Глава 2

§ 2.3. Миноры, алгебраические дополнения и теорема Лапласа

Выделим в квадратной матрице

A

порядка

n

k

строк и

k

столбцов.

Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу

порядка								k . Ее определитель назовем минором	k - го порядка и обозначим
i		,i			, ,i
m	1		2				k	,		2.31.
	j	, j		2		, , j		k
	1

где i1,i2 , ,ik минорами 1-

( j1 , j2 , , jk ) - номера выделенных строк (столбцов). В частности, го порядка являются элементы ij матрицы A .

Если вычеркнуть из матрицы A	строки с номерами i1	,i2 , ,ik и столбцы с
номерами j1 , j2 , , jk , то останется	минор порядка n k ,	называемый допол-

нительным минором для минора 2.31. . Дополнительный минор обозначается

M	i	,i	, ,i			.
	1	2			k
	j	, j		, , j		k
	1	2

Алгебраическим дополнением минора

	2.31.

называется его дополни-

тельный минор, взятый со знаком

	1 i

j

, где

i i	i	2	i	k	, j j
1					1
обозначается				Aij .

j	j	.
2	k

Алгебраическое дополнение элемента ij

Теорема Лапласа. Пусть в матрице A порядка n произвольно выбраны k строк (или столбцов), 1 k n 1. Тогда определитель матрицы A равен сумме произведений всех миноров порядка k , содержащихся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения. Запишем формально теорему Лапласа для фиксированных номеров строк:

det A

i

,i

, ,i

M

i

,i

, ,i

i j

m

1

2

k

1

2

k

1

j

, j

2

, , j

k

j

, j

, , j

k

j

, j

, , j

1

1

2

k

1

2

n

1 j

j

j

1

2

k

2.3.2

В случае фиксированных2.3.2 производится по i1,i

2

номеров столбцов суммирование в , ,ik с учетом того, что 1 i1 i2

соотношении

ik n .

Используя теорему Лапласа, можно доказать, что определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка над полем F равен произведе-

нию определителей этих матриц:		2.3.3
det AB det A det B .
Частным случаем теоремы Лапласа являются следующие формулы разло-
жения определителя по строке		2.3.4
det A i1 Ai1 i2 Ai2 in Ain ,	1 i n,
и по столбцу		2.35.
det A 1 j A1 j 2 j A2 j nj Anj ,	1 j n.

Соотношения 2.3.4 и 2.35. позволяют свести вычисление определителей n - го порядка к вычислению определителей n 1 - го порядка.

20

Пример 1. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислите определитель

1	0	2	0	3
0	2	0	3	0
2	0	3	0	4 .
0	3	0	4	0
3	0	4	0	3

Решение. Теорема Лапласа позволяет свести вычисление исходного определителя к вычислению определителей меньших порядков. Ею удобно пользоваться тогда, когда в определителе имеются равные нулю миноры. В этом случае при вычислении определителя необходимо выделять те k строк или столбцов, которые содержат наибольшее число миноров k - го порядка, равных нулю. Исходя из этого, разложим определитель по теореме Лапласа, используя вторую и четвертую строки. Получим:

1	0	2	0	3
0	2	0	3	0	0	2	2	0	3							2 4 1 2 0			0	0		0		3											2 4 1 3
2	0	3	0	4			3	0	4			1								0		0	4					1
					0	3												0	0
0	3	0	4	0			4	0	3											0		0		3
3	0	4	0	3
							0	2	3												0	2		0
				0		3 0		3	4					1		2 4 1 4 0			0 0			3		0					1							2 4 1 5
					0	4												0	0
							0	4	3												0	4		0
				2		0	1	0	3								2 4 2 3	2		3	1		2		3									1 2 4 2 4
							2	0	4						1						2		3		4
					3	0												3		4
							3	0	3												3		4		3
				2		0	1	2	0								2 4 2 5	0		3	1		0		3								1 2 4 3 4
							2	3	0						1						2		0		4
					3	0												0		4
							3	4	0												3		0		3
				0		0	1	0	0						1 2 4 3 5			3		0	1		0		2							1 2 4 4 5
							2	0	0												2		0		3
					0	0												4		0
							3	0	0												3		0		4
				2		3	1	2	3
							2	3 4 8 9 9 24 24 27 16 12
					3	4	3	4	3

1 57 55 2.

