18

чистого сдвига. При а = 45º и β = 135º имеем σ α =τ ,σ β = −τ,τα = τ β = 0

Е. Д е ф о р м а ц и я с д в и г а. Рассмотрим деформацию сдвига на примере изгиба тонкостенной системы (рис. 9.8). Штриховыми линиями на этом рисунке показаны положения системы и выделенного элементарного прямоугольника 1-2-3-4 до деформации, а сплошными – после

деформации.

	Угол		сдвига у с учетом того, что
	sin y ≈ y, cos y ≈ 1, будет
	tgy =	a	≈ y
		h

В случае кручения круглого вала (см. рис. 9.9) будем иметь: длина дуги LBB′ равна LBB′ = tgyl = Rϕ или yl = Rϕ .

Отсюда угол закручивания φ будет ϕ = ylR .

§9.3. Кручение стержня круглого сечения

При расчете стержня на кручение надо решить две задачи: о п р е д е л и т ь к а с а т е л ь- н ы е н а п р я ж е н и я и н а й т и у г л о в ы е с м ещ е н и я в зависимости от действия внешних сил.

Рассмотрим кручение стержня кругового поперечного сечения (см. рис. 9.10а). Теория кручения (теория Кулона) этого стержня строится на следующих предпосылках:

1) поперечные сечения остаются плоскими после деформации (выполняется гипотеза Бернулли – гипотеза плоских сечений);

2)расстояния между поперечные сечениями не изменяется, значит ε x = 0

3)контуры поперечных сечений и их радиусы не деформируются. Это значит, что поперечные сечения при деформации ведут себя как жесткие диски, поворачиваясь, относительно друг от друга вокруг оси 0х Отсюда следует, что деформации в плоскости

диска отсутствуют, т.е. ε z = ε y =0;

4) материал стержня подчиняется закону Гука, Так как ε x = ε y = ε z = 0 , то из обобщенного закона Гука получаем, что σ x = σ y = σ z = 0 . А это означает, что в поперечных сечениях

стержня под действием крутящегося момента возникают только к а с а т е л ь н ы е напряжение τ. С учетом закона парности касательных напряжений в стержне будет напряженное состояние – чистый сдвиг.

Выведем формулу для касательных напряжений τ при кручении стержня кругового сечения. Для этого двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dx (см.

рис. 9.106)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

На рис 9.10а линия А 0 ВС – положение образующей до деформации, линия А0 B′D′C′ — положение образующей после деформации, у— угол сдвига,φ – угол закручивания. Длина

		dϕ	dLD′F дуги	равна (см. рис. 9.10б)
	ydx = pdϕ; y = p			(9.2)
		dx

где ddxϕ = θ — погонный угол закручивания.

Переходя по закону Гука к напряжениям (τ = Gγ), с учетом (9.2) получаем

τ = Gpθ

(9.3)

где τ – касательные напряжения возникающие в поперечном сечении бруса под действием В выражении (9.3) неизвестным является погонный угол закручивания . Для его нахождения составим зависимость типа (9.1), которая в данном случае примет форму

(см.рис.9.11)

M кр = òdTp = ò pτdF

(9.4)

F

F

С учетом (9.3) выражение (9.4) будет

M кр = òGθp2 dF = Gθ ò p2 dF = GθJ p

(9.5)

F

F

Откуда погонный угол закручивания равен

θ =

M

кр

(9.6)

GJ p

Величину GJ p

называют ж е с т к о с т ь ю п о п е р е ч н

о г о с е ч е н и я п р и

к р у ч е н и и (крутильной жесткостью).

Элементарный угол закручивания равен

dϕ =

M кр dx

(9.7)

GJ p

Полный угол закручивания стержня длиной l будет

ϕ = òl

M кр dx

(9.8)

0

GJ p

Подставляя (9.6) в(9.З), получаем

τ =

M кр p

(9.9)

J p

τ max

=

M кр pmax

=

M кр

Wp

J p

где

Wp =

J p

Þ

полярный момент ‚сопротивления, pmax =

D

,

где

D − диаметр

pmax

2

вала (см. рис. 9.12).

