golunova_l_v_matematicheskie_modeli_v_transportnyh_raschetah

n

k

n

ψ

n+1

p0 = (∑n

ψk + n

)−1 .

(2.37)

1−ψ

k =0

k!

n!

p0

nk

ψ k ,

k =1,2,...,n

k!

pk =

k = n +1,n + 2,...,n + m .

(2.38)

n

n

p0

ψ k ,

k!

Вероятность отказа приема заявки:

Ротк = 0. (2.39)

Вероятность того, что пришедшая заявка будет принята в систему:

Рпр = 1.			(2.40)
Относительная пропускная способность СМО:
Q = 1.			(2.41)
Абсолютная пропускная способность СМО:
А = λ.			(2.42)
Среднее число занятых каналов (заявок, находящихся под
обслуживанием) равно показателю нагрузки СМО:
Nобс = К =A/µ = ρ.			(2.43)
Среднее число заявок (Nоч), находящихся в очереди:
nn	1−ψn+1
Nоч = p0 n!		.	(2.44)
	(1−ψ)2
Среднее число заявок, находящихся в системе:
N = Nобс + Nоч.			(2.45)
Среднее время обслуживания заявки:
Тобс = Nобс/ λ = К/ λ.			(2.46)
Среднее время ожидания заявки в очереди на обслужива-
ние:
Точ = Nоч/ λ.			(2.47)
Среднее время пребывания заявки в СМО:
Тср = Тобс + Точ = (Nобс + Nоч)/ λ = m/λ + 1/µ.			(2.48)
2.2.7. Одноканальная СМО с ожиданием и
неограниченной очередью
При n = 1 и ψ = ρ
pk = ρk(1 – ρ),			(2.49)
Nоч = ρ2/(1 – ρ).			(2.50)

Другие характеристики работы одноканальной СМО рас-

81

считываются по формулам (2.45)–(2.48) при значениях n = 1 и

ψ = ρ.

Пример 2.6. В кассе оплаты работают два окна. В среднем один кассир тратит на обслуживание одного клиента 0,5 мин. В среднем к кассе подходит 3 человека в минуту. Найти основные характеристики работы кассы.

Решение:

Работа кассы описывается двухканальной СМО (n = 2) с ожиданием и без ограничения на длину очереди, интенсивность входящего потока λ = 3 чел./ мин; интенсивность потока обслуживания µ = 2 чел./ мин; показатель нагрузки СМО ρ = λ/µ = 1,5; показатель нагрузки на один канал ψ = ρ/n = 0,75. Поскольку ψ < 1, то можно осуществить расчет основных характеристик эффективности СМО, так как существует предельный режим работы системы.

Вероятность простоя системы (оба кассира свободны):

	n	n	k		n	n		ψ	n+1
	p0 = (∑			ψ k +						)−1 = 0,14.
		k!			n!			1−ψ
	k =0

Среднее число клиентов, находящихся в обслуживании:

Nобс = К =A/µ = ρ = 1,5.

Среднее число клиентов в очереди:

Nоч = ρ2/(1 – ρ) = 1,93.

Среднее число клиентов, находящихся у касс:

N = Nобс + Nоч = 3,43.

Среднее время клиента в очереди:

Точ = Nоч/ λ = 0,64 мин.

Среднее общее время, которое тратит клиент на оплату:

Тср = Тобс + Точ = N/ λ = 1,14 мин.

2.3. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ

Рассмотрим задачу оптимизации развития грузовых фронтов при неравномерном поступлении автомобилей на посты по- грузки-выгрузки. Для данной задачи справедливы следующие допущения:

1.Режим поступления требований в СМО – пуассоновский.

2.Физический смысл оптимизации – найти такое количество постов погрузки-разгрузки при котором суммарные затраты (потери), связанные с простоем погрузочно-разгрузочной техники и простоем автомобилей являются минимальными, то есть целевая функция:

С= Савт +Спог(раз) → min ,

82

где Савт – потери автомобилей за время ожидания:

Савт = 24 ω λ Sавт ;

ω – среднее время ожидания погрузки-разгрузки;

λ – интенсивность поступления автомобилей на грузовые фронты;

Sавт – стоимость простоя автомобилей (руб./час);

Спог(раз) – потери грузовых фронтов по причине их простоя

(отсутствие требований в системе):

Спог(раз) = 24 n Р0 Sпогр ;

Р0 – вероятность того, что в грузовых фронтах нет требо-

ваний;

n – количество погрузочно-разгрузочных механизмов; S – стоимость простоя механизмов (руб./час).

