int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

Физика для старшеклассников и абитуриентов

С4. Камень бросили вниз с начальной скоростью 2 м/с. Время его падения на землю равно 3 с. Чему равна средняя скорость падения камня на оставшейся до земли третьей части всей высоты его падения? Сопротивлением воздуха пренебречь.

С5. Маленький мячик бросили с земли под углом 600 к горизонту со скоростью 5 м/с в вертикальную стену, расположенную на расстоянии 1,5 м от места бросания. Под каким углом к горизонту отскочит мячик после абсолютно упругого удара о стену? Сопротивлением воздуха пренебречь.

С6. Горизонтальная платформа равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. На расстоянии, равном трети радиуса платформы, отрывается от ее поверхности небольшое тело и скользит по ней без трения. Через сколько времени тело слетит с платформы, если до отрыва оно двигалось с ускорением 0,1 м/с2? Радиус платформы 60 см.

С7. Свободно падающее без начальной скорости тело за первую секунду проходит 1 м, а последний такой же отрезок 1 м оно проходит за 0,4 с. С какой высоты упало тело?

С8. Два автомобиля движутся со скоростями 36 км/ч и 54 км/ч под углом D = 600 друг к другу. В некоторый момент времени один из них оказался в пункте М, а другой в тот же момент — в пункте N, расстояние между которыми S = 10 км. Через какой промежуток времени t расстояние между автомобилями станет минимальным?

С9. Мимо остановки по прямой улице проезжает грузовик, двигаясь равномерно со скоростью 10 м/с. Через 5 с от остановки ему вдогонку отъезжает мотоциклист с ускорением 3 м/с2. На каком расстоянии от остановки мотоциклист догонит грузовик?

С10. Сбегая по эскалатору с одной скоростью, мальчик насчитал N1 ступенек, а когда он увеличил скорость в полтора раза, он насчитал на 'N ступенек больше. Сколько ступенек N насчитает мальчик, спускаясь по неподвижному эскалатору?

40

Раздел I. Механика

ОТВЕТЫ НА ЗАДАНИЯ ПРОБНОГО ЭКЗАМЕНА по теме 1. КИНЕМАТИКА

Часть 1

v1

А1. Из рис. 30 следует, что согласно

теореме Пифагора

υîòí =

υ12 +υ22 =

42 +32 м/с = 5 м/с.

Правильный ответ 2).

vотн

А2. Из рис. 31 следует, что относи-

Рис. 30

v2

тельная скорость автомобилей, модуль

которой равен

v

v 2, является гипотенузой в прямо-

х

угольном треугольнике, где один из

катетов по модулю равен v, а второй

катет надо найти. Из теоремы Пифагора

следует, что

v 2

2

2

2

2

2

v

vх = (v 2) − v

= 2v

− v

=

v

= v.

Рис. 31

Правильный ответ 3).

А3. Из рис. 32 следует, что по тео-

v1

реме косинусов модуль относительной

скорости автомобилей

60о

vотн

υ2 +

υ2

− 2υ υ

cos 600 =

v

отн

=

2

1

2

1

Рис. 32

v2

=

152 + 202 − 2 15 20 cos 600 м/с |

| 18 м/с.

Правильный ответ 2).

А4. Сначала выразим величины скоростей в единицах СИ:

1000

36 км/ч = 36 3600 м/с = 10 м/с,

1000

54 км/ч = 54 3600 м/с = 15 м/с.

Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме скоростей каждого поезда, а пройденный путь равен сумме длин поездов. Тогда в случае

41

Физика для старшеклассников и абитуриентов

равномерного движения поездов время их движения мимо друг друга

t =	l1	+ l2	=	40	+ 50	м/с = 3,6 с.
	υ1	+ υ2
				10	+ 15

Правильный ответ 4).

А5. Сначала выразим величины скоростей в единицах СИ:

1000

54 км/ч = 54 3600 м/с = 15 м/с,

1000

72 км/ч = 72 3600 м/с = 20 м/с.