J p =

πD4

,

Wp =

πD3 Þ

32

16

для круглого сечения,

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

	J p =	πD4	(1-α 4 ),	α =	d	,	Wp =	πD3	(1-α 3 )Þ для кольца, где d — внутренний
		32			D			16

диаметр кольца.

На рис. 9.12 помещены эпюры распределения касательных напряжений τ соответственно по круглому сечению и по кольцу.

Главные напряжения при кручении, так как σ = 0 . равны

1

éσ ±

+ 4τ 2 ù

,

σ

= ±τ , σ

σ

1.3

=

σ 2

1.3

2

= 0

ê

ú

2 ë

û

Продольные волокна при кручении стержня испытывают чистый сдвиг (см. рис. 9.1За), Следовательно в каждой паре ортогональных площадок наклонных к оси стержня под углами ±45° (см. рис. 9.136), будут действовать нормальные напряжения, равные по величине касательному напряжению; при этом одно из них растягивающее, а другое сжимающее. На наклоненных площадках под углами не равными 45º будут действовать нормальные и касательные напряжения.

Площадки, по которым действуют наибольшие растягивающие напряжения σ, располагаются на винтовой поверхности Именно по этой поверхности и разрушаются хрупкие материалы при кручении, так как они хуже сопротивляются отрыву, чем сдвигу. Пластичные материалы, наоборот. хуже сопротивляются сдвигу, чем отрыву. Поэтому образцы из пластичных материалов разрушаются при кручении по плоскости поперечного сечения, где действуют.

§ 9.6. Расчет на прочность и жесткость при кручении

В основе

проектировочных расчетов лежат условия прочности

τ max £ [τ ]

жесткости θ ≤ [θ ]

К р у г л ы й в а л. диаметр вала из условия прочности

M кр max

16M кр max

Wp =

, D = 3

[τ ]

π [τ ]

диаметр вала из условия жесткости

M кр max

θmax =

£ [θ ], D = 4

32M кр max

πG[θ ]

GJ p

Допускаемое напряжение для хрупких материалов [τ ]= τnB , для пластичных

материалов [τ] = τnT , где n — коэффициент запаса прочности.

Так как механические характеристики изотропного материала при кручении (сдвиге) и растяжении взаимно связаны, то существует определенная зависимость между

[σ] и [τ]

Для пластичных материалов

[τ ]= (0.5 ¸ 0.65)[σ ]

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Запас прочности при проверочном расчете определяется как и при растяжении, по формуле

n τ пред

τmax

§9.7. Статически определимые и статически неопределимые задачи при кручении

за).

А.Статически определимая задача (м.рис9.26).Уравнение равновесия

M1 + M 2 − M 3 + M 4 = 0

Б. Статически неопределимая задача (см.рис.9.27). При кручении. как и при растяжении (сжатии) и изгибе, встречаются статически неопределимые задачи. Для их решения к уравнениям равновесия дополнительно надо составить уравнения совместности деформации.

Уравнение равновесия будет

åM кр (x)= M A − M кр + М В = 0

Уравнение совместимости деформации

ϕ AB = ϕ AC +ϕCB = 0 или

M Bb	+	(M B − M кр )a	= 0
		GJ p
GJ p

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Глава 8 ИЗГИБ

§ 8.1. Виды изгиба

Изгибом называется такой вид нагружения 6алки, который сопровождается искривлением ее оси, (см. рис. 8.1а) либо изменением ее кривизны (см. к. 8.1б).

Изгиб прямого бруса может быть вызван поперечными внешними силами и при некоторых условиях — продольными.

Отсюда изгиб, вызванный поперечной нагрузкой, называется поперечным, (см. рис 8.2а), а изгиб, вызванный продольными силами, называется продольным

(см. рис. 8.26).