Пример 2.7. Определить количество погрузочных механизмов на грузовом фронте при равномерном и пуассоновском потоке автомобилей под погрузку для следующих исходных данных. На погрузочный фронт прибывает 1 – равномерный; 2 – пуассоновский поток автомобилей с интенсивностью 12 автомобилей в час. Время погрузки одного автомобиля 10 минут. Стоимость простоя погрузочных механизмов в ожидании автомобилей 6 у.е.,

λ =12авто/ час,			tов =10мин. = 0,16часа,
µ =	1	6,25авт/ час,	S = 3у.е. S	погр	= 6у.е.
0,16			авт

Необходимо определить n погр .

Решение:

1. Оптимальным будет число механизмов n, при котором суммарные затраты, связанные с простоем автомобилей и грузовым фронтом в течение суток, будут сведены к минимуму:

F = Савт +Спогр → min , где Савт = 24 ω λ Sавт , Спог = 24 n Р0 Sпогр .

2.Определяем коэффициент загрузки системы:

ϕ= nλµ .

ϕ(1) =			12	=1,92 ;			ϕ(2) =		12	= 0,96 ;		ϕ(3) =		12	= 0,64 ;
	1		6,25					2	6,25				3	6,25
ϕ(4) =			12		= 0,48	;	ϕ(5) =		12		= 0,38 .
	4		6,25					5	6,25

83

3. Ожидание требования к системе обслуживания (время ожидания):

				Р0			(ϕ n)n
ω =									;
				µ n		n!(1−ϕ)2
Р0 =							1				.
					n		n−1	(ϕ −n)
			(ϕ n)				+ ∑
		n!(1−ϕ)						S!
							0

Проведем расчет для вариантов 3, 4, 5:

Р0(3) =																	1																		=						1					= 0,124 ;
			3							(0,64							0						(0,64			1						2						3,28 +1+1,92 +1,84
			(0,64 3)				+										3)			+						3)		+		(0,64 3)
	3 2 1(1−0,64)													0!									1!								2 1
					ω3 =						0,124														(0,64 3)3										= 0,060 ;
													6,25 3											3 2 1 (1−0,64)2
							Савт							= 24 12 0,060 3 = 51,84у.е. ;
							Спогр							= 24 3 0,124 6 = 53,57у.е. .
Р0(4) =																												1																				=
					(0,48					4								(0,48							0							1				(0,48					2			(0,48		3
						4)											+								4)		+		(0,48 4)					+							4)	+				4)
					4 3 2 1(1−0,48)																		0!								1!									2 1					3 2 1
							=																1									=			0,142 ;
											1,09						+1+						1,92 +1,84 +1,18
					ω4		=				0,142														(0,48 4)3													= 0,012 ;
										6,25 4																									2
																						4 3 2 1 (1−0,48)
								Савт = 24 12 0,012 3 =10,36у.е. ;
							Спогр							= 24 4 0,142 6 = 81,79у.е..
Р0(5) =																												1																					=
					(0,38 5)5																		(0,38 5)1								(0,38 5)2									(0,38 5)3					(0,38 5)4
															+1+										1			+			2							+			6		+		24
		5 4 3 2 11( −0,38)
			=																				1												= 0,149 ;
							0,33							+1+1,9 +1,8 +1,14 +0,54
					ω5 =		0,149										=								(0,38 5)5														= 0,0026				;
							6,25 5																												2
																				5 4 3 2 1 (1−0,38)

Савт = 24 12 0,0026 3 = 2,25у.е. ;

Спогр = 24 5 0,149 6 = 107,28у.е. .

Данные всех расчетов сведем в таблицу:

84

Число	Р0	ω	С	авт	Спогр	С = Савт +Спогр
каналов
3	0,124	0,060	51,84		53,57	105,41
4	0,142	0,012	10,36		81,79	92,12
5	0,149	0,00026	2,25		107,28	109,53

Вывод:

Рациональным количеством механизмов на грузовых фронтах следует считать n=4, так как при этом количестве механизмов погрузки достигается минимальное значение суммарных потерь от простоя транспортных средств в ожидании погрузки и грузового фронта в ожидании автомобилей.

2.4.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1)В результате наблюдений установлено, что интенсивность телефонных звонков диспетчеру жилищно-эксплуатационной конторы (ЖЭК), имеющих характер простейших пуассоновских потоков, составляет 1,1 вызовов в минуту, средняя продолжительность разговора (обслуживание клиента) составляет 2,3 мин. Определить характеристики работы диспетчера ЖЭК, а также количество обслуженных и необслуженных клиентов за 1 час работы. Сравнить фактическую пропускную способность с номинальной (когда каждый клиент обслуживается 2,5 мин).