Поскольку поезда движутся в одном направлении, их относительная скорость равна разности скоростей каждого поезда, а пройденный путь равен сумме длин поездов. Тогда в случае равномерного движения поездов время их движения мимо друг друга

t =	l1 + l2	=	40	+ 50	м/с = 18 с.
	υ2 − υ1		20	− 15

Правильный ответ 2).

А6. Выразим скорость в единице СИ:

1000

36 км/ч = 36 3600 м/с = 10 м/с.

Время, за которое поезд проедет через мост, равно отношению суммарной длины моста и поезда, деленному на скорость поезда, выраженную в единицах СИ:

t = 540+60 с = 60 с = 1 мин.

10

Правильный ответ 3).

А7. Обратимся к рис. 33. Кратчайшим путем является ширина реки. Чтобы ее переплыть, пловец должен грести под углом к течению так, чтобы вектор v, равный векторной сумме векторов v1 и v0, был направлен перпендикулярно берегу. По теореме Пифагора

v = υ12 − υ02 = 1,22 − 0,82 м/с | 0,9 м/с. Правильный ответ 1).

А8. Обратимся к рис. 33. Вектор скорости лодки относи-

тельно берегаυ направлен перпендикулярно берегу, а вектор

42

Раздел I. Механика

скорости реки относительно берега

направлен параллельно берегу.

v1

v

Чтобы лодка выдерживала курс

α

перпендикулярно берегу, вектор

α

α

скорости лодки относительно воды

v0

должен быть направлен под ту-

пым углом к течению и под углом

Рис. 33

Dк берегу. Из чертежа следует, что

tg D =

υ

= 0,8 = 1,

υ0

0,8

откуда следует, что D = 450.

Правильный ответ 2).

12

А9. Обратимся к рисунку 34.

Путь конца минутной стрелки за

S

l

45 мин составит три четверти длины

окружности:

9

l

3

3

3

3, 14 1см = 4,7 см.

S = 4 2πl =

2

Модуль перемещения конца

стрелки найдем по теореме Пифагора:

=

l2 + l2

=

12 + 12 см = 1,4 см.

6

S

Рис. 34

Правильный ответ 4).

А10. Путь равен половине длины окружности (рис. 35):

						см = 3,14 см.		12
	Модуль перемещения равен							l
длине двух радиусов:
						= 2l = 2 см.
					S		9	3
	Правильный ответ 3).
								l
	А 1 1 . Согласно формуле
		υ
à =		t		вектор ускорения а всег-
да совпадает по направлению с								6
вектором изменения скорости 'υ .
	Правильный ответ 2).							Рис. 35

43

	Физика для старшеклассников и абитуриентов
x, м			А12. Проекция скорости на
	в	графике координаты равномер-
		ного движения численно равна
4		тангенсу угла наклона графика к
		оси времени. Из прямоугольного
2				треугольника авс с
				гипотенузой ав (рис.
	а	α	с	36) следует, что тан-
0	2	8	10	t, c генс угла
	Рис. 36			tg D =	6	= 1,5.
					10 – 6

Следовательно, vx = 1,5 м/с, поэтому график проекции скорости показан на рис. б.

Правильный ответ 4).

v, м/c

А13. Путь на графике ско-

рости численно равен площади

3

в

с

прямоугольника авсd (рис. 37):

S = 2,5 (8 – 4) м = 10 м.

2

Правильный ответ 2).

1

S

А14. Ускорение на гра-

a

d

фике скорости числен-

0

t, c но равно тангенсу угла

2

4

6

8

10

наклона графика к оси

Рис. 37

времени. Угол наклона

участка графика 2–3 на рис. 19 больше угла наклона остальных участков графика, следовательно, модуль ускорения а3 в момент времени t3 наибольший. Ускорение а1 в момент времени

v, м/c				t1 больше ускорения а2 в момент времени t2,
				потому что угол наклона отрезка 0–1 к оси
3		a		времени больше угла наклона отрезка 1–2.
				Правильный ответ 1).
2				А15. Путь на графике скорости
1			в	равен площади прямоугольной
				трапеции 0авс (рис. 38), а пло-

сщадь трапеции равна полусумме

0					t, c оснований а0 = 3 м/с и вс = 1 м/с,
	2 4 6

умноженной на высоту 0с = 4 с:

Рис. 38

44

Раздел I. Механика

S = 3 2+ 1 4 м = 8 м. Правильный ответ 4).