Встречается продольно - поперечным изгиб

(см.рис. 8.3.).

Поперечный изгиб подразделяется на п р я м о й (плоский) (см. рис. 8.4а) и к о с о й (см.

рис. 8.46).

Будем считать, что оси 0у и 0z — главные центральные оси инерции поперечного сечения балки, а плоскости Оху и Охz: — главные плоскости инерции балки.

Если силовая плоскость (заштрихованная плоскостью1-2-3-4 на рис. 8.4а) действия внешних сил совпадает с одной из главных плоскостей инерции, например с плоскостью Ох, то изгиб называется п р я м ы м. В случае, когда это условие не выполняется, изгиб называется к о с ы м (см. рис. 8.4б, плоскости Оху и 5-б-7-8 не

совпадают), но при обязательном условии, что силовая плоскость должна проходить через центр тяжести сечения балки. В противном случае будет сложное нагружение (см. рис. 8.4в)

— например. изгиб с кручением.

При поперечном изгибе M z ¹ 0;Qy ¹ 0

(см.

рис. 8.56).

Если в сечении присутс твует

только M z , а Qy = 0 то такой изгиб называется чистым (см. рис.8.5а)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§ 8.2. Связь внутренних силовых факторов с напряжениями

При поперечном изгибе балки внутренние силы, действующие в ее сечениях, равны:

N = òdN = òσdF;

F	F
M y = ò zdN = ò zσdF;
F	F
M z = ò ydN = ò yσdF;
F	F
Qy = òdQy = òτ xy dF;
F	F
Qz = òdQz = òτ xz dF;
F	F
M кр = ò(dQy z − dQz y)= ò(τ xy z −τ xz y)dF.
F	F

§ 8.3. Нормальные напряжения при чистом изгибе

При чистом изгибе в поперечном сечении балки возникает только один силовой фактор — изгибающий момент М, ,который равен

M z = ò yσdF	(8.1)
F

Чтобы найти М z по формуле (8.1), надо установить закон распределения σ по плоскости поперечного сечения балки. Для этого воспользуемся, как и в случае растяжения (сжатия), гипотезой плоских с ч е н и й.

Опыт показывает, что при чистом изгибе в рамках малых деформаций (см. рис. 8.8а, 6) продольные линии искривляются, а поперечные поворачиваются, оставаясь прямыми и перпендикулярными к искривленным дольным линиям. Это обстоятельство говорит о выполнении г и п о т е з ы плоских сечений.

Замеры расстояний между продольными линиями позволяют прийти выводу о справедливости г и п от е з ы о н е н а д а в л и в а н и и продольных волокон друг на друга (σ y = σ z = 0).

Таким образом, чистый изгиб балки сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями σ. При этом часть волокон находится в зоне растяжения (верхние, волокна на рис. 8.8б), а другая часть—в зоне сжатия (нижние волокна на рис. 8.8б). Эти разделены переходной областью—нейтральным слоем, не меняющим своей длины, но искривляющимся, напряжения в котором равны нулю.

К существованию нейтрального слоя приводит и уравнение

	N = òσdF = 0			(8.2)
	F
	Получим формулы для кривизны
	нейтрального слоя	1		(р — радиус
		p

кривизны) и нормальных напряжений σ,

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

считая, что выполняются указанные выше гипотезы и материал подчиняется закону Гука:

σ = Εε .

Выделим двумя сечениями элемент балки длиной dx (см. рис. 8.8а) и изобразим его отдельно (см. рис. 8.9а).