2)Сберкасса планирует организовать прием оплаты за жи- лищно-коммунальные услуги с жителей микрорайона и имеет для этого в штате три контролера-кассира. Предполагается, что поток жителей будет идти с интенсивностью 40 чел./ час. Средняя продолжительность обслуживания одного человека контролером-кассиром составляет 3 мин. Определить характеристики работы сберкассы и оптимальное количество контро- леров-кассиров.

3)В магазине работают две кассы. Среднее время обслуживания одного покупателя – 5 мин. Интенсивность потока покупателей 4 чел./ мин. По технологическим причинам существует ограничение на количество человек в очереди в кассу – не более 6 чел. Покупатель, пришедший в магазин, в котором в каждой очереди в кассу – 6 человек, не ждет, а уходит из магазина. Определить характеристики работы магазина и вероятность то-

85

го, что пришедший в магазин покупатель покинет его необслуженным.

4)Дать оценку работы телефонной фирмы, если у нее имеется 4 канала связи, за один час поступает в среднем 120 телефонных звонков, среднее время ответа на звонок – 1,2 мин.

5)Порт имеет один грузовой причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов составляет 0,5 судов/ сутки. Среднее время разгрузки одного судна – 2 суток. Предполагается, что длина очереди не имеет ограничений. Найти показатели эффективности работы причала.

6)В типографию с тремя множительными аппаратами поступают заказы от соседних предприятий на размножение рабочей документации. Если все аппараты заняты, то вновь поступающий заказ не принимается. Среднее время работы с одним заказом составляет 2 часа. Интенсивность потока – 0,5 заявок/ час. Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы типографии.

7)Сберкасса принимает оплату за ЖКХ с жителей микрорайона и имеет для этого в штате три контролера-кассира. Поток жителей идет с интенсивностью 50 чел./ час. Средняя продолжительность обслуживания одного человека контролеромкассиром составляет 3 мин. Предполагается, что в помещении сберкассы не может находиться более 8 человек, включая и тех, что обслуживаются. Поэтому вновь прибывший клиент уходит, если очередь заполнена. Определить характеристики работы сберкассы.

8)На имеющую три смотровых поста станцию технического осмотра автомобилей в среднем поступает 1 автомобиль за 0,4 часа. Во дворе в очереди может находиться не более 3-х машин. Среднее время работы одного поста – 0,5 часа. Определить характеристики работы СТО.

9)На автозаправочной станции установлены 3 колонки для заправки машин бензином. Около станции находится площадка на 3 автомобиля для ожидания заправки. В среднем на станцию прибывает одна машина каждые 4 минуты. Среднее время обслуживания одной машины – 2,8 мин. Определить характеристики работы автозаправочной станции.

86

10)Около магазина имеется парковка для 7 машин. Автомашины приезжают к магазину с интенсивностью 40 машин/ час. Продолжительность пребывания на автостоянке составляет в среднем 20 мин. Стоянка на проезжей части не допускается. Определить характеристики работы парковки.

11)Дать оценку работы фирмы, если у нее имеется 6 каналов связи, за один час поступает в среднем 200 телефонных звонков, среднее время ответа на звонок – 0,8 мин.

12)В магазине работают три кассы. Среднее время обслуживания 1 покупателя – 3 мин. Существует ограничение на количество человек в очереди в кассу – не более 5 чел. Интенсивность потока покупателей – 7 чел./ мин. Покупатель, пришедший в магазин, в котором в каждой очереди в кассу 5 человек, не ждет, а уходит из магазина. Определить характеристики работы магазина.

13)Оптовый склад производит отпуск товаров клиентам. Погрузку автомашины осуществляют три бригады грузчиков, каждая из которых состоит из 4 человек. Склад одновременно вмещает 5 автомашин и, если в это время прибывает новая автомашина, – она не обслуживается. Интенсивность входящего потока автомашин составляет 5 шт./ час. Интенсивность погрузки составляет 2 автомашины в час. Дать оценку работы склада.

14)Таможня располагает тремя терминалами. Интенсивность потока автомашин, перевозящих грузы и подлежащих прохождению таможенного контроля, составляет 30 шт./ сутки. Среднее время таможенной обработки на терминале одной автомашины составляет 3 часа. Если в очереди на прохождение таможенного контроля стоят 5 автомашин, то приезжающие автомашины уезжают на другую таможню. Найти показатели эффективности работы таможни.

