Радиотехнические цепи и сигналы

С информационной точки зрения сигналы можно разделить на детерминированные и случайные.

Детерминированным называют любой сигнал, мгновенное значение которого в любой момент времени можно предсказать с вероятностью, равной единице.

К случайным относят сигналы, мгновенные значения которых заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы. Наряду с полезными случайными сигналами в теории и практике приходится иметь дело со случайными помехами — шумами. Полезные случайные сигналы, а также помехи часто объединяют термином случайные колебания или случайные процессы.

Сигналы в канале радиосвязи часто подразделяют на управляющие сигналы и на радиосигналы; под первыми понимают модулирующие, а под вторыми — модулированные колебания.

Применяемые в современной радиоэлектронике сигналы можно разделить на следующие классы:

произвольные по величине и непрерывные по времени (аналоговые); произвольные по величине и дискретные по времени (дискретные); квантованные по величине и непрерывные по времени (квантованные); квантованные по величине и дискретные по времени (цифровые).

Характеристики детерминированных сигналов

Энергетические характеристики

Основными энергетическими характеристиками вещественного сигнала s(t) являются его мощность и энергия.

Мгновенная мощность определяется:

p(t) = s2 (t) .

Энергия сигнала на интервале t2, t1 определяется:

t2 t2

Э = ∫ p(t)dt = ∫s2 (t)dt .

t1 t1

Отношение

	Э					1	t2
			=				∫s2 (t)dt = s2 (t) имеет смысл средней на интервале t2, t1
t	−t			t		−t
1		2			2	1 t
							1

мощности сигнала.

Представление произвольного сигнала в виде суммы элементарных колебаний

Для теории сигналов и их обработки большое значение имеет разложение заданной сложной функции f(x) по различным ортогональным системам более простых или более удобных для дальнейших преобразований

функций ϕn(x). Любой сигнал, определенный на интервале от t1 до t2, может быть представлен в виде обобщенного ряда Фурье:

∞

S(t) = ∑Ciϕi (t),

t=0

где Сi — весовые коэффициенты,

ϕi — ортогональные функции разложения (базисные функции).

Для базисных функций должно выполняться условие ортогональности:

tt

∫ϕ j (t)ϕk (t)dt = 0, j ≠ k ,

tt

t2

∫ϕ j (t)ϕk (t)dt =C = const , j = k,

t1

если С=1, то это условие превращается в условие ортонормированности.

Норма базисной функции:

t 2

ϕ = ∫ ϕ n2 dt .

t1

Коэффициенты ряда Фурье:

t2

∫S(t)ϕn (t)dt

C	n	= t1
		t2
		∫ϕn2 (t)dt
		t1

При задании множества базисных функций и при фиксированном количестве слагаемых в обобщенном ряде Фурье, ряд Фурье дает аппроксимацию исходной функции, имеющую минимальную среднеквадратичную ошибку в определении исходной функции. Использование обобщенного ряда Фурье дает следующее условие:

t2		N			= min
M	S(t) − ∑Cnϕn		dt
∫t		n=1
1

Такой ряд дает минимум в среднем ошибки (погрешности), аппроксимации S(t).

Имеется 2 задачи разложения сигнала на простейшие функции:

1. Точное разложение на простейшие ортогональные функции (аналитическая модель сигнала, анализ поведения сигнала).

Эта задача реализуется на тригонометрических базисных функциях, так как они имеют простейшую форму и являются единственными функциями, сохраняющими свою форму при прохождении через линейные цепи; при использовании этих функций можно применять символический метод (U& =U e jϕ ).

2. Аппроксимация сигналов процессов и характеристик, когда требуется свести к минимуму число членов обобщенного ряда. В качестве ортогональных функций используются: полиномы Чебышева, Эрмита, Лежандра и др.

Предыдущий раздел		Раздел верхнего уровня	Следующий раздел

Гармонический анализ периодических сигналов

При разложении периодического сигнала s(t) в ряд Фурье по тригонометрическим функциям в качестве ортогональной системы берут

1, cos ω 1t, sin ω 1t, cos 2ω 1t, sin 2ω 1t,..., cos nω 1t, sin nω 1t,...

или:

...e− j2ω1t ,e− jω1t ,1,e jω1t ,e j2ω1t ,...

Интервал ортогональности определяется нормой функции:

T 2

ϕ n

2 = ∫ e − jn Ω 1t e jn Ω 1t dt = T

− T 2

Сигнал s(t) представляется рядом Фурье:

a0

i

s(t) =

+ ∑(an cos(nΩ1t) + bn sin(nΩ1t))

2

n=1

a 0

— среднее значение сигнала за период.

2

Ω 1

=

2π

- частота первой гармоники сигнала:

T

Коэффициенты ряда Фурье:

1

T 2

a0

=

∫ s(t )dt

2

T

− T

2

2

T

2

=

s(t ) cos( Ω 1t )dt

an

T − T∫

2

T

=

2

2

s(t ) sin Ω

b

tdt

n

T − T∫

1

2

Сигнал s(t) можно представить в виде:

s(t)= a20 + ∑∞ An cos(nΩ1t − Ψn )

n=1

	1		∞
s(t) =		∑ An exp( j(nΩ1t − Ψn )) ,
	2		n=−∞
			1	∞ •
s(t) =				∑ An exp( jnΩ1t) ,
			2	n=−∞

где:

•

An = An = an2 + bn2 , где An – амплитуда n-ой гармоники разложенного сигнала – четная функция.

Ψ n	= arctg		bn	– фаза n-ой гармонической системы – нечетная функция.
			a n
	•	= An e− jΨa - комплексная амплитуда n–ой гармоники.
	An

Если s(t) – четная функция, то в этом случае bn = 0 , а если нечетная, то an = 0 .

Примеры спектров периодических сигналов

1. Последовательность прямоугольных импульсов.

Здесь Ω 1	=	2π	.
		T

a0

=

Eτ

=

E

, где Q

=

T

-скважность

2

T

Q

τ

bn

= 0 , так как функция s(t) – четная, an

=

2E sin

nΩ1τ

.

2

πn

An

=

2 E

sin

nΩ 1τ

πn

2

Eτ

2E

∞

nΩ τ

s(t) =

+

∑sin

1

cos nΩ1τ .

T

πn

2

n=1

Спектр имеет вид:

При Q → ∞ , то есть τ << T (радиолокационный сигнал) и n→∞

An ≈ A1 ≈ 2A0 = a0 = 2E .

Q

2. Прямоугольное колебание. Подобное колебание, часто называемое меандром (Меандр — греческое слово, обозначающее “орнамент”), находит особенно широкое применение в измерительной технике.

Здесь a0 = 0, An = 0 .

Спектр меандра

3. Последовательность пилообразных импульсов.

2E ∑∞ (−1)n+1

s(t) = π n=1 n sin(nΩ1t) .

Функция s(t) – нечетная, поэтому разложение в ряд Фурье содержит только синусоидальные составляющие.

4. Последовательность треугольных импульсов.

	E		4 E		∞	cos( nΩ 1t )
s(t ) =		−			∑			.
	2		π	2		n	2
					n −1

Данная функция содержит только косинусоидальные члены в силу четности функции. Амплитуды гармоник с ростом n убывают быстрее, чем в предыдущих случаях, так как высокочастотные составляющие для образования сигнала не нужны.