А16. Тангенс угла наклона графика скорости к оси времени численно равен ускорению. Поэтому а = tg 450 = 1 м/с2.

Правильный ответ 2).

А17. Путь на графике скорости, изображенном на рис. 21, численно равен площади треугольника, которая, в свою очередь, равна половине произведения основания 10 с на высоту 15 м/с:

S = 21 10 15 м = 75 м.

	Правильный ответ 4).	v, м/c
	А18. Ускорение за время	v = 8
	от 4 с до 6 с такое же, как и
		6
	ускорение за время от 0 до
	6 с (рис. 39). По формуле	4
	ускорения
	а = υ − υ0 =	v0= 2
	t
	= 8 − 2 м/с2 = 1 м/с2.	0							t, c
				2 4 6 8
	6
	Правильный ответ 3).					Рис. 39

А19. Поскольку скорость на графике координаты равна тангенсу угла наклона графика к оси времени, а тангенс угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему, то из рис. 23 следует, что

v1 =	8 −	2	м/с = 1,5 м/с и	v2 =	6 −	2	м/с = 1 м/с,
	4				4

следовательно,

υ1 = 1,5 = 1,5.

υ2 1

Правильный ответ 1).

А20. Ускорение тела можно определить по формуле

à = υ − υ0	=	0 − 15	м/с2 = –2,5 м/с2.
t		6

Правильный ответ 4).

45

Физика для старшеклассников и абитуриентов

А21. Скорость равна	x
нулю, когда касательная		m		n
mn к графику параллельна
оси времени, т.е. когда ее
наклон к оси времени равен
нулю. Из рис. 40 следует,
что касательная к графику
параллельна оси времени в	0				t
момент t2.		t1
			t2 t3 t4
Правильный ответ 2).			Рис. 40

А22. В треугольнике авс на рис. 41 ускорение равно тангенсу угла D:

а = tg D = àâ = 0 − (−3) м/с2 = 1,5 м/с2.

âñ 12 – 10

v, м/c

4

2

0									в					с
	2		4		6					10		α 12		14 t,c
							8

–2

–4	a
	Рис. 41

Правильный ответ 2).

А23. Среднюю скорость можно определить отношением всего пути ко времени движения. Путь на графике скорости численно равен площади трапеции с основаниями 3 с – 1 с = 2 с и 4 с и высотой 6 м/с (рис. 27), поэтому

S =	2 + 4	6	м = 18 м.
	2			18
Следовательно, средняя скорость vср=					м/с = 4,5 м.
				4

Правильный ответ 1).

А24. Средняя скорость равноускоренного движения определяется формулой

46

Раздел I. Механика

vср = υ0 + υ , откуда v = 2vср – v0 = 2 · 4 м/с – 1 м/с = 7 м/с .

2

Правильный ответ 4).

А25. Из формулы v2 – v02 = 2aS следует, что

	υ2	− υ02		(3υ0 )2 − υ02	υ02	12
S =			=		= 4 a = 4	2 м = 2 м.
		2a		2a

Правильный ответ 1).

А26. Конечная скорость тела v = v0 + 'v, где 'v = 0,4v0, поэтому

v = v0 + 0,4v0 = 1,4v0. Согласно формулам средней скорости

vср = υ0 + υ

и vср =

S

,

υ0 + υ

=

S

или

υ0 + 1, 4υ0

=

S

,

2

t

t

2

2

t

2, 4υ0

=

S

,

откуда v0 =

S

=

48

м/с = 4 м/с.

1,2t

1,2 10

2

t

Правильный ответ 2).

А27. Из формулы S = v0t +

at2

, с учетом, что 0,5 мин = 30 с,

2

следует, что при v0 = 0

at2

=

0,2 302

S = 2

2

м = 90 м.

