Смольянов. тексты лекция

130

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ВЕРОЯТНОСТЕЙ – ПЛОЩАДИ ПОД КРИВОЙ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ДЕСЯТИТЫСЯЧНЫХ ДОЛЯХ ЕДИНИЦЫ (по одну сторону от центра кривой)

σ					Сотые доли
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0,0	0000	0040	0080	0120	0160	0200	0239	0279	0319	0359
0,1	0398	0438	0478	0517	0557	0596	0636	0675	0714	0754
0,2	0793	0832	0871	0910	0948	0987	1026	1064	1103	1141
0,3	1179	1217	1255	1293	1331	1368	1406	1443	1480	1517
0,4	1554	1591	1628	1664	1700	1736	1772	1808	1844	1879
0,5	1915	1950	1985	2019	2054	2088	2123	2157	2190	2224
0,6	2258	2291	2324	2356	2389	2422	2454	2486	2518	2549
0,7	2580	2612	2642	2673	2704	2734	2764	2794	2823	2852
0,8	2881	2910	2939	2967	2996	3023	3051	3078	3106	3133
0,9	3159	3186	3212	3238	3264	3289	3315	3340	3365	3389
1,0	3413	3438	3461	3485	3508	3531	3554	3577	3599	3621
1,1	3643	3665	3586	3707	3729	3749	3770	3790	3810	3830
1,2	3849	3869	3888	3925	3926	3944	3962	3982	3997	4015
1,3	4032	4049	4066	4082	4099	4115	4131	4147	4162	4177
1,4	4192	4222	4236	4251	4265	4279	4292	4306	4319	4332
1,5	4332	4345	4357	4370	4382	4394	4406	4418	4430	4441
1,6	4452	4463	4474	4484	4495	4505	4515	4525	4535	4545
1,7	4554	4564	4573	4582	4591	4599	4616	4625	4628	4633
1,8	4641	4648	4656	4664	4671	4678	4686	4693	4700	4707
1,9	4713	4719	4726	4732	4738	4744	4750	4756	4762	4767
2,0	4772	4778	4783	4588	4793	4798	4803	4808	4812	4817
2,1	4821	4826	4830	4834	4838	4842	4846	4850	4854	4557
2,2	4861	4864	4868	4871	4877	4878	4881	4884	4887	4890
2,3	4893	4896	4898	4901	4904	4906	4909	4911	1913	4916
2,4	4918	4920	4922	4924	4927	4929	4931	4932	4934	4936
2,5	4938	4940	4941	4943	4945	4946	4948	4949	4951	4952
2,6	4953	4955	4956	4957	4958	4960	4961	4962	4963	4964
2,7	4965	4966	4967	4968	4969	4970	4971	4972	4973	4974
2,8	4974	4975	4976	4977	4977	4978	4979	4980	4980	4981
2,9	4981	4982	4983	4983	4984	4984	4985	4985	4986	4986
3,0	4987	4987	4987	4988	4988	4989	4989	4989	4990	4990
3,1	4990	4991	4991	4991	4992	4992	4992	4992	4993	4993
3,2	4993	4993	4994	4994	4994	4994	4994	4994	4994	4995
3,3	4995	4995	4996	4996	4996	4996	4996	4996	4996	4996
3,4	4997	4997	4997	4997	4997	4997	4997	4997	4998	4998
3,5	4998	4998	4998	4998	4998	4998	4998	4998	4998	4998

