part2

Функция f(x) называется плотностью распределения веро-

ятностей.

	F (x)
p1+ p2+ p3+ p4 =1
p1+ p2+ p3
p1+ p2
p1			x
x1	x2	x3	x4

Рис.11. Функция распределения дискретной случайной величины

Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины

ξ и плотность вероятности f(x) связаны соотношениями:


		f (x) F (x);
 F (x) P{ x}				x
				f ( x) dx.

Замечание. Случайная величина, не принадлежащая ни к дискретному, ни к непрерывному типу, называется смешанной. Функ-

ция распределения случайной величины смешанного типа имеет раз-

рывы, однако при этом не является кусочно-постоянной.

Функция распределения любой случайной величины обладает

следующими свойствами:

65

1.	F(x1) F(x2 ),		если x1 x2.
2.	lim	F (x) 0.
	x
3.	lim	F (x) 1.
	x

4.P{ } F( ) F( ).

Плотность вероятности случайной величины имеет свойства:

1.f (x) 0.

	f ( x)dx 1.
2.

3.P{ } f ( x)dx.

В качестве основных числовых характеристик случайных вели-

чин рассматриваются моменты и квантили.

Начальным моментом vk порядка k дискретной случайной

величины ξ называется выражение (k – целое, k 0):

vk xik pi , i

где суммирование проводится по всем значениям случайной величи-

ны. Для непрерывной случайной величины начальный момент поряд-

ка k определяется через плотность вероятности:

vk xk f ( x)dx.

66

Начальный момент первого порядка носит название мате-

матического ожидания случайной величины и характеризует ее

среднее значение:

	xi pi	(для дискретной величины)
	i
M v1
	x f (x)dx	(для непрерывной величины)

Математическое ожидание случайных величин обладает свойст-

вами:

1.М(С) = С.

2.М(Сξ) = C Mξ, (C – постоянная).

3.M(ξ + η) = Mξ + Mη.

4.M(ξ η) = Mξ Mη, (для независимых величин ξ и η).

Центральным моментом μk порядка k случайной величи-

ны ξ называется выражение

	( xi M )k pi		(для дискретной величины)
k
	i
		( x M )k f (x)dx	(для непреывной величины)

Дисперсия (центральный момент 2-го порядка) случайной

величины ξ характеризует ее разброс относительно среднего значе-

ния и выражается через начальные моменты 1-го и 2-го порядка:

D M [ M 2 ] v2 (M )2 M 2 M 2 .

67

Корень квадратный из дисперсии носит название среднего

квадратического отклонения случайной величины:

					D .
Дисперсия случайных величин обладает свойствами:
1.	Dξ 0.
2.	D(С) = 0,	(C – постоянная).
3.	D(Сξ) = C2 Dξ,	(C – постоянная).
4.	D(ξ η) = Dξ + Dη,		(для независимых величин ξ и η).

Центральный момент третьего порядка характеризует степень несимметричности распределения случайной величины относительно ее среднего значения. Величина

A 33

называется коэффициентом асимметрии.

Квантилем xp порядка p называется величина, определяемая равенством

F(xp) = p,

где F(x) – функция распределения.

На рис. 12 показан квантиль xp порядка p для случайной величи-

ны непрерывного типа. Рис. 12а представляет функцию распределе-

ния, рис. 12б – плотность распределения вероятностей. Заштрихован-

ная площадь равна p.

68

Квантиль x0,5 порядка 0,5, определяемый соотношением F(x0,5) = = 0,5 называется медианой. Площадь под кривой y = f(x) плотности

вероятности делится пополам вертикальной прямой x = x0,5, проходя-

щей через медиану. (На рис. 12б соответствующая заштрихованная площадь в этом случае равна 0,5). Для медианы принято обозначение:

Me = x0,5.

a)	F (x)	б)
	1	f (x)
			S = p
	p

x
0 xp	0 xp	x
Рис.12. Квантиль xp	порядка p непрерывной

случайной величины:

а)-функция распределения; б)-плотность вероятности

ПРИМЕР 1. В урне лежат 4 белых и 3 черных шара. Наудачу из урны извлекают 3 шара. Случайная величина ξ представляет собой число извлеченных при этом белых шаров. Найти: а) закон распреде-

ления случайной величины ξ; б) вероятность события A = {ξ ≥ 2};

в) математическое ожидание Мξ случайной величины ξ.

Решение. Возможные значения случайной величины ξ: 0, 1, 2,

3. Соответствующие им вероятности находятся по формуле из задачи о выборке:

P 0	C33		1	;	P 1	C41 C32			12		;
	3									35
		35				C	3
	C7
						7
					69

P 2	C42 C31		18			; P 3	C43		4	.
	3		35				3		35
	C7						C7

а) Закон (ряд) распределения случайной величины ξ :

					xi		0				1				2			3
					pi				1		12				18			4
							35				35				35			35
б) Р{ξ ≥ 2} = P{ξ = 2} + P{ξ = 3} =															22 .
															35
в) M 0	1	1	12	2		18		3				4			60			12	.
35			35			35					35				35			7

ПРИМЕР 2. Дана плотность вероятности случайной величины ξ:

0, x 0

f ( x) Cx, 0 x 4

0, x 4

Найти: а) коэффициент С; б) функцию распределения F(х); в) ве-

роятность Р{ξ >1}; г) вероятность Р{0,5 < ξ < 5}; д) математическое ожидание Mξ, дисперсию Dξ и медиану Me; е) построить графики плотности вероятности f (x) и функции распределения F(x).

