Zagryadtskiy_elektr_mashiny_2

по синусоидальному закону. Выбрав за начало координат точку О, находящуюся на оси катушки, получим выражение МДС катушки в функции времени и пространственного угла α :

Fkta1 = 0,9IkWk sin ωt cosα.

(1.40)

Таким образом, МДС катушки представляет собой косинусоидально распределенную в пространстве пульсирующую волну.

МДС катушечной группы с диаметральным шагом. В распре-

деленной катушечной группе, состоящей из q смещенных друг относительно друга катушек с диаметральным шагом и принадлежащих к одной фазе, результирующая МДС равняется не арифметической, а геометрической сумме МДС отдельных катушек. Уменьшение величины результирующей МДС учитывается при помощи коэффициента распределения, аналогичному коэффициенту распределения ЭДС (см. п. 1.5.2). Значение амплитуды результирующей МДС равно

Fq1 = qFk1k р1 = 0,9k р1qI kWk .

(1.41)

Амплитуда высшей ν - ой гармоники

Fkν = qFkν k рν .

(1.42)

Выражение МДС катушечной группы с полным шагом в функции времени и угла запишется

Fqta1 = 0,9k р1qI kWk sin ωt cosα .

(1.43)

Для ν - ой гармоники

Fqtaν = 0,9k рν qI kWk sin ωt cosνa .

(1.43')

МДС фазы обмотки. Для определения амплитуды МДС фазы двухслойной обмотки, которые обычно состоят из катушек с укороченным шагом, необходимо учесть укорочение шага. Верхние и нижние слои обмотки можно представить катушками с полным шагом. Верхние и нижние слои смещены на угол (1-β)π. Поэтому сложение

40

МДС верхнего и нижнего слоев производится также, как и сложение ЭДС катушек обмотки с укороченным шагом, т.е.

Fф1 = 2Fq1k у1 .

(1.44)

Подставляя в (1.44) выражение (1.41), а также учитывая, что при последовательном соединении катушечных групп в фазе число витков в фазе W = 2 pqWk , а ток I k равен току фазы I, запишем ампли-

туду первой гармоники МДС

F	= 0,9	Wkоб1			I .	(1.45)
ф1			p
Амплитуда ν – ой гармоники МДС
F	= 0,9		Wkобν		I .	(1.46)
фν			νp

Выражение МДС для всей фазы, например фазы А, можно записать следующим образом

	FA = Fф1 sin ωt cosα + Fф3 sin ωt cos 3α +	(1.47)
	+ Fфν sin ωt cosνα .

Из (1.47) следует, что МДС однофазной обмотки представляет собой распределенную в пространстве и во времени (пульсирующую) волну.

МДС трехфазной обмотки. МДС трехфазной обмотки получим как сумму МДС отдельных фаз А, В, С.

МДС фазы А:

FA = [ Fф1 cosα + Fф3 cos 3α + Fф5

cos 5α + · + Fфν cosνα +

(1.48)

···]sin ωt .

МДС фазы

В:

F = [ F

cos(α −

2π

) + F

cos 3(α −

2π

) +

B

ф1

3

ф3

3

2π

F

cos 5(α −

) + ··· +

(1.49)

ф5

3

+ F

cosν(α −

2π

)+ ···]sin(ωt −

2π

).

фν

3

3

41

МДС фазы С:

4π

F =

[ F

cos(α −

)

C

ф1

3

4π

4π

+ F

cos 3(α −

) + F

cos 5(α −

4π

) +···+ + F

cosν(α −

)+ (1.50)

ф3

3

ф5

3

фν

3

···]sin(ωt − 43π ).

Складывая первые гармоники МДС всех трех фаз, получим выражение для первой гармоники вращающейся результирующей МДС электрической машины

F

,α)

=

3

F

sin(ωt −α) = F

sin(ωt −α),

2

(1.51)

1(t

ф1

1m

где амплитуда результирующей

МДС

F1m

на один полюс больше

амплитуды МДС первой гармоники фазы в 3/2 раза

F

=

3

F

=

3

0,9Wkоб1

I =

1,35

Wkоб1

I .