131

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

СТАНДАРТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТА

f			Уровень значимости
	0,50	0,10		0,05		0,01	0,001
1	1,00	6,31		12,71		63,66	-
2	0,82	2,92		4,30		9,92	31,60
3	0,76	2,35		3,18		5,84	12,94
4	0,74	2,13		2,78		4,60	8,61
5	0,73	2,02		2,57		4,03	5,86
6	0,72	1,94		2,45		3,71	5,96
7	0,71	1,89		2,36		3,50	5,41
8	0,71	1,86		2,31		3,36	5,04
9	0,70	1,83		2,26		3,25	4,78
10	0,70	1,81		2,23		3,17	4,59
11	0,70	1,80		2,20		3,11	4,44
12	0,70	1,78		2,18		3,06	4,32
13	0,69	1,77		2,16		3,01	4,22
14	0,69	1,76		2,14		2,98	4,14
15	0,69	1,75		2,13		2,95	4,07
16	0,69	1,75		2,12		2,92	4,02
17	0,69	1,75		2,11		2,90	3,96
18	0,69	1,73		2,10		2,88	3,92
19	0,69	1,73		2,09		2,86	3,88
20	0,69	1,72		2,09		2,84	3,85
21	0,69	1,72		2,08		2,83	3,82
22	0,69	1,72		2,07		2,82	3,79
23	0,68	1,71		2,07		2,81	3,77
24	0,68	1,71		2,06		2,80	3,74
25	0,68	1,71		2,06		2,79	3,72
26	0,68	1,71		2,06		2,78	3,71
27	0,68	1,70		2,05		2,77	3,69
28	0,68	1,70		2,05		2,76	3,67
29	0,68	1,70		2,05		2,76	3,66
30	0,68	1,70		2,04		2,75	3,65
35	0,68	1,69		2,03		2,72	3,59
40	0,68	1,68		2,02		2,70	3,55
45	0,68	1,68		2,01		2,69	3,52
50	0,68	1,68		2,01		2,68	3,50
55	0,68	1,67		2,00		2,67	3,48
60	0,68	1,67		2,00		2,66	3,46
70	0,68	1,67		1,99		2,65	3,44
80	0,68	1,66		1,99		2,64	3,42
90	0,68	1,66		1,99		2,63	3,40
100	0,68	1,66		1,98		2,62	3,39
120	0,68	1,66		1,98		2,62	3,37
∞	0,67	1,64		1,96		2,58	3,29

132

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

ЗНАЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ f(х)

х	f III (x)	f IV (x)
1	2	3
0,00	+0,00000	+1,19683
05	05972	18936
10	11869	16708
15	17618	13038
20	23150	07990
25	28396	01651
30	33295	94130
35	37791	85555
40	41835	76070
45	45386	65832
0,50	+0,48409	+0,55010
55	50880	43777
60	52783	32309
65	54110	20783
70	54863	09371
75	55052	-0,01764
80	54694	12468
85	53814	22600
90	52445	32034
95	50624	40668
1,00	+0,48394	-0,48394
05	45801	55160
10	43895	60909
15	39728	65611
20	36352	69255
25	32820	71847
30	29184	73413
35	25495	73993
40	21800	73642
45	18145	72427
1,50	+0,14571	-0,70425
55	11114	67721
60	07809	64405
65	04682	60571
70	01759	56316
75	00944	51733
80	03411	46915
85	05633	41953
90	07605	36928
95	09326	31919
2,00	-0,10798	-0,26996

х	f III (x)	f IV (x)
1	2	3
2,00	-0,10798	-0,26996
05	12028	22220
10	13024	17646
15	13797	13318
20	14360	09274
25	14729	05542
30	14920	02141
35	14949	00915
40	14834	03623
45	14593	05981
2,50	-0,14242	+0,07997
55	13798	09683
60	13279	11053
65	12698	12127
70	12071	12926
75	11410	13473
80	10727	13793
85	10034	13910
90	09339	13850
95	08651	13638
3,00	-0,07977	+0,13296
05	07323	12847
10	06694	12313
15	06093	11714
20	05523	11066
25	04987	10387
30	04485	09690
35	04018	08987
40	03586	08290
45	03189	07606
3,55	-0,02825	+0,06943
55	02494	06308
60	02194	05703
65	01923	05133
70	01680	04599
75	01463	04103
80	01269	03646
85	01098	03226
90	00946	02842
95	00813	02495
4,00	-0,00696	+0,02181

133

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

ЗНАЧЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ z В ЗАВИСИМОСТИ ОТ r

r	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0	0,000	0,010	0,020	0,030	0,040	0,050	0,060	0,070	0,080	0,090
1	0,100	0,110	0,121	0,131	0,141	0,151	0,161	0,171	0,181	0,191
2	0,203	0,213	0,224	0,234	0,245	0,255	0,266	0,277	0,288	0,299
3	0,310	0,321	0,332	0,343	0,354	0,365	0,377	0,388	0,400	0,412
4	0,424	0,436	0,448	0,460	0,472	0,485	0,497	0,510	0,523	0,536
5	0,549	0,563	0,576	0,590	0,604	0,613	0,633	0,648	0,662	0,678
6	0,693	0,709	0,725	0,741	0,758	0,775	0,793	0,810	0,829	0,848
7	0,867	0,887	0,908	0,929	0,950	0,973	0,996	1,020	1,045	1,071
8	1,099	1,127	1,157	1,188	1,221	1,256	1,293	1,333	1,376	1,422
9	1,472	1,528	1,589	1,658	1,738	1,832	1,946	2,092	2,298	2,647

