Данилов. Определение внутренних усилий

3. Перерезывающее усилие Qx (Qy) равно сумме проекций на соответствующую ось всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения, записанных со знаком +, если внешняя сила вращает вокруг сечения часть тела по часовой стрелке, и со знаком - , если сила вращает часть тела против часовой стрелки (Рис.14 ).

Рис. 14
По правилу 3 Qyлев	P	;	Qyправ P	P		P
2			2		2

4. Изгибающий момент Mx (My) равен сумме моментов всех внешних сил относительно сечения, действующих по одну сторону от сечения. Момент внешней силы искривляющей рассматриваемую часть стержня выпуклостью вниз записывается со знаком +, выпуклостью вверх со знаком - . При этом в рассматриваемом сечении мыслится жесткое защемление, а верх и низ определяется по положительному и отрицательному направлениям координатной оси (Рис.15)

Рис. 15

21

			По правилу 4
Mxлев	P	z;	Mxправ	P	( z) P(		z)	P	z
						2
2			2				2

Таким образом, приведенные правила позволяют записать внутренние усилия через внешние нагрузки независимо от того, какая часть стержня принята к рассмотрению.

Использование дифференциальных зависимостей

Установление дифференциальных зависимостей является важным фактом, так как вскрывает соответствие между характером нагрузки и изменением внутренних усилий.

	dQ		dM		d2 M
Дифференциальные зависимости		q,		Q,		qпо-
	dz
			dz		d z2

зволяют проконтролировать правильность построения графиков.

Рассматривая пример 1 (рис.6) и используя зависимость dQ q, dz

определяем поведение графика Qy в зависимости от заданной нагруз-

ки q. Так в промежутке 0 /4 интенсивность q= 0, поэтому функ-

ция Qy постоянна на этом промежутке. Иначе говоря прираще-

ние Qy qdz 0dz 0 и величина Qy определяется начальным значением равным нулю. На промежутке /4 3 /4 приращение

Qy 0, но величина определяется начальным значением для данно-

го участка равным реакции опоры. На промежутке 3 /4 5 /4ин-

тенсивность qотрицательна, т.к. направлена против оси OY, и посто-

янна,	поэтому		приращение Qy qdz qzи						на длине
/2составит			ql	( сравните с разницей ординат		ql		и		3ql	),а
									8
		2			8
так как	q постоянна Qy изменяется равномерно.

22

Используя зависимость	dM	Qy , в качестве первой производ-
	dz

ной рассматривается Qy , а не q, а в качестве функции – M x. Но это не меняет сути. Так на интервале 0 /4 Qy = 0, и приращение

M Qdz 0, поэтому момент остается постоянным и равным начальному значению. На промежутке /4 3 /4 Qy постоянна и положительна, поэтому момент изменяется равномерно на величину

	M	/4	3	q dz		3	q 2 (подсчитайте площадь эпюры Qy на
			8		16
		3 /4

этом промежутке). На интервале 3 /4 5 /4 Qy равномерно изме-

няется, при этом изменяет знак. Равенство Qy = 0 указывает на то, что

функция в этой точке испытывает экстремум.

Очевидно, такого рода закономерности справедливы для всех графиков внутренних усилий и с их помощью можно проконтролировать правильность построенных графиков. Попробуйте проделать это для примера № 2.

Однако можно идти обратным путем, т.е. строить графики, опираясь на дифференциальные зависимости. Учитывая, что производная функции есть интенсивность изменения (приращения или убывания)

функции в точке, рассмотрим зависимость dQ q. dz

Из этой зависимости следует, что на каждом метре длины сила изменяется на qт . Если нас интересует изменение перерезывающей силы на конечной длине z0 , то мы должны записать интеграл этого выражения

z0
Q qdz C	(1)
0

Здесь С – начальное значение перерезывающей силы, а интеграл будет зависеть от вида функции q (z). Рассмотрим несколько видов функции q(z).

23

1) q(z) = 0. Перерезывающая сила не меняется на длине z 0 и равна постоянной С. Так в примере 1 (рис.6) на первом участке С = 0. Отсюда следует, что выражение (1) справедливо для одного участка, а границы участка являются пределами интеграла.

z0

2) q(z) = - q = const Q q dz C qz0 C .

0

Для простоты положим С = 0.

