Часть 1 Mathcad

3. Также для построения графика поверхности в определенной области изменения независимых переменных или с конкретным шагом их изменения можно использовать функцию:

M:=CreateMesh(f,xn,xk,yn,yk,s1,s2),

где f – функция, определяющая поверхность; xn, xk, yn, yk – начальные и конечные значения независимых переменных x и у; s1, s2 – размерность сетки.

После выполнения команды Graph Surface Plot в появившейся графической области вводится имя переменной (в данном случае M).

Построение графика кривой в пространстве. Трехмерные точечные графики можно использовать для построения изображения пространственных кривых. Пространственные кривые задаются, как правило, в виде (x(t), y(t), z(t)),

где t представляет собой непрерывный действительный параметр (рис. 5).

Поскольку при построении трехмерной точечной диаграммы Mathcad

позволяет отображать на графике только отдельные точки и соединяющие их линии, необходимо сначала определить три вектора координат – xi, yi, zi. Пространственная кривая создается командой Graph Scatter Plot.

Рис. 5.

Задание 1. Определите переменные с именами x и y , выбрав их значе-

ния произвольно. Определите переменную h , значением которой является выражение:

№	Выражение	№	Выражение

11

	1.	h (xy2 x) (x2 y y)					16.	h x2 y 2xy ln x
	2.	h y sin 2 x x ln y					17.	h xy y 2 y 2 ln x
	3.	h (x 2 y) lg xy					18.
								h y	x 2 y 2
	4.	h x2 y (2xy y 2 )x					19.
								h x( y2	3) (x2 y 2 y )
	5.	h (1 x2 ) y 2xy (1 x2 )2					20.	h y cos x ( y 1) sin x
	6.	h (xy5 1) ln x 2 y					21.	h yctg x y 2
	7.	h xy 3y x4 y 2					22.	h cos2	x ctg y sin 2 y tg x
	8.	h 4x3e y y 4ex 4 y3ex					23.	h xy y(ln y ln x)
	9.	h cos y sin x sin y cos x					24.	h (x2 2 y 2 ) x 2xy
	10.	h (x2 y 2 ) y 2xy					25.	h xy2 y y x 1
	11.	h y cos x	y				26.					1
								h y y ctg x
			ln y										sin x
	12.	h 3extg y (1 ex ) cos 2 y					27.	h x2 y 2xy y 2
	13.			y			28.	h 2x cos2 y 2 y x2
		h xy y x e x
	14.	h y 2 x2 y xy					29.			x				x
								h 1 e		y	x e			y	1 x y y
	15.	h x2 y 2xy 3					30.	h xy y y 2

Задание 2. Введите любое числовое выражение с любыми математиче-

скими операциями (в т.ч. возведение в степень, извлечение корня, тригонометрические функции), одним из операндов которого являлась бы переменная h , и

определите его значение.

Задание 3. Определите дискретный аргумент t в произвольно выбранном диапазоне, не указав его второй элемент. Каким будет шаг аргумента? Измените определение переменной t , введя второй элемент. Как изменился шаг аргу-

мента? Ответ проиллюстрируйте.

Задание 4. Определите функцию f (t, a) вида:

№

Выражение

№

Выражение

1.

f t,a ax/ ln t

16.

f t, a

xt 2

3

/ xa

2.

f t, a xax3 2sin t

17.

f t, a xt 2

a2 1

12

3.	f t, a ax2		1 t / x 2								1			18.		f t,a a / sin t cos t
4.	f t, a 3at 4 4at 3 12at 2 1													19.		f t,a a/ 2 arctg(t)
5.	f t, a xa 2ln t													20.		f t, a ae			t 2 / 2
6.	f t, a e at cos t													21.		f t, a e 1t2						/ a
7.	f t, a 1 xt xt				2	/ a x						2		22.		f t, a		x			3	e	at	2	/ 2
8.	f t, a													23.		f t, a xa2 ln( t)
		2a t xt 2
9.	f t, a x 2 t 5 2a 1 t 4													24.		f t, a x ln 2 at
10.	f t, a x t		sin( ax)											25.		f t,a xarctg(at)
11.	f t, a e 1/ t cos(at)													26.		f t,a sin x t cos a t
12.	f t, a xa													27.		f t, a a ln(t) / x2
			1 xt 2
13.	f t, a ex		e x				/ 2 t 3					a		28.		f t, a x2 ln 2 (at)
14.	f t, a at / x 3						2							29.		f t, a a2 sin(t) / x
15.	f t, a x 2													30.		f t, a ax1/ t
			/ 3 at 3 4
	предварительно определив переменные , x, a . Покажите таблицу значе-
ний функции.
	Задание 5. Постройте графики функции														f (t, a) для двух разных значений

аргумента a . Как изменить масштаб графика? Как изменить цвет и тип линий

на графике?

