posobie-fa-2015

Тема 6. Компактность, предкомпактность

* Во всех определениях и теоремах этой темы через X обозначено метрическое пространство X; .

Определение 6.1. Метрическое пространство X называется компактным, если из любого открытого покрытия X можно выделить конечное подпокрытие.

Множество M X называется компактным, если компактно подпространство M; , им порожденное.

Определение 6.2. Множество M X называется секвенциально компактным, если

8 f

xn

g

M

9 f

xn

k g 9

x0

2

M

xnk

x0:

!k

!1

Теорема 6.1. В метрическом пространстве компактность эквивалентна секвенциальной компактности.

Теорема 6.2 (необходимые условия компактности).

Если множество M X компактно; то M ограничено и замкнуто; а M; – полное метрическое пространство.

Определение 6.3. Множество M X называется предкомпактным, если M компактно.

Теорема 6.3. Множество M X предкомпактно тогда и только тогда; когда

8 f

xn

g

M

9 f

xn

k g 9

x0

2

X

xnk

x0:

!k

!1

Определение 6.4. Множество A X называется "-сетью для множества M X, если

8 x 2 M 9 a 2 A (x; a) < ":

Определение 6.5. Множество M X называется вполне ограниченным, если для любого " > 0 существует конечная "-сеть для M:

61

Теорема 6.4. Пусть X – полное метрическое пространство; M X. Следующие утверждения эквивалентны:

1)M предкомпактно;

2)M вполне ограничено;

3)из любой последовательности, принадлежащей M, можно выделить фундаментальную подпоследовательность.

Теорема 6.5 (Хаусдорф, критерий компактности в метрическом пространстве). Множество M X компактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено иM; – полное метрическое пространство.

Следствие 6.1. Для того чтобы множество M X было предкомпактным; необходимо; а в случае полноты X и достаточно; чтобы M было вполне ограниченно.

Определение 6.6. Семейство отображений f : X ! P

называется равномерно ограниченным, если

9 K > 0 8 f 2 8 x 2 X jf(x)j 6 K:

Определение 6.7. Пусть X – метрическое пространство. Семейство непрерывных на X отображений f : X ! P называется равностепенно непрерывным, если

8 " > 0 9 (") > 0 8 f 2 8 x1; x2 2 X(x1; x2) < =) jf(x1) f(x2)j < ":

Пусть X – компактное метрическое пространство. Обозначим C(X) пространство непрерывных на X отображений f : X ! P с нормой

f = max jf(x)j:

x2X

Теорема 6.6 (Арцела – Асколли, критерий предкомпактности в C(X)). Пусть X – компактное метрическое пространство. Семейство отображений C(X) предкомпактно () равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

62

Теорема 6.7. Пусть X; Y – метрические пространства, отображение f : X ! Y непрерывно на X и множество M X компактно. Тогда множество f(M) компактно.

Пример 6.1. Пусть M = fx 2 C1[a; b]: jx′(t)j 6 c0g: Доказать, что множество M предкомпактно в пространстве C[a; b] тогда и только тогда, когда существует постоянная c1 > 0 та-

кая, что для всех x 2 M
∫ab x(t)dt 6 c1:
Решение. Необходимость.		Из	предкомпактности множе-
ства M следует его ограниченность (см. теорему 6.2), т. е. су-
ществование постоянной K > 0 такой, что для всех x 2 M
max	j	x(t)	j 6	K:
x = [a;b]

Отсюда получаем оценку

∫ b x(t)dt		6 ∫ b jx(t)j dt 6 K(b a) = c1
		a
a

для всех x 2 M:

Достаточность. Для доказательства предкомпактности множества M воспользуемся теоремой Арцела – Асколли (см. теорему 6.6).

Равностепенная непрерывность семейства функций M сле-

дует из оценки
jx(t1) x(t2)j = jx′( )j jt1 t2j 6 c0jt1 t2j < "
"
для 6 c0 ; справедливой для всех x 2 M и любых t1	; t2	2 [a; b]
(применили формулу Лагранжа, 2 (a; b)).

Докажем, что семейство функций M равномерно ограничено. Согласно теореме о среднем для непрерывной функции x 2 M существует точка 2 [a; b] такая, что

x( ) =		1	∫ab x(s)ds:
	b	a
		63

Из формулы Ньютона – Лейбница для t 2 [a; b] получаем

x(t) = ∫ t x′(s)ds + x( ) = ∫ t x′(s)ds +					1	∫ab x(s)ds:
				b	a
Значит,
jx(t)j 6 ∫ab jx′(s)j ds + b 1 a ∫ab x(s) ds 6 c0(b a) + b c1 a;
т. е. семейство функций	M	равномерно	ограничено.
По теореме Арцела – Асколли множество M предкомпактно
в C[a; b]:					,

Пример 6.2. Пусть M = fln(2 + t )g 2(0;2]: Будет ли это множество предкомпактным (компактным) в пространствах

C[0; 1] и L1[0; 1]?