134

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ Pm

m							λ
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7		0,8	0,9	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
1	2	3	4	5	6	7	8		9	10	11	12	13	14	15
0	90484	81873	74082	67032	60653	54881	49658		44933	40657	36788	22313	13533	08209	04979
1	09048	16375	22224	26813	30326	32929	34761		35946	36591	36788	33470	27067	20521	14936
2	00453	01637	03334	05363	07582	09879	12166		14379	16466	18394	25102	27067	25652	22404
3	00015	00109	00333	00715	01264	01976	02839		03834	04940	06131	12551	18045	21376	22404
4	–	00006	00025	00071	00158	00296	00497		00767	01112	01533	04707	09022	15360	16803
5	–	–	00002	00006	00016	00036	00070		00213	00200	00307	01412	03609	06680	10082
6	–	–	–	–	00001	00003	00008		00016	00030	00051	00353	01203	02783	05041
7	–	–	–	–	–	–	00007		00002	00004	00007	00076	00344	00994	02161
8	–	–	–	–	–	–	–		–	–	00001	00014	00086	00311	00810
9	–	–	–	–	–	–	–		–	–	–	00002	00019	00086	00270
10	–	–	–	–	–	–	–		–	–	–	–	00004	00022	00081
11	–	–	–	–	–	–	–		–	–	–	–	00001	00005	00022
12	–	–	–	–	–	–	–		–	–	–	–	–	00001	00006
13	–	–	–	–	–	–	–		–	–	–	–	–	–	00001

135

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 − К (λ )

λ	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0,3	99999	99998	99995	99991	99983	99970	99949	99917	99872	99807
0,4	99719	99603	99452	99262	99027	98741	98400	97998	97532	96998
0,5	96394	95719	94969	94147	93250	92282	91242	90134	88960	87724
0,6	86428	85077	83678	82225	80732	79201	77636	76042	74422	72781
0,7	71124	69453	67774	66089	64402	62717	61036	59363	57700	56050
0,8	54414	52796	51197	49619	48063	46532	45026	43545	42093	40668
0,9	39273	37907	36571	35266	33992	32748	31536	30356	29206	28087
1,0	27000	25943	24917	23922	22957	22021	21114	20236	19387	18566
1,1	17772	17005	16264	15550	14861	14196	13556	12939	12345	11774
1,2	11225	10697	10190	09703	09235	08787	08357	07944	07550	07171
1,3	06809	06463	06132	05815	05513	05224	04949	04686	04435	04196
1,4	03968	03751	03545	03348	03162	02984	02815	02655	02503	02359
1,5	02222	02092	01969	01852	01742	01638	01539	01446	01357	01274
1,6	01195	01121	01051	00985	00922	00864	00808	00756	00707	00661
1,7	00618	00577	00539	00503	00469	00438	00408	00380	00354	00330
1,8	00307	00285	00265	00247	00229	00213	00198	00186	00170	00158
1,9	00146	00136	00126	00116	00108	00100	00092	00085	00079	00073
2,0	00067	00062	00057	00053	00048	00045	00041	00038	00035	00032
2,1	00030	00027	00025	00023	00021	00019	00018	00016	00015	00014
2,2	00013	00011	00010	00010	00009	00008	00007	00007	00006	00006
2,3	00005	00005	00004	00004	00004	00003	00003	00003	00002	00002
2,4	00002	00002	00002	00001	00001	00001	00001	00001	00001	00001

136

ПРИЛОЖЕНИЕ 8

ОПРЕДЕЛЕНИЕ P(χ2 )