1m

2

ф1

2

p

p

(1.52)

При любом числе фаз m выражение ( 1.52) запишется

= m F

sin(ωt −α) =

m 0,9Wkоб1I

sin(ωt −α)=

F1(t,α)

2

ф1

2 p

(1.53)

= 0,45mWkоб1I sin(ωt −α).

Выражение (1.53) представляет собой

правобегущую

волну по

окружности статора.

На практике иногда удобно

в выражении (1.51) угловую коор-

динату α выразить через линейную координату х. В этом случае

α =

π

х,

(1.54)

τ

И тогда формула (1.51)

для

МДС будет

F

=

3

F

sin(ωt −

π x).

(1.55)

1(t,α)

2

ф1

τ

Изменив порядок чередования фаз путем перемены мест двух любых проводов, подводящих ток к обмотке статора, получим изме-

42

нение направления вращения МДС, а следовательно, направление вращения ротора асинхронного двигателя. В этом случае выражение (1.51) запишется со знаком плюс и будет отвечать левобегущей волне.

Если токи в фазах неодинаковы, либо обмотки сдвинуты в пространстве не на 120 электрических градусов, то вращающееся магнитное поле (МДС) превращается в эллиптическое поле. В этом случае амплитуда результирующего поля не остается постоянной. В трехфазных асинхронных машинах избегают получения эллиптического поля.

При обрыве одной фазы условие (1.51) не выполняется и в двигателе существует не вращающееся, а пульсирующее магнитное поле.

Для ν - ой гармоники МДС амплитуда запишется

F		=	3	F	=1,35	Wkобν		I .	(1.56)
νm			2	фν		νp
Более подробный анализ показывает,								что все гармоники МДС
порядка ν = 3к	(кратные				трем) исчезают. Гармоники порядка

ν = 6к - 1, где к = 1,2.3…, вращаются влево, против направления вращения основной волны. Гармоники порядка ν = 6к + 1, где к = 1,2,3…, вращаются вправо, т.е. согласно с первой гармоникой МДС.

В создании полезного вращающегося момента двигателя участвует только первая гармоника МДС. Высшие гармоники МДС создают паразитные вращающиеся моменты.

Угловую частоту вращения первой гармоники МДС можно определить, если «взять» на волне МДС жестко связанную с ней точку.

Для нее ωt – α = const.

Дифференцируя это выражение по времени, получим

ddtα =ω.

Частота вращения волны

= 60ω n1 2πp .

Изменяя число полюсов 2 p машины, можно получить различные частоты вращения МДС.

43

Определенная, согласно формулы (1.51), МДС вызывает по закону Ома для магнитной цепи магнитный поток, который при принятых в начале параграфа допущениях, равен

Ф = F1(t,α)/ Rµ ,

(1.57)

где Rµ – сопротивление магнитной цепи, по которой циркулирует по-

ток Ф. При постоянном сопротивлении магнитной цепи кривая магнитного потока повторяет кривую МДС.

В случае протекания тока не только в обмотке статора, но и в обмотке ротора, результирующий поток двигателя создается МДС статора F1 и МДС ротора F2 :

				0,45m1W1kоб1 I1	+ 0,45m2W2kоб2 I2
		F1	+ F2 =	p	p
	Ф =					.
					Rµ
		Rµ				(1.58)

В асинхронном двигателе при нормальном режиме работы поток Ф, как и в трансформаторе, остается практически постоянным, т.е.

F&0 = F&1 + F&2 = const .	(1.59)
Выражение (1.59) можно записать в виде
m1kоб1W1I&0 = m1kоб1W1I&1 + m2 kоб2W2 I&2 = const,	(1.60)
где Io− ток холостого хода двигателя.

Это означает, что результирующая МДС и магнитный поток равны МДС и магнитному потоку при холостом ходе двигателя.