Решение. Воспользуемся теоремой 6.3. Пусть fxng M: Тогда xn имеет вид xn(t) = ln(2 + t n ); где n 2 (0; 2]: Из ограниченной последовательности f ng можно выделить под-

последовательность f nk g такую, что lim nk = 0 2 [0; 2]:

k!1

Если 0 ≠ 0; то при k ! 1 последовательность функций fxnk g поточечно сходится к функции y1(t) = ln(2 + t 0 ) 2 M:

Если 0 = 0; то последовательность функций fxnk g поточечно сходится к функции

{

	y2	(t) =	ln 2;	t = 0;
			ln 3;	t 2 (0; 1];

которая не принадлежит пространству C[0; 1]: Отсюда следует, что в этом случае последовательность fxnk g и любая ее подпоследовательность не являются равномерно сходящимися на отрезке [0; 1], а значит и сходящимися в пространстве C[0; 1].

Итак, множество M не предкомпактно		в C[0; 1]; так
как существует последовательность	x	M (например,
64	feng 2

xen(t) = ln(2+t1=n)), из которой нельзя выделить подпоследовательность, сходящуюся в пространстве C[0; 1]. Отсюда следует, что множество M не компактно в C[0; 1]:

Докажем, что множество M предкомпактно в пространстве L1[0; 1]: Действительно, как показано выше, из любой последовательности fxng M можно выделить подпоследовательность fxnk g, сходящуюся к функции y1 или y2 при k ! 1. Функции y1; y2 2 L1[0; 1]. При этом последовательности fxnk (t) yj(t)g (j = 1 или 2) всюду на [0; 1] поточечно

сходятся к 0, jxnk (t) yj(t)j 6 2 ln 3, функция y(t) 2 ln 3 интегрируема на [0; 1]. Поэтому согласно теореме Лебега о переходе

к пределу под знаком интеграла

∫ 1 ∫ 1

xnk yj L1[0;1] = jxnk (t) yj(t)j dt! 0 dt = 0:

0 k!1 0

Итак, множество M предкомпактно в пространстве L1[0; 1]; так как из любой последовательности fxng M можно выделить сходящуюся в L1[0; 1] подпоследовательность.

Покажем, что множество M не компактно в L1[0; 1]. Действительно, если бы M было компактно, то оно было бы и секвенциально компактно (теорема 6.1), а значит, из последовательности xn(t) = ln 2 + t1=n можно было бы выделить подпосходящуюся по норме к некоторой функции

следовательность,		(	)
из M. Но так как	f	x	сходится по норме в L [0; 1] и поточеч-
e		ng	1

e

но на [0; 1] к функции y2, то и любая ее подпоследовательность сходится по норме и поточечно на [0; 1] к y2. Следовательно, y2 должна быть эквивалентна некоторой функции из M (см. задачу 2.13). Но y2 не эквивалентна ни одной функции из M. Следовательно, M не компактно. ,

Пример 6.3. Доказать, что для предкомпактности множества M в пространстве ℓ1 необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным и

	1
8 " > 0 9 N" 2 N 8 x = f kg 2 M	∑
	j kj < ":
	k=N"

65

Решение. Для доказательства можно воспользоваться следствием 6.1 из теоремы Хаусдорфа, так как пространство ℓ1

	полное.
	Необходимость. Предположим, что множество M предком-
	пактно в пространстве ℓ1: Тогда	для всякого " > 0 суще-
		j	j
	ствует набор fyjgjm=1 ℓ1 : M	m	B(yj; "): Отсюда следу-
		=1

ет, что множество M ограничено. Для yj = f kg существует

k

∑"

Nj

2 N

:

1

j

< ":

Положим

N

= max

Nj

:

Для всякого

"

=Nj j

kj

"

16j6mf

" g

элемента x 2 M существует yj : x

yj < ": Следовательно,

1

1

1

∑"

j kj 6

k∑"

∑"

j k

kj j +

j kj j 6

k=N

=N

k=N

1

x yj +

k∑"

6

j kj j

< 2":

=Nj

Необходимость доказана.

Достаточность. Известно, что

9 C > 0 8 x 2 M x 6 C

и

1

8 " > 0 9 N" 2 N 8 x = f kg 2 M

k∑"

j kj < ":

=N

Докажем, что множество M предкомпактно.

Пусть " > 0 произвольное. Каждому x 2 M поставим в соответствие элемент

x" = ( 1; 2; : : : ; N" ; 0; 0; : : :):

Справедливы неравенства

x x" < "; x" 6 x 6 C:

66

Пусть Y – подпространство пространства ℓ1, элементами

которого являются последовательности
y = ( 1; 2; : : : ; N" ; 0; 0; : : :):
Пространство Y конечномерно, а множество M" =		fx"g яв-
	x2M
ляется его ограниченным подмножеством. В силу	задачи 6.17
множество M" предкомпактно в пространстве Y: Следователь-
m		j
но, существует набор fyjgjm=1 Y такой, что M"		m
		B(yj; ")
		=1

(здесь B(yj; ") Y ). Покажем, что fyjgj=1 есть 2"-сеть для множества M в пространстве ℓ1:

Для любого x 2 M существует yj такой, что yj	x" < " и
x yj 6 x x" + x" yj < 2":
Таким образом, M вполне ограничено, а значит предкомпакт-
но. Достаточность доказана.	,

6.1.Привести пример метрического пространства X; и множества M X таких, что

а) M вполне ограниченно, но не предкомпактно; б) M предкомпактно, но не компактно.

