РТЦиС Пособие 27_05_2014

2.2 Амплитудный и фазовый спектры периодической последовательности прямоугольных импульсов

Разложение в ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой S0 , длительностью и и

периодом следования Т , симметричной относительно нуля, т.е.

				t kT
	s t S0	rect			,	(2.10)
				u
		k

		t			и		и
Здесь				1, при		t		,
	rect				2		2
		u
				0, при остальных t.

Разложение такого сигнала в ряд Фурье даёт

sin

k u

S

0

2

s t

1 2

cos( k t k )

,

q

k u

k 1

2

где q

T

– скважность.

u

Для упрощения записи можно ввести обозначение

sin

k u

k u

2 k u

k

2

sinc

sinc

sinc

,

k u

2

2T

q

2

Тогда (2.11) можно записать следующим образом

S

k

s t

0

1 2 sinc

cos( k t k ) ,

q

q

k 1

(2.11)

(2.12)

(2.13)

На рис. 2.3 изображена последовательность прямоугольных импульсов. Спектр последовательности, как впрочем, и любого другого периодического сигнала, носит дискретный (линейчатый) характер.

21

Рис. 2.3 а, б. Последовательность прямоугольных импульсов (а), огибающая спектра последовательность прямоугольных импульсов (б).

Рис. 2.3 в. Амплитудный спектр последовательности прямоугольных импульсов.

22

f k k ,

k 2 T

Огибающая спектра (рис. 2.3, б) пропорциональна	sinc	k	.
		q

Расстояние по оси частот между двумя соседними составляющими

спектра равно	2	,	а между двумя нулевыми значениями (ширина
	T
лепестка спектра) –				2	. Число гармонических составляющих в
				и

пределах одного лепестка, включая правое по рисунку нулевое

	значение, составляет	q	, где знак			означает		округление до
	ближайшего целого числа,		меньшего	q	(если скважность – дробное
	число), или q (при целочисленном				значении скважности). При
	увеличении периода	Т	основная	частота		1	2	уменьшается,
							T

спектральные составляющие на диаграмме сближаются, амплитуды гармоник также уменьшаются. При этом форма огибающей сохраняется.

Рис. 2.3 г. Фазовый спектр последовательность прямоугольных импульсов.

При решении практических задач спектрального анализа вместо угловых частот k используют циклические частоты

измеряемые в Герцах. Очевидно, расстояние между соседними

гармониками на диаграмме составит 1 , а ширина одного лепестка

T

23

спектра –	1	. Эти значения представлены на диаграмме в круглых
	u

скобках.

В практической радиотехнике в большинстве случаев вместо спектрального представления (рис. 2.3, б) используют спектральные диаграммы амплитудного и фазового спектров. Амплитудный спектр последовательности прямоугольных импульсов представлен на рис. 2.3, в.

Очевидно, огибающая амплитудного спектра пропорциональна

sinc k
q	.
Что же касается фазового спектра (рис. 2.3, г), то полагают, что

начальные фазы гармонических составляющих изменяются скачком на

величину -π при изменение знака огибающей sinckπ/q. Начальные фазы гармоник первого лепестка, полагаются равными нулю. Тогда начальные фазы гармоник второго лепестка составят φ = -π, третьего лепестка φ = -2π и т.д.

Рассмотрим еще одно представление сигнала рядом Фурье. Для этого воспользуемся формулой Эйлера

cos x	1	e jx e jx .
	2

В соответствии с этой формулой k-ю составляющую (2.9) разложения сигнала в ряд Фурье можно представить следующим образом

sk t	Ak	e j ( k t k ) e j ( k t k )				Ck e j k t C k e j k t ,			(2.14)
2
где
		C	Ak	e j k ;	C		Ak	e j k .	(2.15)
		k	2		k	2
Здесь величины Ck и C k являются комплексными и представляют
собой комплексные амплитуды составляющих спектра. Тогда ряд
Фурье (2.8) с учетом (2.14) примет следующую форму
			s t Ck e j k t ,						(2.16)

k

24

где

		T
C			1	T S t e j k t dt ,				(2.17)
	k
				0
Нетрудно убедиться в том, что разложение (2.16) проводится по
базисным функциям {e j k t }, k						,
					,		которые также являются
ортогональными на интервале (0,T ) , т.е.
T					Т , при k l,
e j k t e j l t dt
0					0, при k l.
Выражение (2.16)	представляет собой						комплексную форму ряда

Фурье, которая распространяется на отрицательные частоты. Величины Ck и C k C*k , где C*k означает комплексную сопряженную с Ck

величину, называются комплексными амплитудами спектра. Т.к. Ck является комплексной величиной, из (2.15) следует, что

	Ck			Ak	и arg Ck		k .
				2
Тогда совокупность							Ck		составляет амплитудный, а совокупность
k – фазовый спектр сигнала									S t .

Рис. 2.4. Спектральная диаграмма спектра рассмотренной выше последовательности прямоугольных импульсов, представленного комплексным рядом Фурье.

