) без учета влияния земли. При этом следует считать, что радиус провода R0 поперечного сечения проводов значительно меньше расстояния d0 между ними и εr ≈ 1.
Решение.
Для воздушных линий электропередачи обычно l >> d0 >> R0 и заряды распределяются равномерно по поверхности каждого провода и влиянием конечного размера длины можно пренебречь.
Результирующее электрическое поле можно рассчитать по принципу наложения двух электрических полей проводов (жил) заряженных линейными плотностями равных зарядов + τ1 и – τ2 по ве-
69
личине и противоположных по знаку. Напряженность электрического поля, созданного первым проводом, можно определить по формуле для жилы предыдущего примера 2.7:
=τ
1 2πε0R1
анапряженность электрического поля, созданного вторым проводом:,E
τ
E2 = 2πε0(d0 −R1).
Напряженность результирующего электрического поля:
E = E1 +E2 ,
так как оба вектора направлены одинаково, можно перейти к скалярному уравнению:
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
E = E1 +E2 = |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2πε |
R |
|
|
|
−R |
|
|
|||||||
На основании формулы (1.6): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
d−R0 |
|
|
|
|
|
d−R0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
dR1 |
|
|
|
|
|
dR1 |
|
||||
U12 = ∫ EdR1 |
= |
∫ |
|
+ ∫ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
2πε0 |
|
R1 |
|
d0 |
−R1 |
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
R |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для второго интеграла прейдем к новой переменной интегрирования y = d0 −R1, следовательно, dR1 = −dy и разность потенциалов определяется
выражением:
U |
|
= |
τ |
|
12 |
2πε |
|||
|
|
|||
|
|
|
0 |
Следовательно,
|
d −R0 |
|
d−R0 |
d(d0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d −R0 |
|
R0 |
|
|
|
|||
|
− |
|
|
|
−R1) |
= |
|
τ |
|
− |
|
dy |
= |
||||||||||
LN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LN |
|
|
|
|
||||
R |
∫ d |
|
−R |
|
2πε |
R |
∫ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||||||
|
1 |
|
R0 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
d0−R0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
τ |
|
|
LN |
d −R0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
πε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
искомая емкость:
C0 = |
τ |
= |
|
πε |
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
. |
||
U |
|
d |
0 |
−R |
|||||
|
|
12 |
|
LN |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
70
2.2.4 Схемы замещения реальных электротехнических устройств
В реальных электротехнических устройствах и электротехнических цепях происходят достаточно сложные процессы, основанные на рассмотренных электрофизических явлениях. С
помощью |
идеальных |
элементов |
|
|
C |
|
а) |
б) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
можно создавать схемы замещения |
|
R |
R |
L |
||
|
|
|
|
|||
(модели), вводя в них резистивные, |
|
|
|
|
||
индуктивные и емкостные элементы. |
в) |
г) |
R |
|
||
|
|
|
|
C |
C |
L |
С помощью резистивного элемента |
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
учитывают преобразование электри- |
|
|
|
|
||
ческой энергии в тепловую; с помо- |
|
|
|
C |
||
д) |
е) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
щью индуктивного элемента – наве- |
|
L |
L |
R |
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
дение ЭДС самоиндукции и накоп- |
Рис. 2.16. Схемы замещения реальных |
|||||
ление энергии в магнитном поле; с |
|
электротехнических устройств |
||||
помощью |
емкостного |
элемента – |
|
|
|
|
протекание токов смещения и накопление энергии в электрическом поле. Так резистор для низких частот можно представить одним резисторным элементом R (рис. 2.16. а). Для высоких частот тот же резистор должен быть представлен уже иной схемой (рис. 2.16. б). В ней индуктивность L учитывает магнитный поток, сцепленный с резистором, а емкость С учитывает протекание тока смещения между зажимами резистора. Конденсатор на низких частотах замещают одним емкостным элементом (рис. 2.16. в), а на высоких частотах конденсатор представляют схемой (рис. 2.16. г). В этой схеме резистор R учитывает потери энергии в реальном диэлектрике, а L учитывает индуктивность подводящих контактов. Индуктивную катушку в первом приближении можно представить одним индуктивным элементом L (рис. 2.16. д). Более подробная схема замещения (рис. 2.16. е) учитывает тепловые потери в сопротивлении обмотки и в сердечнике, на котором они намотаны, а емкость С учитывает токи смещения между витками катушки. Совершенно так же с