ChM1

Вопросы для самоконтроля:

1.В чем заключается постановка простейшей задачи интерполирования и ее геометрический смысл?

2.Какими свойствами обладает полином Лагранжа Ln(x) ,

построенный по заданной системе узлов x0 , x1 ,..., xn и интерполирующий

функцию f (x) ?

3.В каком случае возможна оценка остаточного члена интерполяционного полинома Лагранжа, и какова формула оценки?

4.Полином Ньютона (вывод полинома, почему существует правый и левый полином, остаточный член).

5.Метод наименьших квадратов.

Лабораторная работа № 4

Задание 1: Функция y f (x) задана таблицей. Построить по имеющимся данным интерполяционный полином Лагранжа и

вычислить значение функции в точке x .

									Таблица 4.1
					Данные к заданию 1
	№				Значения функции					x
	1	X	0.03	0.38	0.59	0.64	0.79	0.86	0.97	0.5
		У	0.0296	0.3221	0.4637	0.4947	0.5822	0.6206	0.6780
	2	X	0.03	0.34	0.58	0.69	0.84	1.15	1.78	1.3
		У	1.0335	1.4529	1.8912	2.1341	2.5164	3.5374	7.0677
	3	X	0.03	0.24	0.59	0.64	0.79	0.86	0.97	0.1
		У	0.9996	0.9713	0.8309	0.8021	0.7038	0.6524	0.5653
	4	X	0.01	0.35	0.64	0.99	1.06	1.67	1.79	1.5
		У	0.0101	0.4967	1.2137	2.6643	3.0596	8.8713	10.7211
	5	X	1.03	1.34	1.58	1.84	2.15	2.67	2.97	1.6
		У	0.0296	0.2927	0.4574	0.6094	0.7655	0.9821	1.0886
	6	X	0.03	0.38	0.59	0.64	0.71	0.82	0.97	0.1
		У	0.03	0.3709	0.5564	0.5972	0.6518	0.7311	0.8249
	7	X	0.02	0.45	0.67	0.93	1.57	1.69	1.82	1.1
		У	1.0408	2.4596	3.8190	6.4237	23.1039	29.3708	38.0918
	8	X	1.04	1.35	1.57	1.79	2.13	2.37	2.97	1.2
		У	1.0198	1.1619	1.2530	1.3379	1.4595	1.5395	1.7234
	9	X	-0.92	-0.78	-0.54	-0.36	-0.21	-0.07	-0.01	-0.4
		У	0.3985	0.4584	0.5827	0.6977	0.8106	0.9324	0.99

61

	10	X	1.03	1.34	1.58	1.88	2.14	2.62	2.97	1.9
		У	1.0099	1.1025	1.1647	1.2342	1.2887	1.3786	1.4374
	11	X	1.05	2.3	3.1	3.7	4.07	5.11	5.9	4.2
		Y	0.625	0.3822	0.253	0.166	0.116	-0.01286	-0.10064
	12	X	1.25	2.31	2.44	4.52	5.59	6.63	7.65	3.37
		Y	1.2465	0.8063	0.7636	0.2510	0.0635	-0.0903	-0.2211

Задание 2: Оценить погрешность интерполяции, допущенную при

выполнении задания 1, если известно аналитическое задание функции

y f (x) .

Таблица 4.2

Данные к заданию 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

ln(1 x)

3x

cos(x)

xe x

ln(x)

sin(x)

e 2 x

e x

17

20

x

3 x

ln

ln

2x 7

3x 2

Задание

3:

Функция

y f (x)

задана

таблицей.

Построить по

имеющимся данным интерполяционный полином Ньютона (первый или второй) и вычислить значение функции в точке x .