Пример 4. Дана катушка с диаметральным шагом у = τ, число витков катушки Wk = 10, ток катушки Ik = 250 А.

Вычислить амплитуды 1, 3 и 5 гармоник МДС, записать для катушки уравнение магнитодвижущей силы в функции времени и угла.

Решение:

1. МДС катушки

F =	2 I		W	k	=	2 250 10 = 1767,77 А.
k	2	k				2

44

Амплитуда первой гармоники МДС

Fk1 = π4 Fk = π4 1767,77 = 2251,94 А.

Амплитуда третьей гармоники МДС

Fk3 = ν1 Fk1 = 13 2251,94 = 750,65 А.

Амплитуда пятой гармоники МДС

Fk5 = ν1 Fk1 = 15 2251,94 = 450,39 А.

2. Выразим угол α через линейную пространственную координату х согласно (1.54)

α = πτ x.

Уравнение кривой МДС катушки запишется

Fk (x,t) = Fk1 sinωt cos πτ x + Fk3 sin ωt cos 3τπ x

+ Fk5 sin ωt cos 5τπ x =

	= [2251,94 cos	π	x + 750,65 cos	3π	+ 450,39 cos	5π	]sin ωt .
		τ		τ		τ

Вопросы для самоконтроля

1.Как изменяется МДС катушки с диаметральным шагом в пространстве вдоль воздушного зазора?

2.Какова величина и характер распределения МДС однофазной обмотки?

3.Какова величина и характер распределения МДС трехфазной обмотки?

4.Как изменить направление вращения МДС трехфазной обмотки?

5.Какие существуют способы для того, чтобы приблизить кривую МДС обмотки к синусоидальной кривой?

45

1.7.Уравнения напряжения двигателя при неподвижном роторе

1.7.1. Уравнение напряжения фазы обмотки статора

При рассмотрении процессов, происходящих в электрической машине, мы будем иметь в виду асинхронную трехфазную машину с фазным ротором. Подведем к обмотке статора, соединенной в звезду, трехфазное линейное напряжение U1л с частотой f1. В этом слу-

чае фазное напряжение U1 = U1л 3 . Активное и индуктивное сопротивления фазы обмотки статора равны соответственно r1 и x1.

Комплексное уравнение напряжения фазы обмотки статора запишется аналогично уравнению напряжения фазы трехфазного трансформатора

U&	1	= −E&	+ I&	Z	1	,	(1.61)
		1	1

где E&1 – ЭДС фазы,

I&1 – ток фазы,

Z−1 = r1+j x1 – комплексное сопротивление фазы статора.

Действующее значение ЭДС E1, согласно (1.35),	равно
E1 = 4,44kоб1W! f1Фm ,	(1.62)

где kоб1 − обмоточный коэффициент, его величина ориентировочно

равна 0,92… 0,96;

W1 −число витков фазы статора; f1– частота тока;

Фm −магнитный поток.

Затормозим ротор, например, при помощи механического тормоза, а обмотку ротора разомкнем. Данный режим работы является ре-

жимом холостого хода. В этом случае ток I1 будет равен току холо-

стого хода I o и уравнение (1.61) запишется
U&1 = − E&1 + I&0 Z 1 .	(1.63)

Величина тока холостого хода двигателя будет больше величины тока холостого хода трансформатора из-за наличия воздушного зазо-

46

ра машины, и, следовательно, увеличенного магнитного сопротивления. Для того, чтобы уменьшить ток холостого хода величину зазора выполняют как можно меньше. Так в двигателях мощностью от 5 до 10 кВт он составляет 0,3…0,5 мм.

Действующее значение ЭДС, наводимой в фазе обмотки ротора и снимаемое с колец двигателя

E2 = 4,44kоб2W2 f1Фm ,		(1.64)
где kоб2 −обмоточный коэффициент фазы обмотки ротора;
W2 −число витков фазы обмотки ротора.
Разделим выражение (1.62)	на выражение (1.64)
E1 E2 = kоб1W1	kоб2 W2 = ke .	(1.65)

Величина ke называется коэффициентом трансформации асинхронного двигателя по ЭДС.

