Глава 1

Точной верхней (нижней) гранью ограниченного множества X

называется наименьшее (наибольшее) из чисел, ограничивающих
множество	X	сверху (снизу). Точная верхняя (нижняя) грань
множества	X обозначается символом					sup X или	sup x (inf X			или
inf x ) и читается «супремум X » («инфимум X »):							x X
x X	1) x X		x≤s ,
s = sup x				′		′	′	′		′
	2)		′		>s						.
x X		ε>0 x X		x		−ε или s <s x X		s	<x
i = inf x	1)	x X	i ≤x ,	′		′	′	′	′
x X	2)		′							.
		ε>0 x X		x <i +ε или i >i			x X	x <i

Верхней гранью неограниченного сверху множества X принято считать « +∞», а нижней гранью неограниченного снизу множества X « −∞».

Теорема 1.16 (принцип верхней грани). Всякое непустое огра-

ниченное сверху (снизу) множество имеет и притом единственную точную верхнюю (нижнюю) грань [4].

4Докажем, что непустое				ограниченное	сверху множество
X	имеет единственную точную верхнюю грань.
Обозначим через Y =		{	y y	}	множество верхних
				и x X , y ≥ x

гранеймножества X . Поусловию X ≠ иограничено, азначит, и Y ≠ . Докажем теперь единственность точной верхней грани. Так как X ≠ и Y ≠ , то, в силу аксиомы полноты, существует число d

такое, что

x X y Y x ≤ d ≤ y ,

(1.7)

причем число d есть элемент множества Y , так как для него выполняется характеристика множества Y . С другой стороны, из (1.7) следует, что y Y, y ≥ d , следовательно, d – минимальный эле-

мент множества Y , причем единственный (см. лемму 1.1). Существование и единственность точной нижней грани ограни-

ченного снизу множества доказывается аналогично.3

Следствие. В любом непустом ограниченном сверху (снизу) подмножестве множества целых чисел имеется максимальный (ми-

нимальный) элемент.
4Докажем случай ограниченного сверху множества.
Пусть M	– рассматриваемое множество. По условию M ≠ ,
следовательно,	!sup M = s	. Тогда, по определению	sup , взяв
ε =1, можно утверждать, что		s −1 < n ≤ s .
	n M		(1.8)

27

Докажем от противного, что n = max M . Если предположить, что

n′ M такой, что n′ > n , то (см. свойства целых чисел)
n′ ≥ n +1.	(1.9)

Из (1.8) и (1.9) получаем s < n +1 ≤ n′. Но неравенство s < n′ противоречит тому, что s = sup M .

Для ограниченного снизу множества доказательство аналогично.3

Замечание 1 . Точная грань может как принадлежать, так и не принадлежать множеству.

Замечание 2 . Если точная верхняя (нижняя) грань принадлежит множеству, то она совпадает с максимальным (минимальным) элементом множества.

Замечание 3 . Каждое непустое числовое множество имеет верхнюю и нижнюю грани, принадлежащие расширенному множеству действительных чисел.

Свойства точных граней

1. sup{−x x X }= −inf X , inf {−x x X }= −sup X .

2.sup{x + y x X , y Y}= sup X +supY , inf {x + y x X , y Y}= inf X +inf Y .

3.sup{x − y x X , y Y}= sup X −inf Y .

4.Если λ ≥ 0 , то

{

}

{

}

sup λx

x X

= λsup X ,

inf

λx

x X

= λinf X .

5.

Пусть X =

{

x

x ≥

}

, Y =

{

y

y

}

. Тогда

0

≥ 0

sup{xy

x X , y Y}= sup X supY ,

inf {xy

x X , y Y}= inf X inf Y .

Теорема 1.17 (теорема Архимеда). Если h

, h > 0 , то

x !k

(k −1)h ≤ x < kh .

x

4Рассмотрим множество A = n

n ,

< n :

h

1)

A ≠ , так как

не ограничено сверху;

28

2) A ограничено снизу (например, числом hx ). Следовательно, в

множестве A есть минимальный элемент k = min A , то естьn A n ≥ k , а значит k −1 A .

	k A						k −1 A
	k >		x				k −1 ≤	x
			h			x		h
				k −1 ≤			< k .
	Учитывая, что h > 0					h
		, из последнего двойного неравенства получим
				(k −1)h ≤ x < kh .
	Единственность k	, удовлетворяющего этим двум неравенствам, сле-

дуетизединственностиминимальногоэлементачисловогомножества.3

	Следствие 1. ε > 0 n 0 <		1	< ε.
	4По теореме Архимеда n		n
		1 < ε n ( x :=1, h := ε, k := n ). По-
	скольку 0 <1 и 0 < ε, имеем 0 < n . Такимобразом, n и 0 <				1	< ε.3
					n
	Следствие 2. Если число x	таково, что 0 ≤ x и n				x <	1	,
	то x = 0 .						n

4Соотношение 0 < x невозможно в силу предыдущего следствия,

так как если x > 0 , то n

1

< x , что противоречит условию.3

n

Следствие 3. a,b

{a < b r

a < r < b}.