6.2.Будет ли предкомпактным (компактным) множество M из метрического пространства X, если

а) M конечно;

б) M – сходящаяся последовательность;

в) M – фундаментальная последовательность (рассмотреть два случая: X – полное, X – не полное)?

6.3.Пусть на множестве X заданы метрики 1 и 2, причем 1 2. Доказать, что из предкомпактности (компактности) множества M в метрическом пространствеX; 1 следует предкомпактность (компактность) M в метрическом пространстве X; 2 .

67

6.4.Выяснить, при каких условиях на мощность множества X пространство X; T является

а) полным; б) сепарабельным; в) компактным.

+ Доказать утверждения 14.5–14.13.

6.5.Для предкомпактности множества M в метрическом пространстве X необходимо, а в случае полноты X и

достаточно существования для всякого " > 0 предкомпактной "-сети, т. е. предкомпактного множества N X такого, что

M B(x; "):

x2N

6.6.Если fa1; a2; : : : ; akg – "-сеть для множества M, то найдется множество fea1; ea2; : : : ; eakg M, являющееся 2"- сетью для M.

6.7.Множество M ℓnp предкомпактно () оно ограничено в ℓnp .

6.8.Множество M c0 предкомпактно () оно ограничено в c0 и

8 " > 0 9 N = N(") 2 N 8 n > N 8 x = f kg 2 M

j nj < ":

6.9.Множество M c0 предкомпактно ()

9 x0 = f k0g 2 c0 8 n 2 N 8 x = f kg 2 M j nj 6 j n0 j:

6.10.Множество M c предкомпактно () оно ограничено в c и

8 " > 0 9 N = N(") 2 N 8 n; m > N 8 x = f kg 2 M j n mj < ":

68

6.11.Множество M ℓp; 1 6 p < 1; предкомпактно () оно ограничено в ℓp и

8 " > 0 9 N = N(") 2 N 8 x = f kg 2 M

∑1

j kjp < ":

k=N

6.12. O Критерий М. Рисса. Множество M Lp[a; b] предкомпактно () оно ограничено в Lp[a; b] и равностепенно непрерывно в среднем, т. е.

8 " > 0 9 = (") > 0 8 h; jhj < ; 8 x 2 M

∫ b

jx(t + h) x(t)jp dt < "

a

(считаем x(t) = 0; если t ̸2[a; b]).

6.13. O Критерий А. Н. Колмогорова. Множество M Lp[a; b]

предкомпактно () оно ограничено в Lp[a; b] и

8 " > 0 9 = (") > 0 8 h; 0 < h < ; 8 x 2 M

∫ b

jxh(t) x(t)jp dt < ";

a

где

1 ∫ t+h

xh(t) = 2h t h x( ) d

(считаем x(t) = 0; если t ̸2[a; b]).

6.14. O Множество M Lp(R) предкомпактно () оно ограничено в Lp(R) и равностепенно непрерывно в среднем, т. е.

8 " > 0 9 = (") > 0 8 h; jhj < ; 8 x 2 M

∫ 1

jx(t + h) x(t)jp dt < "

69

и

8 " > 0 9 A = A(") > 0 8 x 2 M

∫ A ∫ 1

jx(t)jp dt + jx(t)jp dt < ":

A

6.15.Доказать, что в метрическом пространстве

а) если множество M предкомпактно, то оно ограниченно;

б) если множество M компактно, то оно замкнуто, аM; – полное метрическое пространство;

в) множество M компактно тогда и только тогда, когда оно предкомпактно и замкнуто.

6.16.Пусть метрические пространства X и Y гомеоморфны и – гомеоморфизм X на Y . Доказать, что множество M предкомпактно в X тогда и только тогда, когда множество (M) предкомпактно в Y .

6.17.Доказать, что предкомпактность (компактность) множества в конечномерном нормированном пространстве эквивалентна его ограниченности (ограниченности и замкнутости).

6.18.Пусть M – некоторое множество алгебраических многочленов степени не выше n. Указать условия на коэффициенты многочленов, необходимые и достаточные для предкомпактности множества M в пространстве C[a; b].

6.19.Доказать, что множество fsin ntgn2N ограниченно, замкнуто, не предкомпактно в пространстве L2[a; b].

6.20.Являются ли следующие множества предкомпактными (компактными) в пространствах C[0; 1] и Lp[0; 1]:

а)	M = ftngn2N;	б) M = f( t)ngn2N;
в)	M = fsin ntgn2N;	г) M = fsin tg 2[a;b];

70