62

													Таблица 4.3
						Данные к заданию 3
№						Значения функции								x
1	X	1.415	1.420	1.425	1.430	1.435	1.440		1.445	1.450	1.455	1.460	1.465	1.4161
	У	0.88851	0.889599	0.890637	0.891667	0.892687	0.893698		0.894700	0.895693	0.896677	0.897653	0.898619
2	X	1.415	1.420	1.425	1.430	1.435	1.440		1.445	1.450	1.455	1.460	1.465	1.4575
	У	0.88851	0.889599	0.890637	0.891667	0.892687	0.893698		0.894700	0.895693	0.896677	0.897653	0.898619
3	X	0.101	0.106	0.111	0.116	0.121	0.126		0.131	0.136	0.141	0.146	0.151	0.1026
	У	1.26183	1.27644	1.29122	1.30617	1.32130	1.33660		1.35207	1.36773	1.38357	1.39959	1.41579
4	X	0.101	0.106	0.111	0.116	0.121	0.126		0.131	0.136	0.141	0.146	0.151	0.1440
	У	1.26183	1.27644	1.29122	1.30617	1.32130	1.33660		1.35207	1.36773	1.38357	1.39959	1.41579
5	X	0.15	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40		0.45	0.50	0.55	0.60	0.65	0.1511
	У	0.860708	0.818731	0.778801	0.740818	0.704688	0.670320		0.637628	0.606531	0.576950	0.548812	0.522046
6	X	0.15	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40		0.45	0.50	0.55	0.60	0.65	0.6230
	У	0.860708	0.818731	0.778801	0.740818	0.704688	0.670320		0.637628	0.606531	0.576950	0.548812	0.522046
7	X	0.180	0.185	0.190	0.195	0.200	0.205		0.210	0.215	0.220	0.225	0.230	0.1817
	У	5.61543	5.46693	5.32634	5.19304	5.06649	4.94619		4.83170	4.72261	4.61855	4.51919	4.42422
8	X	0.180	0.185	0.190	0.195	0,200	0.205		0.210	0.215	0.220	0.225	0.230	0.2275
	У	5.61543	5.46693	5.32634	5.19304	5,06649	4.94619		4.83170	4.72261	4.61855	4.51919	4.42422
9	X	3.50	3.55	3.60	3.65	3,70	3.75		3.80	3.85	3.90	3.95	4.00	3.543
	У	33.1154	34.8133	36.5982	38.4747	40.4473	42.5211		44.7012	46.9931	49.4024	51.9354	54.5982
10	X	3.50	3.55	3.60	3.65	3.70	3.75		3.80	3.85	3.90	3.95	4.00	3.873
	У	33.1154	34.8133	36.5982	38.4747	40.4473	42.5211		44.7012	46.9931	49.4024	51.9354	54.5982
11	X	1.340	1.345	1.350	1.355	1.360	1.365		1.370	1.375	1.380	1.385	1.390	1.3463
	Y	4.25562	4.35325	4.45522	4.56184	4.67344	4.79038		4.91306	5.04192	5.17744	5.32016	5.47069
12	X	1.340	1.345	1.350	1.355	1.360	1.365		1.370	1.375	1.380	1.385	1.390	1.3868
	Y	4.25562	4.35325	4.45522	4.56184	4.67344	4.79038		4.91306	5.04192	5.17744	5.32016	5.47069

63

Глава V

Численное дифференцирование и интегрирование

5.1Аппроксимация производных

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x при стремлении

x к нулю: y' f '(x) lim y , y f (x x) f (x) (5.1)

x 0 x

При решении прикладных задач очень часто необходимо найти производную функции, заданной таблично, тогда готовые формулы для вычисления производных становятся бесполезными. В таких случаях производную находят, опираясь на формулу (5.1), но при этом значение шага x принимают равным некоторому конечному числу и для вычисления производной получают следующее приближенное

равенство y' y (5.2).

x

Данное соотношение называется аппроксимацией производной с помощью отношения конечных разностей.

Рассмотрим подробнее аппроксимацию производной для функции y=f(x), заданной в виде таблицы: xi , yi . Пусть шаг h – const. Найдем выражения для производной y1 при x=x1. В зависимости от способа вычисления конечных разностей можно получить разные формулы для вычисления производной в одной и той же точке:

y1 y1 y0 , x h , y1 ' y1 y0 (5.3) – с помощью левых разностей;

h

y	y	y ,	x h ,	y '		y2 y1			(5.4) – с помощью правых разностей;
1	2	1		1		h
y1	y2	y0 ,	x 2h ,		y1 '		y2	y0		(5.5) – с помощью центральных
								2h

разностей.

64

Таким же образом можно найти выражения и для

производных более высоких порядков.

Величина, характеризующая отклонение точной производной от ее приближенного значения называется погрешностью аппроксимации и при численном дифференцировании функции, заданной таблично, с

шагом h, она будет зависеть от h. Оценку первой и второй производной найденной с помощью центральных разностей, провести самостоятельно.

Для аппроксимации производных иногда удобно использовать интерполяционные многочлены. Если использовать интерполяционный многочлен Ньютона, то получаем выражения для производных через разности, если использовать интерполяционный многочлен Лагранжа,

то производные будут выражены через значения функции в узлах.

5.2 Использование интерполяционных формул

Допустим, что функция f(x), заданная в виде таблицы с постоянным шагом (i=1,2,…n), может быть аппроксимирована интерполяционным многочленом Ньютона:

y N (x

th) y

t y

t(t 1)

2 y ...

t(t 1)...(t n 1)

n y

, t

(x x0 )

.

0

0

0

2

0

n!

0

h

Продифференцируем этот многочлен по переменной x с учетом

правила дифференцирования сложной функции:

, и

получим формулы для вычисления производных любого порядка:

(

),

), и т.д.

(

При этом нужно учитывать погрешность, которая образуется при

приближенном

дифференцировании

и

она

будет

равна

соответствующей производной остаточного члена соответствующего интерполяционного полинома.

65

Например, погрешность аппроксимации первой производной,

полученной с помощью	первого			интерполяционного многочлена
Ньютона, будет равна: (	)	( )			.

Интерполяционные многочлены Ньютона дают выражения для производных через конечные разности.

Для получения формул, выраженных через значения функции в

узлах, удобно воспользоваться формулой Лагранжа с равномерным

расположением узлов ( ).