	f	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	χ2
	1	0,6065	0,8013	0,9098	0,9626	0,9856	0,9948	0,9982	0,9994	0,9994	1,0	1,0
	2	3679	5724	7358	8491	9197	9598	9810	9915	9963	0,9985	0,9994
	3	2231	3916	5578	7000	8088	8850	9344	9643	9814	9907	9955
	4	1353	2615	4060	5494	6767	7798	8571	9114	9473	9699	9834
	5	0821	1718	2873	4159	5438	6600	7676	8343	8912	9312	9580
	6	0498	1116	1991	3062	4232	5398	6472	7399	8153	8734	9161
	7	0302	0719	1359	2206	3208	4289	5366	6371	7254	7991	8576
	8	0183	0460	0916	1562	2381	3326	4335	5341	6288	7133	7851
	9	0111	0293	0611	1091	1736	2527	3423	4373	5321	6219	7029
	10	0067	0186	0404	0752	1247	1886	2650	3505	4405	5304	6160
	11	0041	0117	0266	0514	0884	1385	2017	2757	3675	4433	5289
	12	0025	0074	0174	0348	0620	1006	1512	2133	4851	3626	4457
	13	0015	0046	0113	0234	0440	0721	1118	1626	2237	2933	3690
	14	0009	0029	0073	0156	0296	0512	0818	1223	1730	2330	3007
	15	0006	0018	0047	0104	0203	0360	0591	0909	1321	1825	2114
	16	0003	0011	0030	0068	0138	0251	0424	0669	0996	1401	1912
	17	0003	0007	0019	0045	0093	0174	0301	0487	0744	1079	1496
	18	0001	0004	0012	0029	0062	0120	0212	0352	0550	0816	1157
	19	0001	0003	0008	0019	0042	0082	0149	0252	0403	0611	0885
	20	0000	0002	0005	0012	0048	–	–	–	–	–	–

137

ПРИЛОЖЕНИЕ 9

СТАНДАРТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КРИТЕРИЯ F ДЛЯ УРОВНЯ ВЕРГОЯТНОСТИ 0,95 (КРИТЕРИЙ ФИШЕРА)

Число степе-			Число степеней свободы f1 для большей дисперсии, которая берется числителем
ней свободы f2	1	2		3	4	5	6	7	8	9	10	11		12	24
для меньшей
дисперсии
1	2	3		4	5	6	7	8	9	10	11	12		13	14
1	164	200		216	225	230	234	237	239	241	242	245		249	254
2	18,5	19,2		19,2	19,3	19,3	19,4	19,4	19,4	19,4	19,4	19,4		19,5	19,5
3	10,1	9,6		9,3	9,1	9,0	8,9	8,9	8,8	8,8	8,8	8,7		8,6	8,5
4	7,7	6,9		6,6	6,4	6,3	6,2	6,1	6,0	6,0	6,0	5,9		5,8	5,6
5	6,6	5,8		5,4	5,2	5,1	5,0	4,9	4,8	4,8	4,7	4,7		4,5	4,4
6	6,0	5,1		4,8	4,5	4,4	4,3	4,2	4,2	4,1	4,1	4,0		3,8	3,7
7	5,6	4,7		4,4	4,1	4,0	3,9	3,8	3,7	3,7	3,6	3,6		3,4	3,2
8	5,3	4,5		4,1	3,8	3,7	3,6	3,5	3,4	3,4	3,3	3,3		3,1	2,9
9	5,1	4,3		3,9	3,6	3,5	3,4	3,3	3,2	3,2	3,1	3,1		2,9	2,7
10	5,0	4,1		3,7	3,5	3,3	3,2	3,1	3,1	3,0	3,0	2,9		2,7	2,5
11	4,8	4,0		3,6	3,4	3,2	3,1	3,0	3,0	2,9	2,9	2,8		2,6	2,4
12	4,8	3,9		3,5	3,3	3,1	3,0	2,9	2,8	2,8	2,8	2,7		2,5	2,3
13	4,7	3,8		3,4	3,2	3,0	2,9	2,8	2,8	2,7	2,7	2,6		2,4	2,2
14	4,6	3,7		3,3	3,1	3,0	2,9	2,8	2,7	2,6	2,6	2,5		2,3	2,1
15	4,5	3,7		3,3	3,1	2,9	2,8	2,7	2,6	2,6	2,6	2,5		2,3	2,1
16	4,5	3,6		3,2	3,0	2,9	2,7	2,7	2,6	2,6	2,5	2,4		2,2	2,0
17	4,5	3,6		3,2	3,0	2,8	2,7	2,6	2,6	2,5	2,4	2,4		2,2	2,0
18	4,4	3,6		3,2	2,9	2,8	2,7	2,6	2,5	2,4	2,4	2,3		2,1	1,9
19	4,4	3,5		3,1	2,9	2,7	2,6	2,6	2,5	2,4	2,4	2,3		2,1	1,9
20	4,4	3,5		3,1	2,9	2,7	2,6	2,5	2,4	2,4	2,4	2,3		2,1	1,8
22	4,3	3,4		3,1	2,8	2,7	2,6	2,5	2,4	2,4	2,3	2,2		2,0	1,8
24	4,3	3,4		3,0	2,8	2,6	2,5	2,4	2,4	2,3	2,3	2,2		2,0	1,7

