Глава 3

в)

а)

б)

x1 1111,,, , x2	11,, 1, 1 , x3	1, 11,, 1 ,
y1 1, 1, 11, ,	y2 2, 2,0,0 ,	y3 3, 111,, .
3.5.4. Докажите, что
сумма S двух линейных подпространств			L1	и	L2	тогда и только тогда будет

прямой суммой, когда пересечение этих подпространств состоит только из нулевого вектора;

сумма S двух линейных подпространств L1	и L2 тогда и только тогда будет
прямой суммой, когда dim L1 L2 dim L1	dim L2 .

											.
		3.5.5. Докажите, что L1
x			2,3,5,11 ,	x		2		11,,2,5 ,		x		3
1
y			2,1,2,3 ,	y	2		11,,4,3		,	y	3
1

L2 R4 , где

0,111,, ;

5,2,2,6 .

L L x			, x	2	, x	3
1		1

и

L2

L y	, y	2	,
1

y	3

;

	3.5.6. Проверьте, что линейные подпространства L1 и				L2 , натянутые на
системы векторов x1 2,3,11,5 , x2 11,,5,2 , x3 0,111,,					и y1 2,1,3,2 ,
y2 1,1,3,4 , y3 5,2,6,2 соответственно, дают в прямой сумме все простран-
ство	R	4	и найдите разложение вектора	x 2,0,0,3 по этим подпространствам.
	3.5.7. Докажите, что пространство			Rn,n всех действительных квадратных

матриц порядка n

является прямой суммой подпространства

L1

симметричных

матриц и подпространства L2 кососимметричных матриц.

3.5.8. Докажите, что для любого подпространства

L1

линейного простран-

ства L найдется дополнительное подпространство

L2

.

такое, что L L1 L2 .

Единственным ли образом определяется дополнительное подпространство для данного L1 ?

		3.5.9. Для подпространства
1			1				2
L				1,3,0, 1				3,5,1,2

3		1	,	2	,	3	R
	2,2,1,3

найдите два различ-

ных дополнительных подпространства в

R	4

.

51