Решение.

							f ( x)dx 1:
	а) коэффициент С найдем из условия
	4	x	2			C		1
					4
	C x dx C				8C 1				;
		2						8
	0				0

б) функцию распределения F(х) на интервале (0;4) выразим через плотность вероятности по формуле

70

					x							1 x					x2
			F ( x) f (t)dt										x dx									;
												8					16
					0								0
Тогда на всей числовой оси F(x) задается следующим образом:
					0,							x 0
			F ( x)			2	/ 16,					0 x 4
					x
					1,							x 4
в) случайная величина ξ принимает значения только из интервала
						4																		1		1										3
[0,4]. Следовательно,			P 1 f ( x)dx F (4) F (1)																																				;
						1																	4			16							16
			5						4					5
г) P 0, 5 5 f ( x)dx										f ( x)dx f ( x)dx
			0,5					0,5						4
									1	4	xdx 0					x	2					4 1						1										63
																																								;
								8		0,5						16				0,5						64										64
												4										1	4								x		3									8
																																					4
д) математическое ожидание M x f ( x)dx																							x2dx																					;
																						8								24							0				3
												0											0
	2			2	4			2						8 2				1				4	3								8 2										8
дисперсия D M		(M )			x				f ( x)dx													x dx																					;
					0									3				8				0									3										9

Для медианы имеем F(Me) = 0,5. Воспользовавшись найденным выше выражением для функции распределения, получим

(Me)2 / 16 0,5. Отсюда Me 22 ;

е) плотность вероятности f (x) изображена на рис. 13, а функция распределения F(x) на рис.14.

71

		f (x)						F (x)
1/2							1
4				x			4			x
Рис.13.График функции f (x)							Рис.14.График F (x)

Важнейшие числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин

Характери-
стика случай-	Дискретная случайная	Непрерывная случайная
ной	величина	величина
величины

Математиче-

M xi pi

M x f (x)dx

i

ское ожидание

x1 p1 x2 p2 ...

D xi2 pi (M )2

D x2 f (x)dx (M )2

Дисперсия

i

x2 p

x2 p

... (M )2

1

1

2

2

Коэффициент

( xi M )3 pi

A

1

( x M )3 f ( x)dx

3

асимметрии

A

i

3

( x M )

4

p

1

4

E

( x M ) f ( x)dx 3

Эксцесс

i

i

i

3

E

3

4

72

Задачи к разделу 7

7.1. Случайная величина имеет математическое ожидание 3 и дис-

персию 12. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 3 + 7.

7.2. Дискретная случайная величина задана законом распределения

xi	– 2	– 1	1	2	4
pi	0,3	0,5	0,1	0,05	0,05

Найти: а) математическое ожидание, дисперсию и среднее квад-

ратическое отклонение случайной величиной ; б) вероятность

Р{ξ >0}; в) условную вероятность Р{ξ > 0 / ξ > – 2}; г) условную ве-

роятность Р{ξ >1 / ξ < 4}. Построить график функции распределения случайной величины .

7.3. Число попыток сдачи экзамена по высшей математике для сту-

дентов кулинарного техникума является случайной величиной , рас-

пределенной по следующему закону:

xi	1	2	3	4	5
pi	0,2	0,4	0,3	0,07	0,03

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной вели-

чиной , а также вероятность того, что студент сдаст экзамен не бо-

лее чем с трех попыток.

73

7.4. Студенты решили, что оценки, которые ставят два экзаменатора,

представляют собой случайные величины и , имеющие законы распределения:

	xi	2	3		4		5				yi		2	3		4	5
	pi	0,5	0,12		0,18		0,2				pi		0,3	0,32		0,28	0,1
	К какому экзаменатору предпочтительней попасть: а) "двоечни-
ку"? б) "отличнику"? в) чтобы не потерять стипендию?
7.5. Закон распределения случайной величины ξ имеет вид:
					xi		– 2	1		3			6	10

pi 0,25 0,15 0,05 0,45

(Клякса поставлена одним из авторов! К ним можно обращаться за исходным значением вероятности).

Найти: а) математическое ожидание и дисперсию случайной ве-

личины; б) условные вероятности: P{ 8 / 1}, P{ 1 / 8}.

7.6. Из колоды в 36 карт наугад берут три карты. Случайной величи-

ной является: а) – количество вынутых карт трефовой масти; б) –

количество тузов; в) – количество карт красной масти. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение каждой из случайных величин , , .

7.7. Известно, что каждый пассажир, забронировавший билет, с веро-

ятностью 1/10 отказывается от полета. Авиакомпания A продает 10

билетов на свой 9-местный самолет, а авиакомпания B ‒ 20 билетов на 18-местный самолет (эта практика называется «овербукингом»).

74