Электротехника

Вывод: 1) Мощность – sin функция с частотой 2w

2) Если p>0, то индуктивный элемент потребляет мощность, преобразуя ее в энергию магнитного поля; если p<0 – мощность возвращается обратно в сеть.

1

T

T

3) Средняя мощность: Pср =

∫pdt =

1

∫

Um Im

sin 2(wt +ϕi )dt

T

T

2

0

0

Pср = 0 - активная мощность равна нулю!

4) QL =

Um Im

=

U

m

Im

=UI = I 2 X L - реактивная мощность [ВАр]

2

2

2

Емкостной элемент.

Рассмотрим цепь с емкостью, к зажимам которой приложено переменное напряжение: u(t)=Um sin wt

Электрический заряд на электродах конденсатора изменяется пропорционально

напряжению: q =Cu = CUm sin wt
Ток в цепи конденсатора	i = dq	= C du	, т.е. ток	скорости изменения заряда
	dt	dt

конденсатора или скорости изменения напряжения на его зажимах:

i =C	dq							π	, ϕ =ϕu −ϕi = −	π
	dt	=CUmwcos wt = Im sin wt +								2
								2
Im =UmCw =			Um		= Um		Im = Um		- Закон Ома для емкости
			1	Cw	XC			XC

XC = wC1 - реактивное сопротивлений емкости.

Вывод: Ток в цепи с емкостью изменяется по тому же закону, что и напряжение, но опережает его по фазе на угол π2 .

	В комплексной форме записи: Im =	Um	или I = U	где Z = − jXC
		Z
			Z
	Мгновенная мощность цепи с емкостью

2

p =ui =Um sin wt Im cos wt = Um Im sin 2(wt +ϕi )
+ j		2
		i, u, p	p
Im = Um		i		i
− jXC
ϕ = −90°		π		t
	Um	2
		+1

Вывод: 1) В течении первой и третьей четвертей периода мгновенная мощность положительна и цепь работает в режиме приемника, конденсатор заряжается, между электродами создается эл. поле, в котором за счет работы генератора увеличивается запасаемая энергия.

2) В течении второй и четвертой четвертей периода мгновенная мощность отрицательна, цепь работает в режиме генератора, напряжение на ее зажимах уменьшается и конденсатор разряжается, отдавая энергию в сеть.

T

3) Средняя мощность цепи равна нулю! Pср = T1 ∫0 pdt = 0

4) Реактивная мощность: Q =	ImUm	=	Im			Um = IU = I 2 X	C	[ВАр].
C	2		2		2

i

uR

~ u

uL

I R

Тема: «Неразветвленные цепи переменного тока». Последовательное соединение R и L.

Применим для заданной цепи 2ЗК:

			R	u = uR + uL = iR + L di
					dt
			X L	uR =iR - активное сопротивление
				uL = L di
					- реактивное сопротивление
				dt
X L				Перейдем от мгновенных значений к действующим:
				U R = IR

					U L = IX L - это величина - модуль
	U R
			U L
					U L = I jX L - комплексная величина показывает, что
		U
					напряжение опережает ток на угол 90°.

3

+ j			Изобразим эти соотношения графически.
			1)		Для этого на комплексной плоскости
U		U L			откладываем сначала общий параметр для
ϕ			I +1		данной цепи - I .
	U R				При ϕi = 0 этот вектор совпадет с осью +1

2) Найдем по 2ЗК геометрическую сумму векторов действующих значений

	напряжений U =U R +U L или U =U R +U L .
3)	Вектор активного напряжения совпадает по фазе с током.
4)	π
	Вектор индуктивного напряжения опережает вектор тока на угол 90°	2	.

Поскольку нам необходимо найти сумму векторов, то этот вектор строится из конца вектора U R .

5)Находим сумму как вектор, соединяющий начало координат и конец второго вектора U .

6) Модуль этого вектора U = U R2 +U L2 = I 2 R2 + I 2 X L2 = I R2 + X L2 ; где

Z = R2 + X L2 - модуль полного сопротивления цепи

I =

U

-закон Ома для этой цепи.

R2 + X L2

Рассмотрим полученный треугольник:

UI = S

U

U

U L

U L

U L I =QL

= Z

= X L

I

ϕ

I

ϕ

ϕ

U R

= R

U R

U R I = P

I

При умножении ( или делении ) всех величин сторон треугольника на I получаем подобные треугольники: сопротивлений, напряжений, мощностей. Причем угол между током и напряжением ϕ остается неизменным!