					На рис 8.9а СD — нейтральный слой.
		линия АВ				— продольное волокно,
		находящееся на расстоянии y от нейтрального
		слоя.
					Относительная					деформация
		продольного волокна A′B′ (см. рис. 8.9б) будет
		ε(y)=	(p + y)dϕ − pdϕ				=	y		(8.3)
								p
					pdϕ
Нормальное напряжение σ, растягиваются волокно АВ на основе закона Гука
равно				y
		σ = E								(8.4)
				p
Однако, формула (8.4) непригодна для использования так жит две неизвестные:
кривизну нейтрального слоя	1	и положение нейтральной							линии,	от которой
	p

отсчитывается координата у. Определим положение нейтральной линии из уравнения (8.2),подставляя в него зависимость (8.4):

N = òσdF =	E	ò ydF =	E
				S z = 0 .
	p		p
F		F

Соотношение Ep ¹ 0 , значит. статический момент S z = 0 . Статический момент Sz

равен нулю только относительно центральной оси. Следовательно, нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения балки.

С учетом (8.4) соотношение (8.1) примет форму

M z =	E			òF		y 2dF =			E	J z	(8.5)
	p								F
Отсюда кривизна будет равна			1				M z
						=					(8.6)
			p				EJ z

Из анализа зависимости (8.6) следует, что кривизна является деформации балки при чистом изгибе. Величина EJ z называется жесткостью поперечного сечения балки при

изгибе.

Подставляя (8.6) в (8.4). получаем (формулу Навье)

σ =	M z y	(8.7)
	J z

Как видим максимальное напряжение по модулю возникает в точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя (примеры на рис. 8.10а, б).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

	σ max	=	M z ymax
			J z

Введем геометрическую характеристику

поперечного сечения при изгибе.

Тогда формула (8.7) примет вид

J

Wz = y z — м о м е н т с о п рот и в л е н и я

max

maxσ = M z

Wz

Последней формулой удобно пользоваться для расчета на прочность балок, изготовленных из пластичного материала, работающего одинаково на растяжение и сжатие.

Условие прочности выглядит так:

M z max [ ] maxσ = ≤ σ .

Wz

При расчете на прочность балок из хрупкого материала условие прочности будет иметь вид:

maxσ

p

=

M z max

y

(p)

≤ [σ ] , maxσ

c

=

M z max

y

(c)

≤ [σ ]

max

max

J z

+

J z

−

Отметим, что гипотеза плоских сечений (техническая теория изгиба Бернулли-

Эйлера) справедлива для балок, для которых

h

<<1

l

§ 8.4. Нормальные и касательные напряжения при

поперечном изгибе

При поперечном изгибе M z ¹ 0,Qy ¹ 0 (см. рис. 8.1 2а, б, в ) (при этом полагают

τ xz = 0 (см. рис. 8.12г), так как из теории упругости τ xy	>>τ xz ).
Тогда
M z = ò yσdF, Qy = òτ xy dF .
F	F

Особенности поперечного изгиба

1. Формула (8.7) для определения нормальных напряжений σ при поперечном изгибе виде из-за наличия касательных напряжений т., неприменима, так как не выполняется гипотеза плоских

сечений. Происходит депланация сечений (см. рис. 8.13.).

На рис. 8136 линия A′Β′ — положение точек

продольного волокна в соответствии с гипотезой плоских сечений при чистом изгибе; линия Α′′Β′′ – положение точек продольного волокна при поперечном изгибе; они выходят из плоскостей сечения I—Iи II—II, т. е. депланируют.

Однако для балок с высотой h < 4l погрешность формулы (8.7) невелика, ее применяют для определения нормальных напряжений σ и при поперечном изгибе

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2. При выводе формулы (8.7) использовалась гипотеза об отсутствии надавливания продольных волокон друг на друга (σ y = 0). При поперечном изгибе

наблюдается отклонения от этой гипотезы: в местах приложения сосредоточенных сил (см. рис. 8.14а) и в местах приложения распределенных нагрузок (см.рис. 8.14б)

При этом если в первом случае (рис. 8.14) σ y > σ x в зоне приложения силы Р и быстро

убывает по мере удаления от нее в соответствии с принципом Сен-Венана. то во втором случае (рис. 8.146) давления на верхние волокна балки σ y = -qb и соотносятся сσ x как

σ y	æ h ö			2
	= ç		÷	<< 1
σ x
	è l ø

Перейдем к получению формулы для определения касательных напряжений. Примем, что нормальные напряжения определяются по формуле (8.7), а касательные напряжения равномерно распределены по

ширине поперечного сечения балки (это предположение выполняется тем точнее, чем уже b по сравнению с h, т.е. b<<h).