15)На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью λ = 2 состава в час. Среднее время, в течение которого горка обслуживает состав, равно 0,4 час. Составы, прибывающие в момент, когда горка занята, становятся в очередь и ожидают в парке прибытия, где имеется три запасных пути, на каждом из которых может ожидать один состав.

87

Состав, прибывший в момент, когда все три запасных пути в парке прибытия заняты, становится в очередь на внешний путь. При установившемся режиме найти среднее число составов, ожидающих в очереди (как в парке прибытия, так и вне его); среднее время ожидания в парке прибытия и на внешних путях; среднее время ожидания состава в системе обслуживания; вероятность того, что прибывший состав займет место на внешних путях.

16)На строительную площадку в среднем через 40 мин прибывают автомашины со строительным материалом. Среднее время разгрузки одной автомашины составляет 1,8 часа. В разгрузке принимают участие две бригады грузчиков. На территории строительной площадки может находиться в очереди на разгрузку не более 5 автомашин. Определить показатели эффективности работы строительной площадки.

17)На мойку, имеющую три рабочих места, в среднем в час приезжает 12 автомашин. Если в очереди уже находится 6 автомашин, вновь приезжающие клиенты не встают в очередь, а покидают автомойку. Среднее время мойки автомашины – 20 мин. Средняя стоимость мойки – 150 руб. Определить показатели эффективности работы автомойки и среднюю величину потери выручки в течение рабочего дня (с 9 до 19 часов).

18)В магазине самообслуживания работает 5 контролеровкассиров. Входящий поток покупателей – 140 чел./ час. Один контролер-кассир может обслужить 30 чел./ час. Определите: вероятность простоя контролера-кассира; среднее число покупателей в очереди; среднее время ожидания; среднее число занятых и свободных контролеров-кассиров. Дать оценку работы магазина.

19)На станцию технического обслуживания (СТО) автомобилей каждые два часа подъезжает в среднем одна машина. Станция имеет 6 постов обслуживания. Очередь автомобилей, ожидающих обслуживания, не ограниченна. Среднее время обслуживания одной машины – 2 часа. Определить характеристики станции технического обслуживания автомобилей.

20)В справочную железнодорожных вокзалов поступают телефонные запросы по движению поездов с интенсивностью 80

88

заявок в час. Оператор справочной обрабатывает запрос в течение 0,7 мин. Если оператор занят, клиенту выдается сообщение «Ждите ответа», запрос становится в очередь, длина которой не превышает 4 запросов. Дать оценку работы справочной и вариант ее реорганизации.

21)Рассматривается работа АЗС, на которой имеется три заправочные колонки. Заправка одной машины длится в среднем 3 мин. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нуждающаяся в заправке бензином. Число мест в очереди не ограничено. Все машины, вставшие в очередь на заправку, дожидаются своей очереди. Определить характеристики работы АЗС.

22)Малое транспортное предприятие эксплуатирует десять моделей автомобилей одной марки. Простейший поток отказов автомобилей имеет интенсивность λ = 0,25 отказа в день. Среднее время устранения одного отказа автомобиля одним механиком равно 2 час. Возможны два варианта обслуживания: все автомобили обслуживают два механика с одинаковой производительностью; все автомобили предприятия обслуживают три механика с одинаковой производительностью. Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслуживания автомобилей.

23)На АЗС имеется пять заправочных колонок. Заправка одной машины длится в среднем 4 мин. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нуждающаяся в заправке бензином. Число мест в очереди не ограничено. Все машины, вставшие в очередь, дожидаются своей очереди. Все потоки событий простейшие. Определить характеристики АЗС.

24)На пункт техосмотра поступает простейший поток заявок (автомобилей) интенсивности λ = 4 машины в час. Время осмотра распределено по показательному закону и равно в среднем 17 мин., в очереди может находиться не более 5 автомобилей. Определить вероятностные характеристики пункта техосмотра.

25)В бухгалтерии предприятия имеются два кассира, каждый из которых может обслужить в среднем 30 сотрудников в час. Поток сотрудников, получающих заработную плату, – про-

89

стейший, с интенсивностью, равной 40 сотрудников в час. Очередь в кассе не ограничена. Дисциплина очереди не регламентирована. Вычислить характеристики СМО и определите целесообразность приема третьего кассира на предприятие, работающего с такой же производительностью, как и первые два.

90