Основные соотношения для ∆ сопротивлений; U ; S :

4

cosϕ = UUR = ZR sinϕ = UUL = XZL

tgϕ = U L = X L U R R

P =U R I =UI cosϕ							[Вт]- активная мощность цепи
QL =U L I =UI sinϕ							[ВАр]- реактивная мощность цепи
S =UI			[ВА]- полная мощность цепи
S = P		2	+ Q	2	;
						S =UI = Re S + ImS = P + jQ

cosϕ = PS - коэффициент мощности показывает какая часть энергии потребляется цепью.

5

Лекция № 6

Последовательное соединение R, XL, XC.

I R X L XC Решим задачу с помощью построения векторной диаграммы заданной цепи.

UR U L UC

U

Общее напряжение будет состоять из трех слагаемых:

U =U R +U L +UC или U

=U R +U L +UC

U R = IR;

U R = IR

U L = IX L = IwL;

U L = I jX L

UC = IXC =

I

;

UC = −I jXC

wC

+ j А) индуктивный

+ j Б) емкостной

+ j

В) активны характер

характер

характер

- резонанс

UC

U

U L

UC

U L

ϕ U L

I

+1

UR

I

+1

I +1

U R

ϕ

UC

U R =U

U

Рис. А). U =U R +U L +UC =Ue jϕ

U =

= I

U R2 + (U L −UC )2

R2 + (X L − XC )2

ϕ = arctg U L −UC = arctg

X L − XC

U R

R

- полное сопротивление цепи

Z =

R2 + (X L − XC )2

	Z = R + j(X L − XC )
Мы рассмотрели случай, когда общее напряжение опережает ток на угол ϕ , это
возможно, если U L >UC ,а следовательно, X L > XC .
Рис. Б).	Общее напряжение может отставать от тока на угол ϕ , если U L <UC и
X L < XC .
Рис. В).	Наконец возможно, что U L =UC и X L = XC .

Значит wL =	w	, Z = R2		1	2
	wC		+ wL −		= R2 = R
				wC

•Т.е. полное сопротивление цепи минимально и равно активному сопротивлению;

•Напряжение на зажимах цепи минимально и равно активному напряжению;

•Между реактивными элементами цепи происходит перераспределение энергий, периодический обмен энергий между магнитным полем катушки и эл. полем конденсатора.

Такой режим носит название резонанса напряжения:					I рез = U		= max
						R
					cos ϕрез =1
	XС		X L
U L =UC = I рез X L = I рез XC =U		=U		=Uq ;		q =	X L	=	XC
							R		R
	R		R

q – коэффициент резонанса или добротности цепи, показывает во сколько раз напряжение на индуктивности или емкости отличается от приложенного напряжения.

Если X L > R и XC > R , то q >1 и UUL = UUC = q >1

Т.е. напряжение на индуктивности и емкости во время резонанса напряжений могут превышать (а иногда значительно) напряжение сети.

Тема: «Разветвленная цепь переменного тока»

Рассмотрим цепь,

составленную из параллельно соединенных элементов R, L, C ,

I

которые находятся под общим напряжением.

IR

IL

~ u U

IC

R(G)

X L (BL )

XC (BC )

U R

U

U

IR =

=

=UG; IR =

R

=UG

R

R

IL =

U

=UBL ;

IL =

U

=U (− jBL )

jX L

X L

IC =

U

=UBC ;

IC =

U

=U jXC

XC

− jXC

Общий ток в цепи определяется по 1ЗК как геометрическая сумма токов ветвей:

I = IR + IL + IC или I = IR + IL + IC

2

	+ j	А) индуктивный		+ j	Б) емкостной
					характер
		характер		I
		IR			IC
			U +1	ϕ	U +1
		ϕ		IR
	I
		IL	IC	IL

Рис. А). I = IR + IL + IC = Ie jϕ

+ j	В) активны характер
	- резонанс
	IR = I	U +1
	IC
	IL

I = IR2 + (IL − LC )2 =U G2 + (BL − BC )2 =UY

ϕ = arctg IL − IC = arctg BL − BC IR R

Y = G2 + (BL − BC )2 - полная проводимость

Y= G + j(BL − BC )

Вэтом случае ток отстает от напряжения. Это возможно, если IL > IC ; BL > BC .

Рис. Б). Общий ток может опережать напряжение, если IL < IC ; BL < BC .