Далее воспользуемся рис. 8.15.

Составим уравнение равновесия отсеченной части элемента балки длиной dx их плоскостью А—А, находящейся на расстоянии y A от нейтрального слоя.

N I − N II +τ yxb(y)dx = 0

(8.8)

где N I и N II — равнодействующие от нормальных напряжений σ и σ+dσ, действующих на торцевых площадка отсеченной части элемента с учетом (8.7) они равны

N I =

ò

σdF* =

M z

ydF* =

M z

Sz*,

J z

ò* J z

F*

F

N II = N I + dN = ò(σ + dσ )dF* =

M z + dM z

Sz*

(8.9)

F

*

J z

где F*— площадь отсеченной части элемента плоскостью А–А, у – расстояние от

нейтрального слоя до элементарной площадки отсеченной части dF*, S z* — статический

момент отсеченной части.

подставляя (8.9) в (8.8), получаем

M z	Sz* -	M z + dM z
J z		J z

τ yx b(y)dx = dMJ z S *z

z

S*z +τ yxb(y)dx = 0;

,τ =	dM z Sz*
				.
	dx		J z b(y)

Окончательно, с учетом, что dMdxz = Q ,

имеем выражение

QS * (y)

τ = z ( ) , (8.10)

J z b y

которое называется формулой Журавского.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

В этой формуле b(у) — ширина сечения в том месте, где определяются касательные напряжения, S z* (у) — статический момент отсеченной части сечения. В формуле (8.10) Q

и S *z —абсолютные величины. Поэтому по (8.10) определяют только величину τ. Что

касается направления τ, то оно считается параллельным Q и направленным в сторону его действия.

Несмотря на то, что зависимость (8.10) получены для узких прямоугольных сечений

æ h		ö	, на практике ею можно пользоваться для определения касательных Напряжений
ç		> 2÷
è b		ø

любых сечений, но при условии, что плоскость действия нагрузки (силовая плоскость) перпендикуляра одной из главных центральных осей.

§8.5. Касательные напряжения при поперечном изгибе тонкостенных балок

На рис. 8.19 изображены широко используемые виды тонкостенных балок.

Определим касательные напряжения на примере поперечного изгиба балки двутаврового сечения. На рис. 8.20 изображен элемент тонкостенной балки

длиной dx, нагруженной изгибающим моментом M z и поперечной силой Qу.

Так как δ ст < h, то τ ст (сечение 1—1)

будет определяться по формуле Журавского

(8.10).

В полке возникают касательные

напряжения	τ ′	и	τ ′′	соответственно
	п		п ,
параллельные и перпендикулярные силе Q.
Касательными			напряжениями τ п
				¢
полки можно пренебречь, так как b >> δ п
Принимая		τп ≈ 0 ,		в дальнейшем
штрихи при	касательных			напряжениях

τ п будем опускать и считать. что они 1) постоянны но толщине полки и являются функцией координаты z, 2) параллельны средней линии полки.

Величину г, найдем из условия равновесия отсеченной части ABCDA1 B1C1D1 (рис. 8.21)

элемента балки (см. рис 8.20). Проектируя все силы на ось х, получаем

SC = 0;-N + N + dN -τ пδ п dx = 0

Отсюда с учетом (8.9), (8.10) имеем

τ п =	QSz* (y)
	J zδ п

Хотя выражения (8.10) и (8.11) по структуре одинаковы, но по содержанию они различны.

По (8.10) определяются составляющие полного вектора касательных

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com