Для этого запишем интерполяционный многочлен Лагранжа L(x) и

его остаточный член R(x) для случая трех узлов интерполяции (n=2) и

найдем их производные:

( ) [( )( ) ( )( ) ( )( ) ]

(

)

(

)(

)(

)

где

– третья

производная

в

некоторой точке

[

].

( )

[(

)

(

)

(

) ]

[(

)

(

)

(

) ]

(

)

[(

)(

)

(

)(

) (

)(

)]

Запишем выражение для производной

при

:

( )

(

)

[(

)

(

)

(

)

]

[(

)(

) (

)(

)

(

)(

)]

[(

)

(

)

(

)

]

[

]

[(

)

(

)

(

)

]

[

]

66

( )

Аналогичные соотношения можно получить и для других значений y, например:

		(	)
(			)				.

С помощью интерполяционного многочлена Лагранжа можно получить аппроксимации для производных более высоких порядков.

Например, аппроксимации для вторых производных, в случае трех

узлов:

				(	)	( )
или для случая четырех узлов:
			(			)	( )

5.3Численное интегрирование. Постановка задачи. Вводные

			замечания
Пусть на отрезке a, b			задана функция y f (x) . С помощью точек
x0 , x1 ,..., xn	разобьем отрезок a, b на n элементарных отрезков xi 1 ; xi
(i=1,2,...,n),	причем x0 a, xn		b . На каждом из этих отрезков выберем
произвольную точку i (xi 1			xi ) и найдем произведение Si	значения
функции в этой точке f ( i )			на длину элементарного отрезка xi	xi xi 1 :
			Si f ( i ) * xi
Составим сумму всех таких произведений:
			n
		Sn S1 S2 ... Sn f (i ) xi
			i 1
Сумма Sn		называется интегральной суммой. Определенным
интегралом от		функции	f (x) на отрезке a, b называется предел
интегральной суммы при			неограниченном увеличении числа точек
				67

разбиения, при этом длина наибольшего из элементарных отрезков

b		n
стремится к нулю: f (x)dx	lim	f (i ) xi
a	max xi 0	i 1

Когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде,

определенный интеграл удается вычислить по формуле Ньютона-

Лейбница. Однако этой формулой не всегда можно воспользоваться по следующим причинам:

1)первообразную нельзя выразить в элементарных функциях;

2)функция задана в виде таблицы.

В этих случаях используют методы численного интегрирования.

Они основаны на аппроксимации подынтегральной функции более простыми выражениями. Рассмотрим некоторые методы численного интегрирования.

5.4 Методы прямоугольников и трапеций

Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников, который использует замену определенного интеграла интегральной суммой. В качестве точек ξi могут выбираться левые или правые границы элементарных отрезков, а также середины этих отрезков. Обозначим f(xi)=yi, ∆xi=h – const, получим следующие формулы метода прямоугольников соответственно для этих случаев.

Метод левых прямоугольников

Y

x	0	x	1	xn-1	X

Рис. 5.1 Метод левых прямоугольников

68

b	n 1
f x dx h y0	y1 ... yn 1 h yi	(5.6)
a	i 0

Метод правых прямоугольников

Y

X

x1 x2

xn

Рис. 5.2 Метод правых прямоугольников

b	n
f x dx h y1 y2	... yn h yi	(5.7)
a	i 1

Метод средних прямоугольников

Y Y

		X					X
x	x	x	x	0+h/2	x	1+h/2	xn-1+h/2
1-h/2	2-h/2	n-h/2

Рис. 5.3 Метод средних прямоугольников

b

n 1

h

y

... y

h y

, y

f (xi

)

(5.8),

h

h

h

h

f x dx h y

h

2

a

0

2

1

2

n 1

2

i 0

i

2

i

2

где h

(b a)

– шаг.

n

b

n

h

(5.9),

f x dx h y

h

y

h

... y

h h y

h , y

h

f (xi

2

)

a

1

2

2

2

n

2

i 1

i

2

i

2

где h

(b a)

– шаг.

n

Формула средних прямоугольников является наиболее точной, ее

остаточный член равен:

b a

f '' ( )h2 .

24

69

[x0,x2],

Метод трапеций

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции y=f(x) представляется в виде ломаной, соединяющей точки

(xi,yi). В этом случае площадь всей фигуры складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеций. Площадь любой прямолинейной трапеции равна произведению полусуммы оснований на

высоту: S	i		yi 1 yi	h,	i 1,2,..., n.
		2
Y

X

x0 x1 x2

xn-1 xn

Рис. 5.4 Метод трапеций

Складывая площади всех прямолинейных трапеций, получим формулу трапеций для численного интегрирования:

b		y0					yn
f (x)dx h				y1	y2	... yn 1			(5.10),
a			2				2
где h	(b a)	– шаг.
	n

Остаточный член формулы трапеций имеет вид: b a f '' ( )h2 .

12

5.5Формула Симпсона

Вэтом случае разобьем отрезок интегрирования [a,b] на четное число n равных частей с шагом h-const.

На каждом отрезке [x2,x4],…,[xi-1,xi+1],…,[xn-2,xn] подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом второй степени: f (x) i (x) ai x2 bi x ci , xi 1 x xi . Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках xi соответствующим табличным данным.

70