Рис. В). Наконец, возможен случай, когда IL = IC ; BL = BC . wL1 = wC , Y = G2 + (BL − BC )2 = G2 = G

•Т.е. полная проводимость цепи минимальна и равна активной проводимости;

•Ток в неразветвленной части цепи минимален и равен току через активное сопротивление I = IR ;

•Энергия эл. и магнитного полей переходит поочередно из одной параллельной ветви с реактивными эл-тами в другую.

Этот режим наз-ся резонанс токов:	I рез = U	=UG = min
	R
	cos ϕрез =1

При параллельном соединении элементов (аналогично рассмотренным ранее) можно говорить о треугольниках токов, проводимостей и мощностей.

Тема: «Расчет сложных цепей переменного тока» Сложными цепями называют смешанное соединение последовательного и

параллельного соединений.

3

Для расчета сложных цепей используются 3 метода:

1.Метод векторных диаграмм (графический);

2.Метод эквивалентных проводимостей;

3.Метод комплексных амплитуд или символический метод.

Первый и второй методы применяются в простых задачах с одним источником

энергии. Третий метод позволяет решить задачи любой степени сложности.

I

I.

Метод векторных диаграмм.

IR22

X L

= U

I1

= arctg

U

Z

1

=

R2

+ X 2

;

ϕ

1

;

I

1

X L

1

L

R1

Z1

= arctg

XC

=

U

Z

2

=

R2

+ X 2

;

ϕ

2

;

I

2

R1

XC

2

C

R2

Z2

I

= I1 + I2 (по 1 закону Кирхгофа)

Строим векторную диаграмму (лучше брать по модулю).

I2

I1a = I1 cosϕ; I1p = I1 sinϕ

I2 p

I

I2a = I2 cosϕ; I2 p = I2 sinϕ

ϕ2 I1a I2a

I p

I =

ϕ

(I1a + I2a )2 + (I1p − I2 p )2

ϕ1

I1p

Ia

U

= arctg

I1p

− I2 p

I1

ϕ

I1a

+ I2a

II.

Метод эквивалентных проводимостей.

Последовательное соединение преобразуем в параллельное.

I

R

X L

G

U

I

BL

U

Эти две цепи эквивалентны и по току и по сдвигу фаз между U и I , однако в некоторых случаях целесообразно использовать именно параллельное соединение.

Признаки эквивалентности (принципы):

	1.	I = U	=UY			Y =	1		- 1-е признак (правило) эквивалентности.
							Z
		Z
	2.	ϕ = arctg		X L	,	ϕ = arctg				BL	, что находим из подобных треугольников
				R						G

сопротивлений и проводимостей.

4

G =Y cosϕ =

1 R

=

R

Z Z

Z

2

- формулы пересчета

1

X L

X L

BL =Y sinϕ =

=

Z 2

Z

Z

Используя признаки эквивалентности преобразуем сложную цепь (п. I) в следующую, для которой можно легко произвести расчет.

I

G1

=

R1

;

BL

=

X L

Z12

Z12

U

G

2

=

R2

;

B

=

XC

G1

BL

G2

Z22

C

Z22

BC

I =U

(G + G

)2 +

(B

L

− B )2

1

2

C

ϕ = arctg

BL − BC

G + G

2

1

Расчет и векторная диаграмма аналогичны рассмотренным ранее в разделе параллельное соединение элементов R, L, C .

III.Метод комплексных амплитуд.

Для схемы п. I имеем:

1.

Z1 = R1 + jX L

U

U

U

R

− jX

L

UR − jUX

L

UR

I1 =

=

=

1

=

1

=

1

−

Z1

R1 + jX L

R1

+ jX L

R1

− jX L

R2

+ X

2

R2

+ X 2

1

L

1

L

− j

UX L

= I

1a

− jI

= I e jϕ1

R

2 + X 2

1p

1

1

L

− I1p

где I1 =

I12a + I12p ;

ϕ1 = arctg

I1a

2.

Z 2 = R2 − jXC ;

U

U

R

+ jX

C

jϕ2

2

I2

=

=

= I

2a + jI2 p = I2e

Z 2

R2

− jXC

R2

+ jXC

I2 p

где I2 =

I22a + I22p

;

ϕ2

= arctg

I2a

3. I = I1 + I2 = I1a − jI1p + I2a + jI2 p = (I1a + I2a )+ j(I2 p − I1p )= Ie jϕ

5

	где I =				,		I2 p − I1p
			(I1a + I2a )2 + (I2 p − I1p )2			ϕ = arctg
							I1a + I2a
	4. S =U			[(I1a + I2a )− j(I2 p − I1p )]= P ± jQ
		I =U

6