Глава 3

		1					2							1							1
	x					4		12	8				2		6	4				2		6	4
	x					6	12	9	3				2	4	3					0	3	9
		2														1							3
											~							~						.
	x					10	5	30					2	1	6					0	0	0
		3							20							4							0
						14	28	21					2	4	3					0	0	0
x		4							7							1							0

Получили, что в системе векторов

x1, x2 ,

зависимы и ранг этой системы равен 2. Будем рассматривать всевозможные

x3 , x4

векторы

x3 , x4

линейно

подсистемы из 2-х векторов (всего

таких подсистем

C2 4

	4!
	2! 4	2 !

6

). Если ранг некоторой такой подсистемы

окажется равен рангу всей системы, то исследуемая подсистема образует базу системы векторов. В противном случае рассматриваемая подсистема линейно зависима и по определению не может служить базой системы векторов.

		1				2											1									1
	x				4		12		8		~			2				6		4		~		2					6	4
					6	12	9						2				4	3									3		9		;
x		2						3												1			0							3
		1				2												1												1
	x				4		12				8				~		2			6			4			~		2			6		4
					10	5	30											1		6										0	0		;
x		3									20				2								4				0						0
		1				2											1										1
	x				4		12			8					2				6	4					2					6	4
					14	28	21				~				2		4		3			~					3			9	;
x		4							7											1				0							3
		2			6											2											2
	x					12	9				3							4		3		1							4		3		1
					10	5	30							~		2		1	6				~				0			3	9		;
x		3								20												4										3
		2			6									2									2
	x					12	9			3							4	3	1								4		3	1
					14	28 21					~			2			4	3		~				0			0		0		;
x		4								7									1											0
		3			10		30									2			6								2				6
	x					5				20								1				4								1			4
					14	28	21							~		2		4		3			~				0			3	9		.
x		4									7											1											3

x1

x1 y1

, x

Таким образом, базами системы векторов x1, x2 , x3 , x4 служат подсистемы

2 ;

x1 , x4 ;

x2 , x3;

x3 , x4 .

Пример 3. Эквивалентны ли системы векторов

111,, , x2 1,0, 1 , x3 1,3,5 и

1,2,3 , y2 0,1,2 , y3 3,4,5 , y4 4,6,8 ?

Решение. Начнем с нахождения рангов каждой системы векторов:

		1
	x					1	1	1				1	1	1				1	1	1
	x					1	0			~		0	1			~		0	1			;
		2						1						2						2
							3						2						0
x		3			1			5			0			4			0			0

38

		1
	y					1	2	3			1	2
	y					0	1				0	1
		2						2
									~
	y					3	4				0	2
		3						5
						4	6					2
y		4						8		0

Ранги систем векторов

3
2
4
4
x , x		2
1

	~
	, x
		3

1 0 0 0

и

2
		3
1
		2
				.
0
		0
0
		0
y	, y	2	, y		3	, y	4
1

совпадают (равны двум).

Следовательно, данные системы могут быть эквивалентны. Чтобы проверить это, нужно вычислить ранг объединенной системы векторов

x1 , x2 , x3 y1 , y2 , y3 , y4 . Если ранг объединенной системы совпадет с рангом

каждой системы векторов, системы эквивалентны (т.к. линейные оболочки совпадают). В противном случаене эквивалентны.

Поскольку в системе x1 , x2 , x3 вектор x3 линейно зависим, а системе

	y1		, y2			, y3 , y4			линейно зависимы векторы
	систему векторов x1 , x2 , y1 , y2 :
				1
		x						1	1	1				1	1	1				1
		x						1	0					0	1					0
				2						1						2
												~						~
	y						1		2	3			0		1	2			0
				1
									1						1	2
	y			2			0			2			0						0

y3	и
1
1
0
0

	y4	, нам достаточно рассмотреть
	1
	2
			.
	0
	0

Поскольку векторов x1 , x2 ,

ранг x3 и

объединенной системы векторов равен двум, системы y1 , y2 , y3 , y4 эквивалентны.

3.3.1. Опишите линейные оболочки следующих систем векторов:

а) x
		1,0,0,0,0 ,		x	2			0,0,1,0,0 ,
1

x	3			0,0,0,0,1

пространства

R	5

;

б) x	1 t	2	,
1

1 0

в) x1 0 1

0 0

x2	t t	2	,	x3 1 t t			2	пространства M2 R ;
0		0		0	1			0 1	0
						, x3					R3,3 .
0	, x2 1			0	0		0 0		1	пространства
				1
1		0			0			1 0	0

3.3.2. Рассмотрим линейную оболочку чисел 1, 2 в множестве действительных чисел R - векторном пространстве с операциями сложения действительных чисел и умножения действительного числа на рациональное число. Принадлежит ли этой оболочке число 42 ?

3.3.3. Докажите, что отношение эквивалентности систем векторов рефлексивно, симметрично и транзитивно.

3.3.4. Докажите, что элементарные преобразования системы векторов приводят к эквивалентной системе.

3.3.5. Найдите все базы для каждой из следующих систем векторов:
а) x1 3,1,0,0 ,	x2 4,3,2,1 , x3 9,3,0,0 ;
б) x1 1, 2,3, 4 ,	x2 2, 4,6, 8 , x3 3, 1, 2,1 ,	x4 9, 3, 6,3 ;

39

в) x1 1,2,3 ,

x2

2,3,4 ,

x3 3, 2, 3 , x4 4,3,4 ,

x5 2,2,2 ;

г) x1 2i,i, 1 , x2 2 3i,1 i,1 i , x3 3 2i, 1 i,1 i , x4 10 2i, 4i,4 .

3.3.6. Найдите какуюлибо базу системы векторов и все векторы системы,

не вошедшие в базу, выразите через векторы базы:

а) x1

3,1,5,2 ,

x2

2,3,4,1 ,

x3

1, 5, 3,0 ,

x4

1,2,3,4 ;

б) x

1,3,4, 3 ,

x

2

3,5,2, 1 ,

x

3

3,4,3, 2 , x

4

7,0, 7,6 ;

1

x1

3.3.7. Проверьте являются ли
1,0,0 ,		x	2			0,1,0 ,	x	3			0,0,1

эквивалентными системы и y1 0,0,1 , y2 0,11, ,

векторов
y	3		111,, .

3.3.8. Покажите, что система векторов

x1 1,	x2 t,	x3 t	2	и	y1 t 2,	y2 2,	y3 t	2	2t 3

эквивалентны.

40