Задание 6. Постройте графики поверхностей тремя рассмотренными спо-

собами:

		sin
f (x, y) y sin( x) cos(x) ,	f (x, y)				x2 y2				.
				x2 y 2

Задание 7. Постройте график пересечения поверхностей:

f (x, y) (x y)2 , 10

f (x, y) 5 cos	x	y	.
	3

Выполните оформление графика (заливка поверхности, освещение, туман

и т. д.).

13

РАБОТА № 2 MATHCAD: ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРАМИ И МАТРИЦАМИ

Цель работы: получение навыков работы с векторами и матрицами.

2.1 Теоретические сведения

Общее название для векторов и матриц в Mathcad – массивы. Существуют три способа создания массива:

1. Путем заполнения пустых полей. Для этого необходимо нажать Ctrl+М (либо выбрать пункт меню Insert Matrix) и в появившемся диалоговом окне выбрать размерности матрицы (если одна из них равна 1 – вектора). После нажатия кнопки «ОК» в рабочем листе Mathcad появится изображение матрицы заданной размерности с пустыми полями для числовых значений, которые далее необходимо заполнить вручную.

Изменение размерностей матриц производится с помощью того же диалогового окна (кнопки Insert и Delete), в котором указывается количество добавляемых или удаляемых строк и столбцов. Предварительно в матрице курсор устанавливают в позицию добавления или удаления.

Положение элемента в массиве характеризуется двойным индексом, например ai, j , где i – номер строки, j – номер столбца. Элементами массива

являются, как правило, числа, но иногда и другие математические объекты, например векторы, и даже матрицы.

Доступ к отдельным элементам и строкам осуществляется при помощи клавиши «[» нумерация столбцов и строк начинается с 0, индексы указываются через запятую в порядке «строка, столбец». Доступ к отдельному столбцу матрицы производится при помощи «верхнего индекса» сочетанием клавиш Ctrl+6.

Часто размерность массива очень велика и он становится очень громоздким для отображения, поэтому Mathcad отображает матрицы и вектора с размерностями больше девяти в виде таблиц с полосами прокрутки.

14

2.Используя дискретный аргумент (когда имеется явная зависимость между элементами массива и их индексами).

3.Считывая их из файлов данных (в данной лабораторной работе не рас-

сматривается).

Задание 1. Определите вектор-столбец из трех произвольных числовых элементов. Затем прибавьте к нему вектор такой же размерности с другими произвольно выбранными элементами и покажите результат операции. Проде-

лайте то же для вычитания и умножения. Примените ко второму вектору опера-

тор транспонирования (Ctrl+1).

Задание 2. Создайте матрицу размером 5 5 и заполните ее произволь-

ными элементами. Поместите курсор в центр матрицы и удалите строку. Затем для тех же условий удалите столбец. Затем добавьте строку/столбец. Каковы правила, по которым Mathcad изменяет размерности матриц? Определите век-

тор a как один из столбцов этой матрицы.

Задание 3. Для произвольной квадратной матрицы произведите опера-

цию транспонирования, найдите детерминант (определитель, символ shift+|),

обратную матрицу (возведение в степень –1).

Задание 4. Определите число столбцов и строк в произвольной матрице.

Определите длину произвольного вектора (число элементов), индекс последне-

го элемента в нем. Определите максимальный и минимальный элемент массива.

Создайте единичную матрицу. Постройте диагональную матрицу на основе вы-

бранного вектора. Найдите след матрицы. Список функций для выполнения

этого задания приведен в табл. 1.

Таблица 1 – Функции для оперирования с массивами в пакете Mathcad

Имя функции	Возвращаемое значение
rows(A)	количество строк в массиве A
cols(A)	количество столбцов в массиве A
length(v)	длина вектора v
last(v)	индекс последнего элемента вектора v
max(A)	максимальный элемент массива A
min(A)	минимальный элемент массива A
identity(n)	единичная матрица размерности n
Re(A)	матрица из вещественных частей элементов A

15

Im(A)	матрица из мнимых частей элементов A
diag(v)	диагональная матрица с элементами v на диагонали
tr(M)	след матрицы M (сумма диагональных элементов)

16

РАБОТА № 3 MATHCAD: СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Цель работы: изучение возможностей символьного процессора системы

Mathcad.

3.1 Теоретические сведения

Символьные вычисления осуществляются с помощью команд меню Symbolics на панели Math (рис. 3.1). В табл. 3.1 приведены функции основных символьных преобразований.

Рис. 3.1. Математическая панель для символьных вычислений Для ряда операций следует указать переменную, относительно которой

выполняется та или иная символьная операция. Пример 1.