На рис. 2.4 представлена спектральная диаграмма спектра рассмотренной выше последовательности прямоугольных импульсов, представленного комплексным рядом Фурье

25

			sin		k
	S0				q			S0		k
s t							cos( k t k )		sinc		cos( k t k )
				k
	q k							q k		q

q

Спектр также носит линейчатый характер, но в отличие от ранее рассмотренных спектров определяется как в области положительных,

так и в области отрицательных частот. Поскольку Ck является чётной

функцией аргумента

k ,

спектральная

диаграмма симметрична

относительно нуля.

Исходя из (2.15) можно установить соответствие между

Ck

и

коэффициентами ak и bk

разложения (2.3). Так как

Ak

Ck

и Ak ak2 bk2 ,

то в результате получим

2

1

C

a2

b2 .

(2.18)

k

2

k

k

Выражения (2.5) и

(2.18) позволяют

найти значения

Ck

при

практических расчетах.

Дадим геометрическую интерпретацию комплексной формы ряда Фурье. Выделим k-тую составляющую спектра сигнала. В комплексной форме k-я составляющая описывается формулой

s

t C e j k t

C

e j k t

,

(2.19)

k

k

k

где

Ck и C k определятся выражениями (2.15).

В комплексной

плоскости

каждое из

слагаемых в (2.19)

изображается в виде векторов длиной

Ck

C k

Ak

, повернутых на

2

угол k

и k относительно вещественной оси

и

вращающихся в

противоположных направлениях с частотой k (рис. 2.5).

Очевидно, сумма этих векторов дает вектор, расположенный на вещественной оси, длина которого составляет Ak . Но этот вектор соответствует гармонической составляющей sk t Ak cos( k t k ).

26

Рис. 2.5

Проекции векторов на мнимую ось имеют равную длину, но противоположные направления и в сумме дают ноль. Это значит, что сигналы, представленные в комплексной форме (2.16) в действительности являются вещественными сигналами. Иными словами, комплексная форма ряда Фурье является математической абстракцией, весьма удобной при решении целого ряда задач спектрального анализа. Поэтому, иногда спектр, определяемый тригонометрическим рядом Фурье, называют физическим спектром, а комплексной формой ряда Фурье – математическим спектром.

И в заключение рассмотрим вопрос распределения энергии и мощности в спектре периодического сигнала. Для этого воспользуемся равенством Парсеваля (1.42). При разложении сигнала в тригонометрический ряд Фурье выражение (1.42) принимает вид

Эc Э0 Эk .

k 1

Энергия постоянной составляющей

27

T	a		2		a2T
Э0		0		dt	0	,
0		2			4

а энергия k-той гармоники

T

2

Эk

Ak2 cos2

k t k

dt

Ak T

.

2

0

Тогда энергия сигнала

2

2

Эc

a0T

Ak T

.

(2.20)

4

k 1

2

Т.к. средняя мощность сигнала

Pc

Эc

,

T

то с учетом (2.18)

2

2

Pc

a0

Ak

.

(2.21)

4

k 1 2

При разложении сигнала в комплексный ряд Фурье выражение

(1.42) имеет вид

Эc

Эk ,

k

T

A 2

e j k t

2

A2T

где

Эk

k

dt

k

-

энергия

k-той

0

2

4

гармоники.

Энергия сигнала в этом случае

2

Эc

Ak T

,

k

4

а его средняя мощность

2

P

Ak

.

c

4

k

Из

приведенных

выражений

следует,

что энергия или

средняя

мощность k-той спектральной составляющей математического спектра вдвое меньше энергии или мощности соответствующей спектральной

составляющей физического спектра. Это обусловлено тем, что Эk

28

физического спектра распределяется поровну между Эk и Э k

математического спектра.

Выражения (2.20) – (2.12) позволяют рассчитать и построить спектральные диаграммы распределения энергий или мощностей, т.е. энергетические спектры периодического сигнала.

2.3 Гармонический анализ периодических сигналов в программном пакете NI Multisim

Периодическую функцию S(t) с периодом T можно представить рядом Фурье:

A0

S(t)

A0

cos(n 1t n )

2

n 1

A0

(an cos n 1t bn sin n 1t),

2

n 1

где

2

;

1

T

A

(a

2 b2 );

n

n

n

n arcsin

bn

;

(a

2

b2 )

n

n

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

t T

A0 2 1 S(t)dt ; (2.26)

T t1

t T

an 2 1 S(t) cos(n 1t)dt ; (2.27)

T t1

29

			2	t1 T
	b			S(t) sin(n t)d ;	(2.28)
			T
	n			t
				1 t
				1
	Коэффициенты an, bn	зависят от значения начальной точки
	интервала ( 1, 1 + ). Обычно		выбирают 1 = − /2		или 1 = 0. В

дальнейшем будем использовать интервал разложения(0,T). Простейшими периодическими функциями являются «меандр» (рис.2.6), последовательность пилообразных импульсов (рис. 2.7), последовательность треугольных импульсов (рис. 2.8).

Рис. 2.6. График прямоугольного колебания «меандр».

Рис. 2.7а. График пилообразного колебания.

30