Правильный ответ 3).

А28. Согласно формуле равноускоренного движения

v = v0 + at при v0 = 0

v = at = 0,1 · 60 м/с = 6 м/с.

Правильный ответ 3).

А29. Согласно формуле v2 – v02 = 2aS при v0 = 0 скорость пули в конце ствола при вылете из его отверстия

v =	2aS =			2	aS,
а в середине ствола
v1 =	2a	S		=	aS.
	2
Значит,	v = v1			2,

47

Физика для старшеклассников и абитуриентов

	откуда	v1 =	υ	=	100	м/с | 71 м/с.
			2		2

Правильный ответ 4).

А30. Такие пути относятся как ряд последовательных нечетных чисел.

Правильный ответ 4).

А31. Из формулы равноускоренного движения

v = v0 + at

следует, что v0 = v – at = 6 – 0,4 · 5 (м/с) = 4 м/с. Правильный ответ 4).

А32. Согласно формуле равноускоренного движения

v2 – v02 = 2aS при v0 = 0

v2 = 2аS, откуда υ		aS	м/с = 3 м/с.
Правильный ответ 2).
А33. Уравнение пути равноускоренного движения без на-
чальной скорости S =	at2	, откуда ускорение
	2
a = 2S2 =		2 322 м/с2	= 4 м/с2.
t		4

Согласно формуле скорости равноускоренного движения без начальной скорости

v = аt = 4 t.

Правильный ответ 2).

А34. В общем виде уравнение проекции скорости vх = v0х + аt. Из сравнения этого уравнения с данным в условии уравнением vх = 2 + 3t следует, что проекция начальной скорости тела v0х = 2 м/с, а проекция ускорения а = 3 м/с2. Уравнение про-

екции перемещения в общем виде Sx= v0tх + a2xt2. Подставив

сюда числовые значения v0х = 2 м/с и ах = 3 м/с2, получим уравнение проекции перемещения

3t2

Sx = 2t + 2 = 2t + 1,5t2. Правильный ответ 2).

48

Раздел I. Механика

А35. Модуль перемещения можно найти, если отнять от конечной координаты начальную: S = х – х0,

где	x = x		+ v t +	axt2	.
		0
			0x	2

Согласноданномууравнениюх0 =6м,v0x =–4м/с и ах = 2 м/с2. Конечную координату х найдем, подставив в данное уравнение время t = 5 с: х = 6 – 4 · 5 + 25 (м) = 11 м.С учетом полученных значений х и х0 модуль перемещения S = 11 м – 6 м = 5 м.

Правильный ответ 1).

А36. Запишем уравнение координаты в общем виде:

õ = õ	+υ	t + axt2 .
0	0x	2

Из сопоставления этого уравнения и уравнения, данного нам в условии, х = 8t + 0,2t2, следует, что начальная координата х0 = 0, проекция начальной скорости v0х = 8 м/с и половина

	проекции ускорения			àx	= 0,2 м/с2,откуда ах = 0,4 м/с2.
				2
	Правильный ответ 4).
	А37. Из сопоставления уравнения координаты в общем
	виде õ = õ	+υ	t + axt2		и уравнения координаты из условия
	0	0x	2

х = 3 + t – 2t2 следует, что проекция начальной скорости тела

v0х = 1 м/с, а половина проекции ускорения àx = –2 м/с2, откуда

2

проекция ускорения ах = –4 м/с2. Теперь запишем уравнение проекции скорости в общем виде vх = v0х + ахt, после чего подставим в него числовые значения проекции начальной скорости v0х = 1 м/с и ускорения ах = –4 м/с2. Получим: vх = 1 – 4t.

Правильный ответ 2).

А38. Сначала найдем проекцию ускорения тела. Если начальная скорость равна нулю, то уравнение проекции скорости в общем виде vх = ахt,откуда проекция ускорения

ах = υtx = 62 м/с2 = 3 м/с2.

Уравнение координаты равноускоренного движения без

начальной скорости

х = axt2 = 3t2 = 1,5t2.

2 2

Правильный ответ 4).

49