4Учитывая следствие 1, подберем n

так, что

0 <

1

< b −a .

n

По теореме Архимеда найдем такое число m , что

m −1

≤ a <

m

( x := a, h :=

1

, k := m).

n

n

n

Тогда

m

< b , ибо в противном случае

m −1

≤ a < b ≤

m

, и, сле-

n

n

1

m

m

n

довательно,

≥ b −a . Таким образом, r =

и a <

< b .3

n

n

n

29

	Следствие 4. a,b {a < b r \			a < r < b}.
	4Из предыдущего следствия получим, что между числами						a
	b		найдется некоторое рациональное число m				2
и		2			n	, но тогда для ир-

рационального числа	m 2 выполняется неравенство a < m 2		< b .3
	n	n
Следствие 5. x		!k k ≤ x < k +1.

4Утверждение следует из теоремы Архимеда, если положить h =1.3

Замечание. Указанное число k	обозначается [x] и называется
целой частью числа x , а величина	{ }					[	x	]	называется дроб-
	x := x −					{
ной частью числа x . Таким образом, x =		[	x	]	+		}		, причем	{ }
							x			x ≥ 0 .

Следствие 6. Числовую прямую можно покрыть не более чем счетным количеством непересекающихся интервалов.

4Докажем от противного. Пусть числовая прямая покрыта более чем счетным количеством непересекающихся интервалов. Выберем в каждом интервале по одной рациональной точке. Это можно сделать, так как по свойству 4 между любыми двумя вещественными числами существует рациональное число. Так как интервалы не пересекаются, то разным интервалам будут соответствовать разные рациональные числа. Множество рациональных чисел счетно,

поэтому количество интервалов не может быть более чем счетно. 3

Пример 1.6. Покажем, что множество всех правильных дробей:

A = m		m, n	и 0 < m < n	,
n

не имеет наименьшего и наибольшего элементов; inf A = 0 , sup A =1.

4Докажем от противного. Пусть m n ( n, m

) –

наименьшее

(наибольшее) число. Тогда,

учитывая,

что n, m

справедливы

неравенства

m

=

2m

>

2m −1

> 0 (

m

=

2m

<

2m +1

<1),

(1.10)

2n

2n

n

2n

n

2n

получаем, соответственно, меньший (больший), чем указанный наименьший (наибольший) элемент множества. Следовательно, предположениеосуществованиинаименьшегоинаибольшегоэлементовневерно.

30

Согласно теореме Архимеда ( x := m, h := ε, k := n ):

ε > 0 m n n > m / ε .

Тогда m

n

< ε и, учитывая неравенства (1.10), получим: inf {m }= 0 .

n

Аналогично для верхней грани

ε > 0 p m m >

p(1−ε)

( x := p, h :=

ε

, k := m ).

ε

1−ε

m

Отсюда

>1−ε, то есть при n = p + m имеем

m

n

>1−ε, а это

p + m

означает, что sup{m

вместе с неравенством m

n

<1

}=1.3

n

Системой вложенных отрезков называют множество S , элемента-

микоторогоявляютсяотрезки, причем I1 , I2 S I1 I2 или I2 I1 .
Функцию f : → X натурального аргумента называют после-
довательностью элементов множества X . Значение f (n)	функ-
ции f , соответствующее числу n , обычно обозначают xn	и на-
зывают n-м членом последовательности.

Система вложенных отрезков называется последовательностью вложенных отрезков, если они занумерованы, причем любой отрезок с большим номером содержится в отрезке с меньшим номером.

Последовательность вложенных отрезков называется стягивающейся, если в ней есть отрезки сколь угодно малой длины.

Лемма 1.2 (о вложенных отрезках, или принцип Коши-

Кантора). Пусть S – система вложенных отрезков, тогда

x I S x I .