	138
	ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ		3
ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УСЛОВНЫЕ ОБО-		4
ЗНАЧЕНИЯ
ЛЕКЦИЯ I. Сущность и методы математической статистики. На-		6
блюдения
1 Предмет и методы математической статистики в лесном хозяйстве, био-		6
логии.
2	Наблюдение. Типы варьирования. Группировка.	7
3	Построение Вариационных рядов.	9
ЛЕКЦИЯ II Статистические показатели распределения частностей		11
1	Показатели центральной тенденции.	11
2	Характеристика выборки.	14
3	Вычисление статистических показателей.	17
ЛЕКЦИЯ III Моменты статистических величин. Их использование в
расчетах статистик распределений		18
1	Понятие о статистических моментах.	18
2	Вычисление начальных моментов	19
	2.1 Способ произведений.	19
	2.2 Способ сумм.	20
3 Вычисление центральных и основных моментов. Практическое исполь-
зование моментов.		21
ЛЕКЦИЯ IV Элементы теории вероятностей		23
1	Элементы теории вероятности.	23
2	Основные теоремы о вероятностей.	27
3	Понятие о законе больших чисел.	28
ЛЕКЦИЯ V Теоретические виды распределений		29
1	Биномиальное распределение.	29
2	Нормальное распределение.	35
3 Вычисление теоретических частот по таблице площади и ординат нор-
мальной кривой.		37
ЛЕКЦИЯ VI Асимметричные распределения		41
1	Асимметрия и крутость рядов распределений.	41
2	Двухвершинные и другие виды распределений.	44
3	Распределение Шарлье (тип А).	46
4	Распределение редких событий (Пуассона).	53
ЛЕКЦИЯ VII Статистический анализ выборочных наблюдений		59
1	Задачи статистического анализа наблюдений.	59
2	Выборочные статистические характеристики оценки параметров.	59
3	Ошибки выборочных статистических показателей.	60
4	Критерий Стьюдента, испытание статистических гипотез.	62
ЛЕКЦИЯ VIII Оценка согласия между эмпирическими и теоретиче-
скими распределениями. Критерии λ и Р(χ)2		65

	139
1 Оценка согласия между теоретическим и практическим распределения-		65
ми.
2	Критерий согласия λ (лямбда)и Пирсона Р(χ)2.	66
3	Непараметрические методы оценки.	68
ЛЕКЦИЯ IX Измерение корреляции между признаками		70
1	Общие понятия о корреляции.	70
2 Вычисление показателей тесноты связи и их оценка при большой вы-
борке. коэффициент и корреляционные отношения.		74
3 Статистические анализ корреляции. Оценка показателей связи при ма-		79
лых выборках.
ЛЕКЦИЯ X Регрессионный анализ		85
1. Задачи регрессионного анализа.		85
2	Определение коэффициентов уравнения.	88
3	Техника вычисления уравнения регрессии. Оценка точности.	94
4	Общие принципы выбора оптимальной модели.	102
ЛЕКЦИЯ XI Дисперсионный анализ однофакторного комплекса		104
1	Сущность и методы дисперсионного анализа.	104
2	Основные понятия.	106
3	Дисперсионный анализ однофакторного комплекса.	108
ЛЕКЦИИ XII Планирование выборочных наблюдений		116
1	Общие задачи планирования наблюдений.	116
2	Оценка ошибок выбора.	118
3	Точность и объем выборки.	120
ЛЕКЦИЯ XIII Оптимизация. Линейное программирование		122
1	Структура оптимизационной модели.	122
2	Классификация задач исследования операций.	126
3	Задачи линейного программирования.	126
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК		129
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Значение функции нормального распределения (орди-
наты нормальной кривой).		130
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Значение интеграла вероятностей площади под кривой
нормального распределения в десятичных долях единицы (по одну сто-		131
рону от центра кривой).
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Стандартные значения критерия Стьюдента.		132
ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Значение производных функций f(х).		133
ПРИЛОЖЕНИЕ 5 Значение величины z в зависимости от r .		134
ПРИЛОЖЕНИЕ 6 Значение функции Pm .		135
ПРИЛОЖЕНИЕ 7 Определение 1 − К (λ ) .		136

	ПРИЛОЖЕНИЕ 8	Определение P(χ2 ).	137
	ПРИЛОЖЕНИЕ 9	Стандартные значения критерия F для уровня веро-	138
	ятности 0,95 (критерий Фишера).