1.7.2. Уравнения напряжения фазы обмотки ротора

Замкнем накоротко обмотку ротора. В этом случае мы будем иметь режим короткого замыкания. При номинальном подводимом напряжении в обмотках статора и ротора будут протекать значительные по величине токи короткого замыкания, которые могут вывести из строя электрическую машину.

Для того, чтобы токи короткого замыкания в первичной и вторичной обмотках равнялись номинальным токам, необходимо уменьшить величину подводимого напряжения, как это принято в трансформаторах, т.е. выполнить, в частности, условие равенства вторичного тока короткого замыкания I2k номинальному вторично-

му току I2н.

Комплексное уравнение фазы обмотки ротора в этом случае запишется

E&2k = I&2k Z 2 ,

(1.66)

где E&2k – ЭДС фазы ротора,

Z 2 =r2 + jx2 – комплексное сопротивление фазы обмотки ротора.

Запишем уравнение магнитодвижущих сил (1.60). Оно повторяет уравнение МДС трансформатора, однако при его записи необходимо

47

учитывать числа фаз и обмоточные коэффициенты статорной и роторной обмоток.

m1W1kоб1 I&1 + m2W2 kоб2 I&2 = m1W1kоб1 I&0 .

(1.67)

Разделив уравнение (1.67) на выражение m1W1kоб1, получим

	m1W1kоб1	I&1 + I2 ki = I&0 ,	(1.68)
где		= ki – коэффициент трансформации по току.
	m2W2 kоб2

Статорная и роторная обмотки асинхронной машины электрически не связаны. Для того, чтобы их связать электрически и представить двигатель электрической схемой, необходимо, как и в трансформаторах, привести обмотку ротора к статорной обмотке. При этом первичные мощность, ток, коэффициент мощности двигателя не должны измениться.

Используя коэффициенты ke и ki , запишем приведенные вторич-

ные параметры электродвигателя. Мы их будем обозначать теми же буквами, но со штрихами.

Приведенная вторичная ЭДС равна

E2′ = ke E2 = E1.

(1.69)

Электромагнитная мощность реального и приведенного электродвигателя должны быть равны

m2 I2 E2 cosψ2 = m1I2′E2′ cosψ2 ,	(1.70)
откуда
I2′ = I2 ki .	(1.71)

С учетом уравнения (1.71) уравнение МДС (1.67) может быть представлено в следующем виде

I&1 + I&2′ = I&0 .	(1.72)
Приведенное активное сопротивление определяется из условия
m2 I22r2 = m1I2′2r2′, откуда, после преобразований
r2′ = ke ki r2 .	(1.73)
48

Приведенное индуктивное сопротивление вторичной обмотки запишется аналогично сопротивлению r2′:

x2′ = ke ki x2 .

(1.74)

Уравнение напряжений для фазы приведенной обмотки ротора запишется

E&2′ = I2′ Z ′2 ,

(1.75)

где Z ′2 = r2′ + jx2′ – полное приведенное комплексное сопротивление вторичной обмотки.

Вопросы для самоконтроля

1.Является ли режим холостого хода асинхронной машины при неподвижном фазном роторе полным аналогом режима холостого хода трансформатора?

2.Есть ли отличия в коэффициентах трансформации асинхронной машины и трансформатора при холостом ходе?

3.Почему ток холостого хода асинхронной машины больше тока холостого тока трансформатора?

4.Что такое режим короткого замыкания асинхронной машины

врежиме двигателя?

5.В чем разница между коэффициентами приведения по ЭДС

и току?

6.Почему магнитный поток асинхронного двигателя при всех режимах работы остается практически постоянным?

7.Что произойдет, если заторможенный двигатель подключить под полное напряжение?

1.8.Уравнение напряжения фазы обмотки вращающегося ротора

При вращении ротора с числом оборотов n магнитноe поле статора пересекает обмотку ротора с числом оборотов n2

n2 = n1 − n .

49