4Пусть A – множество левых, а B – множество правых концов

отрезков. Тогда a A b B a ≤ b .									Действительно,	пусть
[a,b′],[a′,b] S – произвольные отрезки, тогда возможны два случая:
1) [a,b′] [a′,b],								2) [a′,b] [a,b′],
	a′ ≤ a			< b′ ≤ b ,					a ≤ a′ < b ≤ b′,
		a		≤ b ;					a ≤ b .
a				b			x	a′	a b′ b x
		a′			b′
Поэтому, в силу аксиомы полноты, x									a A b B	a ≤ x ≤ b ,
а значит,	x			I S			x I . 3

31

Лемма 1.3 (о последовательности стягивающихся отрезков).

Последовательность стягивающихся отрезков содержит общую точку и притом единственную.

4Наличие этой точки следует из предыдущей леммы. Докажем единственность от противного. Пусть все отрезки содержат две различных точки a и b (для определенности положим a < b ), тогда длина всех отрезков должна быть больше, чем b −a > 0 , но это противоречит тому, что в последовательности есть отрезки сколь угод-

но малой длины.3

Теорема 1.18 (теорема Кантора о мощности отрезка).

Множество точек отрезка несчетно.

4Докажем от противного. Пусть все точки отрезка занумерованы x1 , x2 ,..., xn ,.... Делим отрезок на 3 части. Тогда точка x1 не принад-

лежит одному из этих отрезков. Делим его на 3 части. Тогда точка x2

не принадлежит одному из получившихся отрезков и т.д. Мы получим систему вложенных отрезков. По лемме о вложенных отрезках, существует точка, принадлежащая сразу всем отрезкам. Но эта точка не может совпадать ни с одной из точек последовательности

x1 , x2 ,..., xn ,... по построению.3

Говорят, чтосистема S множеств X покрывает множество Y ,

если Y X .

X S

Лемма 1.4 (лемма Бореля-Лебега о конечном покрытии). В

любой системе интервалов, покрывающих отрезок, имеется конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.

4Пусть S – система интервалов, покрывающих отрезок [a,b]= I1 .

Если бы отрезок I1 не допускал покрытия конечным набором интервалов системы S , то, поделив I1 пополам, мы получили бы, что, по крайней мере, одна из его половинок, которую мы обозначим I2 , тоже не допускает конечного покрытия. С отрезком I2 проделаем ту же процедуру деления пополам, получим I3 и т.д.

Таким образом, возникает последовательность I1 I2 I3 ...

вложенных отрезков, не допускающих конечного покрытия S . По-

скольку длина

отрезка, полученного на n-м шаге, по построению

равна

I

n+1

=

I

/ 2n , то в последовательности I , I

2

, I

3

,... есть отрезки

1

1

сколь угодно малой длины. По лемме о вложенных отрезках

!c n c In .

32

Так как c I1 =[a,b], то найдется интервал (α,β)=U S , содержащий точку c , то есть α < c < β. Пусть ε = min{c −α, β−c}.

Найдем в построенной последовательности такой отрезок In , что

In < ε. Так как c In и In < ε, то In U = (α,β). Но это противоречит тому, что отрезок In нельзя покрыть конечным набором ин-

тервалов системы.3

Пусть X – произвольное множество вещественных чисел. Точка a называется предельной точкой множества X , если в любой ее окрестности содержится бесконечное количество точек множества X , или, что то же самое, в любой ее окрестности есть хотя бы одна точка множества X , отличная от a .

Лемма 1.5 (о предельной точке, или принцип Больцано-

Вейерштрасса). Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

4Пусть X – данное множество. Из определения ограниченности множества X следует, что X содержится в некотором отрезке X [a,b]= I . Покажем, что, по крайней мере, одна из

точек отрезка I является предельной для X .

Если бы это было не так, то каждая точка x I имела бы окрестность, в которой либо вообще нет точек множества X , либо их там конечное число. Совокупность таких окрестностей, построенных для каждой точки x I , образует покрытие отрезка I интервалами U (x)= (x −ε, x +ε), из которого по лемме о конечном покрытии

можно извлечь конечную систему U (x1 ),U (x2 ),...,U (xn ) интерва-

лов, покрывающих отрезок I . Но поскольку X I , эта же система покрывает все множество X . Однако в каждом интервале U (xi )

только конечное число точек множества X , значит, в их объединении тоже конечное число точек X , то есть X – конечное множество. А по теореме Кантора (о мощности отрезка) множество точек отрезка бесконечно.3

33