Изменение перерезывающей силы от такого вида нагрузки можно получить путем графического интегрирования. Пусть на участке длиною а (рис.16а) приложена распределенная нагрузка интенсивностью q . Разобьем всю нагрузку на множество участков единичной длины. Площадь каждого такого участка, равная площади прямоугольника высотою q и основанием равным единице, представляет приращение перерезывающей силы на единице длины. График изменения Q строим следующим образом. Смещаясь по оси абсцисс, на каждую единицу длины будем накапливать (суммировать) по ординате в виде вектора площадь равную q 1.

Очевидно, на длине участка а накопится площадь прямоугольника высотою q и основанием а. При разбиении нагрузки на бесконечное множество участков получим в пределе график изменения перерезывающей силы в виде прямой.

		z0	z2
	3) q(z) kz	Q k zdz k		C
			2
		0
		z0			z2
	4)q(z) kz q0	Q ( kz q0 )dz k				q0z C,
					2
		0

где k q0 a

Последний случай может быть получен в виде линейной комбинации второго и третьего.

Полагая С = 0, и проводя графическое интегрирование, будем рассуждать также как и в предыдущем случае. Только теперь каждый участок с основанием равным единице (рис.16 б,г) будет трапецией. Площади двух смежных трапеций будут отличаться на одну и ту же величину. Смещаясь по оси абсцисс, на каждую величину длины будем суммировать по ординате не одинаковую площадь, а возрастающую

24

пропорционально z (рис.16б), или убывающую пропорционально z (рис.16г). Изменение перерезывающей силы на длине а будет равно площади треугольника с основанием а и высотою q 0. В пределе, при выборе бесконечного множества участков, изменение перерезывающей силы будет происходить по кривой.

Уместно отметить характер изменения кривой. На рис. 16б кривая изменения Q от нулевой линии в начале участка отходит под маленьким углом – этому соответствует малая интенсивность распределенной нагрузки. В конце участка угол, составленный касательной к кривой и осью абсцисс, становится сравнительно большим, чему соответствует возросшая интенсивность нагрузки. На рис. 16 г имеем тоже соответствие величины интенсивности и угла касательной, проведенной в каждой точке кривой. таким образом можно определить направление выпуклости и вогнутости графика.

	z0
5) q(z) k(a 2z)	Q k(a 2z)dz kaz kz2 C.
	0

Этот вариант нагрузки (рис.16в) является частным случаем уже рассмотренного четвертого пункта.

Он интересен тем, что нагрузка на первой половине участка положительна, а на второй половине отрицательна, при

	a	a
z		q			0. Как видно из рис.16 в, на первой половине участ-
			2
2

ка график изменения перерезывающей силы возрастает на q0 a , а на

4

второй убывает на такую же величину. При z a перерезывающая

	сила достигает максимума.				2
			dM
	Рассматривая	зависимость		Q,	можно	запи-
			dz

z0

сатьM Qdz D

0

Рассуждая аналогично тому, как это делалось для зависимости (1), получим те же результаты, так как по-прежнему рассматривается зависимость между функцией и её первой производной. Поэтому, если на рис. 16 графики нагрузки принять за графики перерезывающих сил,

25

то графики изменения перерезывающих сил можно считать графиками изменения изгибающих моментов.

Рис.16 а

Рис.16 б

Рис.16 в

Рис.16 г

26

Из рассмотренных примеров сделаем следующие выводы: Изменение перерезывающей силы Q на данном участке равно

площади эпюры распределенной нагрузки на этом участке. Изменение изгибающего момента M на данном участке равно

площади эпюры перерезывающей силы на этом участке.

Исходя из рассмотренных зависимостей можно строить эпюры Q и М путем графического интегрирования. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

ЗАДАЧА

Простроим графики внутренних усилий от более сложных нагрузок (рис.17). Эпюру Мх построим со стороны сжатых волокон балки, т.е. ординату Мх совмещаем с осью ОУ.

Рис.17

27

1.

Определяем опорные реакции

RЛ

3

P

M

M

4qa2

17

qa

2

2a

4

2a

2 2a

RП

5qa2

M

M

4qa2

Pa

7

qa

2a

2 2a 2a 2a

2a 4

2. Для перерезывающей силы имеем три участка.