21

Пример 2. Вычислите определитель

9	7	6	8	5
3	0	0	2	0
5	3	0	4	0.
1	0	0	0	0
7	5	4	6	0

Решение. Учитывая, что в пятом столбце определителя имеется только один ненулевой элемент, разложим определитель по элементам пятого столбца. Получим:

9	7	6	8	5		3	0	0	2
3	0	0	2	0
						5	3	0	4
5	3	0	4	0	5					1 1 5	A .
1	0	0	0	0		1	0	0	0
						7	5	4	6
7	5	4	6	0

Разложив последний определитель по элементам третьей строки, будем иметь:

0	0	2
A 5 3						3 1 5 24 120.
	0	4			1
5	4	6

2.3.1. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислите определители:

		2	1	1		3	4			0	0	2	5	0	0		1	5	4	1	2
										0	0	1	3	0	0
		1	0	0		0	5										2	1	0	5	8
										2	1	0	0	0	0
	а) 3		1	1		4	1 ;	б)								;	в) 8	10	0	1	5 ;
									3		6	0	0	0	0
		1	0	0		0	7										0	0	0	6	7
										0	0	0	0	1	1
		5	2	3		6	1										0	0	0	8	9
										0	0	0	0	3	4
		1	2	0		0	0	0
		3	8	0		0	0	0
	г)	2	3 2		1		0	0 .
		7	2	3		2	0	0
		5	1	3		5	7	5
		2	3	7		2	2	1

2.3.2. Докажите, что если все элементы одной строки (столбца) определителя равны единице, то сумма алгебраических дополнений всех элементов определителя равна самому определителю.

22

2.3.3. Вычислите определители, разложив их по элементам строки (столбца), содержащей буквы:

	1	0	1	1					2	1	1	x					a	1	1	1
а)	0	1	1	1		;	б)		1	2	1	y	;			в)	b	0	1	1	.
	a	b	c	d					1	1	2	z					c	1	0	1
	1	1	1	0					1	1	1	t					d	1	1	0
	2.3.4. Найдите:
a)	число всех миноров порядка k										квадратной матрицы порядка											n , содержа-
	щихся в фиксированных							k	строках;
б)	число всех миноров порядка									k этой матрицы.
	2.3.5. Докажите, что разложение Лапласа определителя порядка																						n по лю-
бым k		строкам (столбцам)						совпадает с его разложением по остальным																n k
строкам (столбцам).
	2.3.6. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислите определители, предвари-
тельно преобразуя их:
	3	5	1	4				2		1		3		4				3	1	1		4	1
																		4	1	1		4	6
	1	3	0	2				0		1		1		4
а)					;		б)								;		в) 6		2		3	6	8 .
	3	5	2	1				5		2		4		8
																		2	1	1		3	4
	1	3	5	7				1		0		1		1
																		5	2		3	6	1

§ 2.4. Крамеровские системы линейных уравнений Обратные матрицы

Система линейных алгебраических уравнений

			x			x		x		,
	11		1	12		2	1n n		1
			x			x		x			,
		21			22
			1			2		2n n	2
			x			x		x	.
		n1			n2
			1			2		nn n	n

2.41.

называется крамеровской, если определитель

матрицы A этой системы от-

личен от нуля. Такая система имеет единственное решение, и оно находится по

формулам Крамера

x			j	,	j 1,2, ,n,			2.4.2
	j
где определитель j получается из определителя							заменой	j - го столбца

столбцом свободных членов системы.

Для квадратной матрицы A порядка n обратной называют матрицу A 1 этого же порядка, удовлетворяющую условию

23

A	A	1	A	1	A E ,
где	E - единичная матрица.
	Для того, чтобы матрица
достаточно, чтобы матрица						A

					2.4.3
A	имела обратную матрицу	A	1	, необходимо и

была невырожденной, т.е. чтобы определитель

матрицы

и

A

был отличен от нуля. При этом матрица

A	1

также невырожденная

					A	A		A
					11	21		n1
			1		A	A		A
	1
A					12	22		n2		,
			det A
					A	A		A
					1n	2n		nn
где		Aij - алгебраическое дополнение элемента

ij

матрицы

2.4.4

A ; i, j 1,2, ,n.