1.Введите выражение sin(2*x).

2.Нажмите кнопку Expand на панели Symbolic.

3.Введите в местозаполнитель после появившегося ключевого слова

Expand имя переменной x, либо удалите местозаполнитель.

4.Нажмите Enter или щелкните мышкой за пределами выражения:

sin (2 x) expand x 2 sin (x) cos (x).

17

Таблица 3.1 – Символьные операции пакета Mathcad

Вид

Пункты меню

Описание

преобразования

Symbolics

Упрощение

Simplify

Упростить

выражение с

выполнением

таких операций, как сокращение подоб-

ных слагаемых, приведение к общему

знаменателю,

использование

основных

тригонометрических тождеств и т. д.

Расширение

Expand

Раскрыть

выражение

(раскрываются

суммы и произведения, тригонометриче-

ские функции разлагаются по тригоно-

метрическим тождествам).

Разложение

на

Factor

Разложить число или выражение на про-

множители

стые множители.

Приведение

по-

Collect

Привести подобные слагаемые полино-

добных слагаемых

ма.

Коэффициенты

Coeffs

Определить

коэффициенты

полинома

полинома

относительно указанной переменной.

Разложение

на

Partfrac

элементарные

–

дроби

Разложение в

ряд

Series

–

Тейлора

Преобразование

Laplace

–

Лапласа

Обратное преобра-

Invlaplace

–

зование Лапласа

Преобразование

Fourier

–

Фурье

Обратное преобра-

Invfourier

–

зование

Фурье

Задание 1. Упростите следующее алгебраическое выражение:

a

a b

b

b) .

a

b

ab : (a

Задание 2. Разложите на множители выражения:

a5 32;

a4 16 .

Задание 3. Приведите подобные слагаемые в выражении:

18

(x 2 y)z z 2 y(x 5 y) z

относительно каждой из переменных x,

y, z .

Задание 4. Для выражения из задания 3 определите коэффициенты поли-

нома относительно каждой из переменных x, y, z .

Задание 5. Разложите дробь на элементарные дроби:

№

Выражение

№

Выражение

1.

1 2x

16.

11x2 9x 1

0,5 3x 4,5x2 3x3

x2 3x 2

2.

1 4x

17.

0,5 2x 0,5x2

x3

1,2 5x 9x2

3x3

2,78x 3,83x2 2,592x3

3.

0,5 3x

18.

1,58 0,92x 0,64x2 x3

0,5 2x 9x2

3x3

11,71x 10,49x2 5,16x3 x4

4.

1 x 0,5x2

19.

x 3x2 0,5x3 x4

1 2x 7x2 3x3

1 4x 6x2 4x3 x4

5.

1 x 0,5x2

20.

0,08 0,36x 0,30x2

x3

2,787x 3,83x2 2,592x3

2,6x 3,4x2 2,6x3 x4

6.

0,5 2x 0,5x2

21.

0,5 3x 4,25x2 3x3 x4

1 2,78x 3,83x 2 2,52x3

0,01 2x 9x2 4x3

2x4

7.

0,2 1,5x

22.

1,57 0,92x 0,64x2

x3

1,87x 3,83x2

2,592x3

1 2,78x 3,36x2

2,52x3

8.

1 1,5x

23.

0,08 0,36x 0,01x2

x3

4x 6x2 4x3

9,44x2 10,35x3 4,13x4

9.

1 2x

24.

x 3x2 0,5x3

2,6x 3,4x2 2,6x3

1 2,78x 3,83x2

2,92x3

10.

1 0,5x

25.

1 3x 0,5x2

x3

2x 9x2 4x3

4,80 11x 10,49x2 5x3

11.

1 2x 5x2

4x3

26.

0,5 2x 0,5x2

x3

0,5 3x 4,25x2 3x3

x 5x2 6x3 3x4 x5

12.

0,083 0,367x 0,301x2

27.

x 3x2 0,5x3

x 5x2 6x3 3x4

1,57x 3,55x2 3,16x3

13.

4,62 8,31x 5x2

28.

1,58 0,92x 0,64x2

x3

0,18 1,57x 3,55x2 3,11x3

2,6x 3,4x2 2,6x3 x4

19

14.		1 3x 0,5x2 x3				29.		1 3x 0,5x2 x3
		9,44x2 10,3x3 4,17x4						0,5 3x 4,25x2 3x3 x4
15.		x	3x2 0,5x3			30.		3,5 4,2x
								5,67x 4,89x2 7,52x3
		2,78x	3,83x2 2,52x3

Задание 6. Найдите преобразование Лапласа от функции: x2 4 .

Найдите обратное преобразование Лапласа от функции: 2 4 . s3 s

20