Сечение 0+0: Q0 qa

Сечение а-0: Qa 0 qa т.к. Q1

0

Сечение а+0: Qa 0

qa

17

qa

13

qa

Сечение 3а-0:

4

4

13

3

Q

Q

Q

qa 2q 2a

qa

3a 0

a 0

2

4

4

Сечение 3а+0: Q

3a

0

Q

R

п

3

qa

7

qa qa

3a 0

4

4

Сечение 4а-0:

Q4a 0

Q4a 0

Q3a 0 Q3

qa qa 0

2. Строим график момента.

Здесь нужно учесть, что на пролете перерезывающая сила меняет знак, поэтому для момента получим четыре участка.

Сечение 0+0: M0 0

Сечение а-0: Ma 0 M0 M2 qa2

Сечение а+0: Ma 0 Ma 0 M qa2 qa2 2qa2

На пролете для определения площадей треугольников (Эпюра перерезывающей силы) нужно определить основания этих треугольников. Это можно сделать из подобия треугольников с высотами

13 qa и 3qa.

4 4

	13		qa		3		qa	; z0		13	a.
	4 z0 4 (2a z0)								8

28

Эту операцию можно проделать и таким образом. Запишем величину перерезывающей силы в сечении a z0

Qa z0 Qa 0 Qz0 0.

			Здесь z0		отсчитывается от левой опоры. Так как Qa 0																													13		qa,
		13								13																							4
то				qa 2q z0 0; z0									a.
			4					8
			Сечение а+z0:													1			13							13				41
M	a			M	a 0	M	2qa2															qa						a				qa2
			z 0				z 0								2 4								8						64
			Сечение 3а-0:
								41							2		1						3				13					qa2
M	3a 0 Ma z0 M						34a					qa													qa				a
									64											2			4				8						2
			Сечение 3а+0: M3a 0 M3a 0											M											qa2
			Сечение 4а-0:																				2
M	4a 0 M3a 0 M4							qa2						qa			2		0 M 4a 0 .
								2							2

График изгибающего момента на пролете изобразится в виде кривой (см. рис. 17), которая строится по трем точкам: на концах пролета

и при Qz0 0.

Таким образом, если выполнять правила и внимательно рассмотреть рис.17, можно строить графики усилий на каждом участке отдельно.

В случае более сложных нагрузок (выше нулевого порядка) вычисление площадей эпюр можно проводить аналитическим интегрированием функции соответствующего усилия.

29

Варианты заданий и числовые данные

М q a2;

F q a

№

внешние

внешние силы

интенсивность

а,

вар

моменты

распред. нагр.

м

М1,

М2,

М3,

F1,

F2,

F3,

q,

кН

кН

кН

Н

Н

Н

кН/м

1

2М

М

2М

F

2F

3F

10

1

2

2M

2M

M

F

2F

F

20

0,8

3

3M

2M

M

3F

2F

2F

10

1

4

2M

3M

2M

2F

F

2F

15

2

5

4M

2M

M

3F

F

F

10

1

6

M

2M

M

F

3F

F

20

1

7

3M

M

M

F

2F

4F

30

1

8

2M

M

2M

3F

F

3F

15

0,8

9

M

M

M

F

F

F

10

0,8

10

2M

M

M

2F

F

3F

15

0,8

11

3M

3M

M

3F

F

F

20

2

12

M

4M

M

4F

4F

2F

30

2

13

4M

2M

2M

F

F

4F

15

2

14

3M

M

3M

3F

F

3F

10

1

15

M

M

2M

F

3F

F

15

1

16

3M

2M

M

3F

F

2F

30

1

17

M

M

3M

F

2F

3F

15

0,8

18

3M

M

M

3F

F

F

10

0,8

19

2M

M

2M

2F

F

2F

30

0,8

20

M

3M

M

3F

4F

F

20

1

21

2M

3M

4M

3F

2F

2F

15

1

22

M

5M

M

F

3F

2F

10

2

23

3M

M

M

3F

2F

2F

10

1

24

2M

2M

2M

F

F

F

20

0,8

25

4М

М

2М

F

4F

F

15

2

26

M

3M

2M

2F

2F

4F

10

1

27

2M

M

2M

F

2F

3F

25

0,7

28

3M

4M

M

4F

F

2F

20

2

30