	Укажем некоторые свойства обратных матриц. Пусть																											A и	B - невырож-
денные матрицы порядка																						n над полем			F	. Тогда справедливы следующие ра-
венства:
а) A		1			1			A;
																				;
б) A		1			T					A				T				1
																														2.4.5
в) det A 1											det A 1;
г) AB				1						B		1				A			1		.
	Наличие													обратной матрицы									A	1	к	матрице A крамеровской					системы
Ax b				позволяет решение этой системы записать в матричной форме в виде
x			1
	A		b.																												2.4.6
	Пример 1. Решить по формулам Крамера систему
2x1 x2 x3 0,
3x 2x						2			5x						3		1,												2.4.7
	1
x	3x				2		2x						3			4.
1
	Решение. Здесь определители
	2 1											1										0 1 1					2 0 1
3					2						5						28 0,					1 1	2		5	13,	2 3 1	5	47,
	1 3 2																					4 3 2					1 4 2
			2		1							0
3	3						2					1 21.
			1				3					4

24

Поэтому				x1			1			13		,	x2				2						47		,			x3
										28													28
	Пример 2. Для матрицы
	2		1			1
A		3		2
						5
				3
	1					2
найти матрицу							A		1		по формуле								2.4.4 .
	Решение. Сначала находим
			2	1				1
det A 3				2			5			28 0,
			1	3			2
A					2			5			11,			A													3
			1 1 1																	1 1 2
11					3			2						12													1
A						1				1		1,		A										2		2		2
			1 2 1																		1
21						3			2					22														1
A						1				1		3,		A											3 2			2
			1 3 1																			1
31						2			5					32														3

Поэтому

3 21.

28

5	1,		A										3	2	7,
							1 1 3
2			13										1	3
1		5,		A								2	3	2	1	7,
										1
2					23									1	3
1		13,		A								3 3		2	1	7.
											1
5					33									3	2

					11	21	31
			1		A	A	A			1		11	1
	A 1				A	A	A					1	5
					12	22	32			28
			det A										7
					A	A	A				7
					13	23	33

Пример 3. Решите систему уравнений Решение. По формуле 2.4.6 имеем:

3 13 . 7

2.4.7 методом обратных матриц.

																	13
			2	1	1	1	0				11		3 0
x1												1					28
x x2			3 2		5			1		1	1	5	13	1			47		.
										28							28
x3												7
			1	3	2			4			7		7	4			21
																	28

2.4.1. Решите следующие системы уравнений по формулам Крамера:

x 4 y 10,		2x 5y 1,	x 2 y z 12,
а)	б)		в) 3x y 4z 13,
3x y 9;	ax 5y 2a 5;
			x 5y z 27;

25

	2x 4 y 3z 14,
г)			4z 13,
	3x y
		x 5y z 27.

2.4.2. Найдите обратные матрицы для матриц

	a		b
а)			;
	c		d
		1	2	3
г)		2	3		;
				1
			1
	3			2

cos		sin
б)				;
sin		cos
	1	0
д) 0		1	;
	0
0

		1	0
				0
в)		2	1		;
				0
		3	0
				1

		1
е)			2			.
				n

2.4.3. Решите матричные уравнения, справедливы данные равенства:

а) X	1	2		5	3		1	1	X	3
				9	;	б)
3		4			5	3		4	2

т.е. найдите матрицы						X , для которых
5		3	1		5	6		14	16
;	в)	5		X				9	.
4			2	7		8			10

2.4.4. Методом обратных матриц решите системы а) в) из задачи 2.41. .

2.4.5. Матрица

A называется симметричной, если A

T

A. Докажите, что:

a)

матрица, обратная невырожденной симметричной, будет симметричной;

б)

для любой матрицы

B

матрица A BB

T

является симметричной;

в) произведение двух симметрических матриц A и B тогда и только тогда бу-

дет симметричной матрицей, когда

AB BA.

2.4.6.

Матрица

A

ij

называется

ортогональной,

если

AA

T

A

T

A E,

т.е. A

1

A

T

. Докажите,

что для ортогональности матрицы

необходимо и достаточно любое их условий:

i j,

n

1

при

ki

kj

ij

при

i j;

k 1

0

i j,

n

1

при

ik

jk

ij

при

i j.

k 1

0

ij

называется символом Кронекера.

2.4.7. Докажите, что:

а) произведение двух ортогональных матриц будет ортогональной матрицей; б) матрица, обратная ортогональной, ортогональна.

2.4.8. Найдите обратную матрицу для матрицы

A , если:

а) A2 4 A E 0; б) A3 5A2 3A E 0.

26

2.4.9. Вычислите

	1		1		2		1
а) A					,	B
			1
					3
			2	0	0
б) A	1		0	3	0			,
				0
		0			4

AB				1	и
		0		1
					,
	1			2
					0
	1
B					2
				2

A

1 32

1	, если
5;
	1
		,	3.
	5
	1

27